电磁场与电磁波（第4版）第5章部分习题参考解答

------------------------------------------------------------------------------------------------电磁场与电磁波(第4版)第5章部分习题参考解答GG5.1在自由空间中，已知电场E(z,t)=ey103sin(ωt?βz)V/m，试求磁场强度GH(z,t)。解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式GπGE(z,t)=ey103cos(ωt?βz?V/m2这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为?90D。与之相伴的磁场为G1GG1GGπH(z,t)=ez×E(z,t)=ez×ey103cos(ωt?βz?η0η023πG10G=?excos(ωt?βz?)=?ex2.65sin(ωt?βz)A/m120π25.2理想介质（参数为x方向传播，已知其电场GGE(x,t)=ey377cos(109t?5x)V/mGG试求：(1)该理想介质的相常数；(2)与E(x,t)相伴的磁场H(x,t)；(3)该平面波的平均G解：(1)理想介质中的均匀平面波的电场E应满足波动方程G2G?E?2E?με2=0?tG据此即可求出E满足方μ=μ0、ε=εrε0、ζ=0）中有一均匀平面波沿瞬时值表达式为对介电功率密度。欲使给定的程所需的媒质参数。方程中2G?EyGGG229et?5x)?E=ey?Ey=ey=?y9425cos(102?xG22?EG?EyG18937710cos(10eet?5x)==?×yy22?t?x故得?9425cos(109t?5x)+με*377×1018cos(109t?5x)+=0——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------即9425με==25×10?1818377×10故25×10?18εr==25×10?18×(3×108)2=2.25μ0ε0其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿+x方向传播的均匀平面ω109波，其相速为vp===2×108m/sk5而vp====3×1083故εr=()2=2.252GGGGG(2)与电场E相伴的磁场H可由?×E=?jωμ0H求得。先写出E的复数形式GGE=ey377e?j5xV/m，故GG11G?EyG1H=?ez377e?j5x(?j5)?×E=?=?ezjωμ0jωμ0jωμ0?x1GG?j5x?j5xeeA/m=ez9=z1.5e?710×4π×10则得磁场的瞬时表达式GGjωt9GGH(x,t)=Re[He]=Re[ez1.5e?j5xej10t]=ez1.5cos(109t?5x)A/mG1GGG也可以直接从关系式H=en×E得到HηG1GGGGH=ex×ey377e?j5x=ez377e?j5x=ez1.5e?j5xA/mη0(3)平均坡印廷矢量为GGG*11GGGSav=Re[E×H]=Re[ey377e?j5x×ez1.5e?j5x]=ex282.75W/m222G5.3在空气中，沿ey方向传播的均匀平面波的频率f=400MHz。当y=0.5m、Gt=0.2ns时，电场强度E的最大值为250V/m，——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------表征其方向的单位矢量为GGGGex0.6?ez0.8。试求出电场G解：沿ey方向传播的均匀平面波的电场强度的一GGE(y,t)=Emcos(ωt?ky+φ)根据本题所给条件可知，式中各参数为：ω=2πf=8π×108E和磁场H的瞬时表示式。般表达式为rad/s8π×1088π=rad/mk===c3×1083GGGEm=250(ex0.6?ezV0.8)/mG由于y=0.5m、t=0.2ns时，E达到最大值，即GG8π18?9Emcos(8π×10×0.2×10?×+φ)=Em324π4π88π于是得到φ=。?=32575故GG8π88πGE=(ex150?ez200)cos(8π×108t?y+375G1GG8π88πG5G5H=ey×E=?(ex+ez)cos(8π×108t?y+3π4π375η05.4有一均匀平面波在μ=μ0、ε=4ε0、ζ=0的媒质中传播，其电场强度GπE=Emsin(ωt?kz+)。若已知平面波的频率f=150MHz，平均功率密度为320.265μW/m。试求：(2)t=0、z=0时的电场E(0,0)值；(3)经过t=0.1μs后，电场E(0,0)值出现在什么位置？ω(1)电磁波的波数、相速、波长和波阻抗；G解：(1)由E的表达式可看出这是沿+z方向传播的均匀平面波，其波数为1——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------k==2πf=2π×150×10=4π×150×106×=2πrad/m83×10相速为vp===1.5×108m/s波长为λ=2π=1m，波阻抗为η=k==60π≈188.5Ω12Em=0.265×10?6W/m22η故得Em=(2η×0.265×10?6)1/2≈10?2V/mπ因此E(0,0)=Emsin(=8.66×10?3V/m3(3)随着时间t的增加，波将沿+z方向传播，当t=0.1μs时，电场为πE=10?2sin(2πf?kz+)3π=10?2sin(2π×150×106×0.1×10?6?2πz+）=8.66×10?33——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------πππ得sin(30π?2πz+=0.866，即30π?2πz+=，则z=15m3335.5理想介质中的均匀平面波的电场和磁场分别为GG1GG7E=ex10cos(6π×10?0.8πz)V/m，H=eycos(6π×107?0.8πz)A/m6π试求该介质的相对磁导率μr和相对介电常数εr。GG解：由给出的E和H的表达式可知，它表征沿+z方向传播的均匀平面波，其相关参数为：E10角频率ω=6π×107rad/s，波数k=0.8πrad/m，波阻抗η===60πΩH6π而(2)平均坡印廷矢量为Sav=k====0.8πrad/m(1)——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------η=联立解方程式(1)和(2)，得==60πΩ(2)μ=2，ε=8ω=GGG(2)原电场可表示为E=(ex+jey)10?4e?j20πz是左旋圆极化波。G1GG(3)由H=ez×E=6π×109rad/s，f=ω2π=3×109=3GHzη0πG10?4G?j(20πz?)G?j20πzGG?72(ey?jex)e得H==?ex2.65×10e+ey2.65×10?7e?j20πzA/m120πGGG*1)1G?4?j20πzG?4?j(20πz?π2](4)Sav=Re[E×H]=Re{[ex10e+ey10e22π?j(20πz?)GG?72×*?ex2.65×10e+ey2.65×10?7e?j20πz+}G=ez2.65×10?11W/m2——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------即Pav=2.65×10?11W5.7在空气中，一均匀平面波的波长为12cm，当该波进入某无损耗媒质中传播GG时，其波长减小为8cm，且已知在媒质中的E和H的振幅分别为50V/m和0.1A/m。求该平面波的频率和媒质的相对磁导率和相对介电常数。解：在自由空间中，波的相速vp=c=3×108m/s，故波的频率为3×108===2.5×109Hzf=?2λ0λ012×10在无损耗媒质中，波的相速为vp=fλ=2.5×109×8×10?2=2×108m/sc又vpvp=故cvp=μrεr=(2=(1)无损耗媒质中的波阻抗为GEE50η==m==500Ω——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------HHm0.194又由于η=故=ημrη5002(2)=()2=(εrη0377联立式(2)，得(1)和式μr=1.99，εr=1.135.8在自由空间中，一均匀平面波的相位常数为β=1.81rad/m。设该理想β0=0.524rad/m，当该波进入到理想介质后，其相位常数变为介质的μr=1，试求该理故ω==0.524×3×108=1.572×108rad/s1.812β==1.81rad/m，故得到速则为vp=ω2μ0ε0=11.935.9在自由空间中，一均匀平面波的波长为λ0=0.2m，当该波进长变为λ=0.09m。设该理想介质的μr=1，试εr和波在该理想介质中的解：在自由空间，波的相速vp=c=3×108m/s，故波的在理想电介质中，相位常数εr=电介质中的波入到理想介质后，其波求该理想介质的传播速度。频率为vp3×108==1.5×109Hzf=λ00.2——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------在理想介质中，波长λ=0.09m，故波的相速为vp=fλ=1.5×109×0.09=1.35×108m/svp===?c??3×108?故εr=??=??=4.94?vp??1.35×108G1G5.10均匀平面波的磁场强度H的振幅为A/m，在自由空间沿?ez方向传播，3πGGGG其相位常数β=30rad/m。当t=0、z=0时，H在?ey方向。(1)写出E和H的22=8===0.87×108m/sGG1解：以按题意先写出磁场表示式H=?eycos(ωt+βz)A/m3πGGGG1GGE=η0[H×(?ez)]=120π[?eycos(ωt+βz)×(?ez)]=ex40cos(ωt+βz)V/m3π另一方面，余弦为基准，与之相伴的电场为由β=30rad/m得波长2πλ==0.21m表达式；(2)求频率和波长。β3×108λ和频率f分别为=1.43×109Hzf===λλ0.21ω=2πf=2π×1.43×109=9×109rad/scvp则磁场和电场分别为GGGG19H=?eycos(9×10t+30z)A/m，E=ex40cos(9×109t+30z)V/m3πG5.11在空气中，一均匀平面波沿ey方向传播，其磁场强度的瞬时表达式为GπGH(y,t)=ez4×10?6cos(107πt?βz+)A/m4(1)求相位常数β和在t=3ms时，Hz=0的位置；(2)求电场强度的瞬时表达式GE(y,t)。1π解：(1)β==107π×=≈0.105rad/m83×1030在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求ππππcos(107π×3×10?3?y+=cos(?y+)=0304304πππ30——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------即?y+=±nπ,n=0,1,2,"，故y=?±30n,n=0,1,2,"304242π考虑到波长λ==60m，故t=3ms时，Hz=0的位置为βy=22.5±nλ2m,n=0,1,2,"(2)电场的瞬时表示式为GGGπGGE=(H×ey)η0=[ey4×10?6cos(107πt?βy+×ey+×120π4πG=?ex1.508×10?3cos(107πt?0.105y+45.12已知在自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为GGGH(z,t)=(ex+ey)×0.8cos(6π×108t?2πz)A/mG(1)求该均匀平面波的频率、波长、相位常数和相速；(2)求与H(z,t)相伴的电G场强度E(z,t)；(3)计算瞬时坡印廷矢量。解：(1)从给定的磁场表达式，可直接得出：ω6π×108频率f===3×108Hz，相位常数β=2πrad/m2π2π2π2πω6π×108=3×108m/s波长λ===1m，相速vp==2πββ2πG(2)与H(z,t)相伴的电场强度GGGGGGE(z,t)=η0H(z,t)×ez=(ex+ey)×ez0.8×120πcos(6π×108t?2πz)GG8=(ex?ey)96πcos(6π×10t?2πz)V/m(3)瞬时坡印廷矢量为GGGGS(z,t)=E(z,t)×H(z,t)=ez153.6πcos2(6π×108t?2πz)W/m25.13频率f=500kHz的正弦均匀平面波在理想介质中传播，其电场振幅矢量GGGGGGGGEm=ex4?ey+ez2kV/m，磁场振幅矢量Hm=ex6+ey18?ez3A/m。试求：(1)波GG传播方向的单位矢量；(2)介——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------质的相对介电常数εr；(3)电场E和磁场H的复数表达式。解：(1)表征电场方向的单位矢量为GGGGe4?eEGGGG+e2eE===ex4?ey+ez2)E表征磁场方向的单位矢量为GGGGe6+e18?eHGGGG3eH===ex2+ey6?ez)H由此得到波传播方向的单位矢量为GGGGGGGGGex4?ey+ez2)ex2+ey6?ez)en=eE×eH=GGGGGG?ex11+ey8+ez26)=?ex0.375+ey0.273+ez0.886=3(2)由η=εr=2.5==(3)电场E和磁场H的复数表达式分别为GG?jkeGG?jkeGGGGGGGGGGGGGG?jken?r3?jken?rn?rn?rE=Eme=(ex4?ey+ez2)10e，H=Hme=(ex6+ey18?ez3)e=10?2rad/m式中，k==2π×500×10=3——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------5.14已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为G1?G3GG?H=(ex+ey+ez)10?6cos?ωt?π(?x+y+z)?A/m22??GG试求：(1)波的传播方向；(2)波的频率和波长；(3)与H相伴的电场E；(4)平均坡印廷矢量。GG解：(1)波的传播方向由波矢量k来确定。由给出的H的表达式可知GGk?r=kxx+kyy+kzz=?πx+πy+0.5πz故kx=?π，ky=π，kz=0.5πG3GGG即k=?exπ+eyπ+ez0.5π，k==πrad/m21GkGGGπG2G2G1(?exπ+eyπ+ez=?ex+ey+ez则波传播方向单位矢量为en==k1.5π2333vp3×10892π2π4=×108Hz==m，f==(2)λ=k3π/234/34λGG(3)与H相伴的E为GGGE=(H×en)η01?G3GGG2G2G1?——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------=(ex+ey+ez)10?6cos?ωt?π(?x+y+z)?×(?ex+ey+ez)×37722?333?G1G7G5?9π?=377×10?6(?ex?ey+ez×cos?×108t?π(?x+y+0.5z)?V/m363?2?(4)平均坡印廷矢量GGG*1Sav=Re[E×H]21?G1G7G5G3GG?Re?377×10?6(?ex?ey+ez?jπ(?x+y+0.5z)×10?6(ex+ey+ez)ejπ(?x+y+0.5z)?2?3632?GGG1=1.7π×10?10(?ex+ey+ez22G5.15频率为100MHz的正弦平均平面波，沿GGGP(4,?2,6)的电场强度为E=ex100?ey70V/m，求GG(1)t=0时，P点的E；(2)t=1ns时，P点的E；(3)t=2ns时，点Q(3,5,8)G的E。=ez方向传播，在自由空间点解：在自由空间中2π×1082πvp=c=3×10m/s，ω=2πf=2π×10rad/s，k===rad/mvp3×108388ω由题意可知，电场强度的瞬时表达式为GG2πGE=(ex100?ey70)cos(2π×108t?z+φ)V/m3——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------2πGGGG当t=0、z=6时，应有(ex100?ey70)cos(?×6+φ)=ex100?ey70，所以φ=0。3故得到：(1)当t=0时，在P点G2πGGE=(ex100?ey70)cos(?×6)==122.1V/m3(2)当t=1ns时，在P点GGGE=(ex100?ey70)cos(2π×108×10?9?4π)==98.8V/m(3)当t=2ns时，在Q点图题5.16解：相位常数与媒质参数及波的频率有关，对于介质板β==2πf对孔洞β0==2πf可见，波在介质板中传播单位距离引起的相位移要大于空气中的相位移。按题目要求，介质板的厚度d应满足下式βd=β0d+2π8+zGGG?jφE=(exExme?jφx+eyEymey)e?jβz设两个旋向相反的圆极化波分别为GGGE1=(ex+eyj)E1me?jβzGGG?jβzE2=(ex?eyj)E2me其中E1m、E2m均为复数。GGGGGGGGG?jφ令E=E1+E2，即(ex+eyj)E1me?jβz+(ex?eyj)E2me?jβz=(exExme?jφx+eyEymey)e?jβz则有——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------E1m+E2m=Exme?jφxE1m?E2m=?jEyme?jφy由此可解得1?jφE1m=(Exme?jφx?jEymey)21?jφE2m=(Exme?jφx+jEymey)2故得到两个旋向相反的圆极化波分别为G1GG?jφE1=(ex+eyj)(Exme?jφx?jEymey)e?jβz2G1GG?jφE2=(ex?eyj)(Exme?jφx+jEymey)e?jβznGGGGken===ey+ez)kGG沿en方向传播的均匀平面波的电场和磁场均位于与en方向垂直的横向平面内。GGGGG设电场的两个分量的方向单位矢量分别为en1和en2，则应有en=en1×en2。因此，右旋圆极化波的电场可表示为G沿en方向传播的GGGGGG?jkeE(r)=E0(en1?en2j)en?rGGGG根据题中所给条件t=0时，坐标原点处的电场为E(0)=exE0，故得en1=exGGGGGGGG而en2=en×en1=ey+ez)×ex=ey?ez)故GGGGGG??jke?GE(r)=E0?exey?ez)?en?r??GGGGGG??jkeH(r)=ey?ez)?en?r——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------?=写成瞬时值形式GGGGGG?GGG?jke?E(r,t)=Re*E(r)ejωt+=Re?E0(ex?ey+ezn?rejωt???GGGGGG??G=E0?excos(ωt?k?r)+ey+ez???解：设波的传播方向的单位矢量为en，则电场的复数形式可表示为GGG?jkeGGE(r)=Emen?r题目中给定的电场的复数形式为GGGGGE(r,t)=(ex+ey2+ezEz)10e?j(?3x+y+z)V/m于是有GGGEm=ex10+ey20+ez10EzGGGGk?r=ken?r=?3x+y+zGGk?r=kxx+kyy+kzzkx=?3，ky=1，kz=1又可见故波矢量GGGGk=?ex3+ey+ezk==rad/mG波传播方向的单位矢量en为GGGG?e3+eGk+een==——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------k波的角频率为ω=kvp=kc=3×108=9.95×108rad/s为了确定Ez，可利用均匀平面波的电场矢量垂直于波的传播方向这一性质，故GG有k?Em=0，即GGGGGG(?ex3+ey+ez)?(ex10+ey20+ez10Ez)=0由此得?30+20+10Ez=0故得到Ez=1因此，自由空间任意一点处的电场为GGGGGE(r,t)=10(ex+ey2+ez)cos(9.95×108t+3x?y?z)V/mGG上式表明电场的各个分量同相位，故E(r,t)表示一个直线极化波。GGGG与E(r,t)相伴的磁场H(r,t)为GG1GGGH(r,t)=en×E(r,t)η0GG1GGGGGG8=?ex3+ey+ez)×(ex+ey2+ez)×10cos(9.95×10t?k?r)120πGG=8×10?3(?e+e4?e7)cos(9.95×108t+3x?y?z)A/mGG——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------k?r=kxx+kyy+kzz=2x+by+cz有GG为确定b和c，利用k?Em=0，得GGGGGG(ex2+eyb+ezc)?(ex+ey2+ez=2+2b+=0kx=2，ky=b，kz=c故b=?1，c=0则波矢量为GGGk=ex2?ey波传播方向的单位矢量为GGGGGke2?eG=en==ex2?ey)k波长为2πλ===2.81mkGGGGGG已知的电场复振幅可写为Em=(ex+ey2)+ez=EmR+EmIGGGGGGGGE其中，EmR=ex+ey2=ex+ey=emI=ez。GG——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------GG可见，EmR与EmI的大小相等，即EmR==，EmI=。GGGGGGGGGGGGGex+ey2)×ez=ex?ey)=en，eR?ez=ex+ey2)?ez=0。且eR×ez=GG由于EmR与EmI的相位相差90D，即φR=0，φI=90D，故E(r)表示一个左旋圆极化波。GGGG1GGG与E(r)相伴的磁场为H(r)=en×E(r)η01GGGGGex2?ey)×(ex+ey2+ez?j(2x?y)120π1GGG(?exj?eyj2+e?j(2x?y)A/m=120π5.21证明电磁波在良导体中传播时，场强每经过一个波长，振幅衰减55dB。2π?z2π?αz证：在良导体中α≈β=，故场强的衰减因子为e≈eλ=λ——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------场强的振幅经过z=λ的距离后Em(λ)=e?2π=0.002Em(0)即衰减到起始值的0.002。用分贝表示，则为E(λ)20lgm=20lge?2π=?2π×20lge≈?55dBEm(0)5.22有一线极化的均匀平面波在海水(εr=81、μr=1、ζ=4S/m)中沿+y方向G(1)求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；(2)求出H的GG振幅为0.01A/m时的位置；(3)写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。ζ44×36π16=10=10=≈0.18解：(1)?990ωε10π×81ε010π×81×10传播，其磁场强度在y=0处为GGH(0,t)=ex0.1sin(1010πt?π/3)A/m可见，在角频率ω=1010π时，海水为一般有损耗媒质，故α=β=1010=83.9Np/m=1010≈300πrad/m=ηc==——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------j0.028π41.56eΩ=ω1010πvp===0.333×108m/sβ300π2π=6.67×10?3mβ300π11δ===11.92×10?3mα83.9λ=2π=(2)由0.01=0.1e?αy即e?αy=0.1得y=1GπG(3)H(y,t)=ex0.1e?83.9ysin(1010πt?300πy?3其复数形式为πG?G?83.9y?j300πyH(y)=?ex0.1jeee3A/mαln10=1×2.303=27.4×10?3m83.9故电场的复数表示式为ππGG?j(300πy++GGG0.028π?83.9y32E(y)=ηcH(y)×ey=ex×ey41.56e×0.1e×eG=ey4.156eππ?j(300πy+?0.028π+)?83.9y32eV/m则GGπG300πy?+0.028π)V/mE(y,t)=Re*E(y)ejωt+=ez4.156e?83.9ysin(1010πt?35.23海水的电导率ζ=4S/m，相对介电常数εr=81。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解：先判定海水在各频率下的属性σσ48.89×108===ωε2πfεrε02πf×81ε0f——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------可见，当f≤107Hz时，满足ζ??1，海水可视为良导体。此时ωεα≈β≈，ηc≈(1+f=10kHz时α==0.126π=0.396Np/mλ=2πβ=2π=15.87m0.126πηc=(1+=0.099(1+j)Ωf=100kHz时α==1.26Np/mλ=2πβ=2π=5m1.26ηc=(1+=0.314(1+j)Ωf=1MHz时α==3.96Np/mλ=2πβ=2π=1.587m3.96=0.99(1+ηc=(1+j)Ωf=10MHz时α==12.6Np/mλ=2πβ=2π=0.5m12.6=3.14(1+j)Ωηc=(1+当f=100MHz以上时，ζ??1不再满足，海——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------水属一般有损耗媒质。此时，ωεα=2πfβ=2πfηc=f=100MHz时α=37.57Np/m,β=42.1rad/m,λ=f=1GHz时2πβ=0.149m,ηc=D=14.05ej41.8ΩD面波。写出电场强度的两个分量的瞬时表达式Ex(z,t)=Re[Exejωt]=Re[4e?(0.1z+j0.3z)ejωt]=4e?0.1zcos(ωt?0.3z)Ey(z,t)=Re*Eye+=Re*3ejωt?jπ2?(0.1z+j0.3z)jωteπe+=3e?0.1zcos(ωt?0.3z?)2为简化讨论，取z=0，得Ex(0,t)=4cosωtEy(0,t)=3sinωt将以上两式平方后相加，得2Ex2(0,t)Ey(0,t)+=1169G这是一个标准的椭圆方程，半长轴a=4，半短轴b=3。因此，题目给定的E表示一个椭圆极化波。取以下时间：πωt=0、π2有Ex(0,t)=4、0、?4，Ey(0,t)=0、、30G由此得出，在z=0的平面上，端点随时间E矢量的变化的轨迹如图5.24所示。图题5.24——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------GGG?jπ可见，E=(ex4+ey3e2)e?(0.1z+j0.3z)表示一个右旋椭圆极化波。5.25在相对介电常数εr=2.5、损耗角正切值为10?2的