2023高中数学 第1章 导数及其应用 133 导数的实际应用学案 新

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1.3.3导数的实际应用

1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．

2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．

求实际问题中的最值的主要步骤

(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程________；

(3)比较函数在区间______和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．

(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；

(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，假使函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；

(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为()．R3545A．和RB．R和R225547

C．R和RD．以上都不对55

面积为S的所有矩形中，其周长最小的是________．

如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：

(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择适合的数学方法求解；

(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．

值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，假使函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．

题型一利用导数求实际问题的最小值

为了在夏季降温柔冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消花费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋5

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消花费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消花费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．

反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．

题型二利用导数求实际问题的最大值

如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.

k

(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．

分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．

x2y2

反思：此题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程2＋2＝1(y≥0)，进而得到梯形

r4r22面积S＝2(x＋r)·r－x.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这

就是最大(小)值．题型三易错辨析易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，往往由于忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在确凿理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．

某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收

12入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．

2(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？

12?12191?错解：(1)y＝R(x)－C(x)＝?5x－x?－(0.5＋0.25x)＝－x＋x－(0≤x≤5)．2?242?

1919

(2)y′＝－x＋，令y′＝0，得x＝＝4.75，∴4.75必为最大值点．

44

∴年产量为475台时，工厂利润最大．

1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()．A．2和6B．4和4

2

C．3和5D．以上都不对2用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()．

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20m长的墙壁，则应围成长为________m，宽为________m的长方形才能使小屋面积最大．

4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料．答案：

基础知识·梳理

(2)f′(x)＝0(3)端点

B设矩形的一边长为x，则另一边长为2R－x，周长l＝2x＋4R－x(0＜x＜R)，∴l′＝2－

4x，令l′＝0，得x1＝2

2

2

2

2

R2－x555

R，x2＝－R(舍去)，当0＜x＜555

R时，l′＞0；当

大时边长为

55

R＜x＜R时，l′＜0，所以当x＝R时，l取最大值，即矩形周长最55

545R和R.55

以S为边长的正方形设矩形的一边长为x，则另一边长为，周长f(x)＝2?x＋?，f′(x)＝2?1－2?，令f′(x)＝0，得x＝S，易知当x＝S时，f(x)有微小值，xxSx??

S??

??

S??

也就是最小值．

典型例题·领悟

解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消花费用为C(x)＝k，3x＋5

40

又C(0)＝8，∴k＝40，因此C(x)＝，而建造费用C1(x)＝6x，从而隔热层建造费用与

3x＋520年的能源消花费用之和为

40800

＋6x＝＋6x(0≤x≤10)3x＋53x＋5

2400

x＋

2

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×

(2)f′(x)＝6－

2400x＋

2

，令f′(x)＝0，即25

＝6，得x1＝5，x2＝－(舍

3

去)，当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故5是f(x)的最小值点，800

对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70，即当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值

15＋570万元．

解：(1)依题意，以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标

x2y2

系(如下图)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程2＋2＝1(y≥0)，即y＝

r4r2r－x(0＜x＜r)．

2

2

3

S＝(2x＋2r)·2r2－x2＝2(x＋r)·r2－x2，

其定义域为{x|0＜x＜r}．

222

(2)记f(x)＝4(x＋r)(r－x)，0＜x＜r，

2

则f′(x)＝8(x＋r)(r－2x)．1

令f′(x)＝0，得x＝r.

2由于当0＜x＜时，f′(x)＞0；

2当＜x＜r时，f′(x)＜0，21

所以f(r)是f(x)的最大值．

2

1

因此，当x＝r时，S也取得最大值，最大值为2

12

rrf1r2332＝r.

2332

故梯形面积S的最大值为r.2

错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x＞5的状况，错解忽视了此种状况，就出现了错误．

正解：(1)利润y＝R(x)－C(x)＝?5x－x?－????2??22＋0.25x＋0.25x≤x，，

??5?5×5－－????2??x，x＞

＝

1??－x2＋4.75x－?2??12－0.25xx＞

12

(2)0≤x≤5时，y＝－x＋4.75x－0.5，

2

∴当x＝4.75时，ymax≈10.78(万元)；

当x＞5时，y＝12－0.25x＜12－0.25×5＝10.75(万元)．∴年产量是475台时，工厂所得利润最大．随堂练习·稳定

332

1．B设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x＋(8－x)，0≤x≤8，y′＝3x222

－3(8－x)，令y′＝0即3x－3(8－x)＝0，得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．

4

2．B设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm，由题意，得V＝x(48－2

2x)(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．

令V′＝0，则在区间(0,24)内有解x＝8，故当x＝8时，V有最大值．

3．105设长为xm，宽为ym，则x＋2y＝20，y＝10－.S＝x·y＝x?10－?＝10x2?2?－，S′＝10－x，