定积分在几何中的应用

定积分在几何中的应用第1页，共32页，2023年，2月20日，星期四【课标要求】1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．【核心扫描】由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点．第2页，共32页，2023年，2月20日，星期四第3页，共32页，2023年，2月20日，星期四(2)如图2，阴影部分的面积为所以，曲边梯形的面积等于

的定积分

形上、下两个边界所表示的函数的差曲边梯第4页，共32页，2023年，2月20日，星期四想一想：当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？ 提示如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝(0－f(x))dx＝－f(x)dx.第5页，共32页，2023年，2月20日，星期四名师点睛利用定积分求曲边图形面积的步骤 一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下： 第一步：画出图形； 第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积分上、下限； 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； 第四步，写出平面图形面积的积分表达式； 第五步，运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．第6页，共32页，2023年，2月20日，星期四注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0，还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正．第7页，共32页，2023年，2月20日，星期四题型一不分割型图形面积的求解【例1】

求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．第8页，共32页，2023年，2月20日，星期四第9页，共32页，2023年，2月20日，星期四第10页，共32页，2023年，2月20日，星期四第11页，共32页，2023年，2月20日，星期四第12页，共32页，2023年，2月20日，星期四第13页，共32页，2023年，2月20日，星期四第14页，共32页，2023年，2月20日，星期四第15页，共32页，2023年，2月20日，星期四第16页，共32页，2023年，2月20日，星期四第17页，共32页，2023年，2月20日，星期四得交点横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为第18页，共32页，2023年，2月20日，星期四第19页，共32页，2023年，2月20日，星期四第20页，共32页，2023年，2月20日，星期四(2)画函数y＝f(x)的图象如图．由图象知所求面积为第21页，共32页，2023年，2月20日，星期四【题后反思】由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．第22页，共32页，2023年，2月20日，星期四第23页，共32页，2023年，2月20日，星期四∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.第24页，共32页，2023年，2月20日，星期四方法技巧化归与转化在求定积分中的应用在应用定积分时，定积分的计算是其中的重点也是难点．为计算定积分，要细心观察，有时某个定积分整体表示某些易求面积的图形的面积，求定积分的值就可转化为求图形的面积．当有些被积函数的原函数不易求得时，可考虑换元，转换为易求原函数的被积函数，这时积分变量也要改变．第25页，共32页，2023年，2月20日，星期四第26页，共32页，2023年，2月20日，星期四第27页，共32页，2023年，2月20日，星期四第28页，共32页，2023年，2月20日，星期四第29页，共32页，2023年，2月20日，星期四