流体力学 【课件】Chapter9-边界层流动

边界层流动在低雷诺数的缓慢流动中，由于粘性力远大于惯性力，因此惯性力项可以从运动方程中略去，从而得到斯托克斯方程。对于高雷诺数的势流流动，由于惯性力远大于粘性力，可以将粘性力忽略，从而得到欧拉方程。不适用于固体壁面附近。为什么在势流流动中，在壁面附近不能忽略粘性力的影响？如何正确处理壁面附近大雷诺数的流体流动问题呢？——由1904年普朗特（Prandtl）提出的边界层理论来解决。边界层理论阐明了大雷诺数下，粘性力对流体流动的影响。流体在壁面附近的流动也称边界层流动。问题的引入：普朗特边界层理论一、普朗特边界层理论的要点流体在壁面附近存在很薄的一个流体层，称为边界层。在边界层内垂直于流动方向上的速度梯度很大，剪应力也较大，所以不能忽略粘性力的作用。在边界层以外的区域，流体的速度梯度则很小，几乎可视为零，此时粘性力可以忽略，可以将其视为理想流体的无旋流动。u0u0u0Axcδ平板上边界层的形成u0u0u0Axcδ大雷诺数的流动边界层——边界层理论外流区——欧拉方程二、边界层的形成与发展

所谓边界层就是流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即壁面附近速度梯度较大的薄流体层。1、边界层的形成：u0u0u0Axcδ平板上边界层的形成u0u0u0Axcδ2、边界层的发展由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离称为临界距离(xc)。

xc的大小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体的性质以及流速等因素有关。壁面愈粗糙、前缘愈钝，则xc愈短。对于平板壁面上的流动，雷诺数的定义为实验表明，对于光滑的平板壁面，边界层由层流开始转变为湍流的临界雷诺数范围为（2×105～3×106）。u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axcδ平板上边界层的发展u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axcδ平板上当一粘性流体以均匀流速流进水平圆管时，由于流体的粘性作用在管内壁面处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口某一段距离，边界层在管中心汇合，此后便占据管的全部截面，边界层厚度即维持不变。据此可将管内的流动分为两个区域：一是边界层汇合以前的区域，称之为进口段流动；另一是边界层汇合以后的流动，称为充分发展的流动。将入口至边界层汇合处的距离L称为进口段长度。管内流动边界层的形成和发展，与平板边界层相似。如下图所示，u∞uu∞∞uu∞xcδδδd圆管进口处层流边界层的发展u∞uu∞∞uu∞xcδδδd圆管进口处层流边界层的发展

若来流速度较小，边界层在管中心汇合时流动为层流，则管内流动继续保持层流，即维持充分发展的层流流动；若来流速度较大，则在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流，如下图所示。层流时湍流时在管内流动充分发展后，流体的流动型态将不再随流动距离x变化，此时以x定义的雷诺数已不再具有湍动程度的表征意义。因此对于充分发展的管内流动，判别流动型态的雷诺数定义为式中，d为管内径；um为流体在管内的平均流速或主体流速。当Re<2000时，管内流动为层流流动。进口段长度可由下式计算当Re>4000时，管内流动为湍流。对湍流流动，进口段长度计算尚无可靠的公式，一般可用下式估计由于湍流时边界层厚度增长较快，所以其进口段要比层流时短。近似计算时，通常取Le=50d。通常将流体速度为来流速度99%时的流层距壁面的法向距离定义为边界层的厚度，以δ表示。用公式可表示为三、边界层的厚度y为垂直于流动方向上的距离边界层厚度随流体的性质（如密度与粘度）、来流速度以及流动距离而变化。在板的前缘处，δ=0；随着距离的增加，边界层逐渐增厚。对于管内流动，在边界层未汇合以前，边界层厚度的定义和影响因素与平板壁面相同。但流动充分发展后，边界层厚度为管的内半径，即通常，边界层厚度约在10-3m的量级。四、边界层的基本特征实验研究表明，对于大雷诺数下的流体流动，边界层具有以下两个基本特征：（2）边界层内的粘性力与惯性力量级相同。这是因为边界层内速度梯度很大，即使流体的粘度很小，但作为速度梯度与粘度的乘积——粘性力仍然不可忽略。（1）边界层厚度δ

要比流场流动的特征尺寸L小的多，即δ<<L。普朗特边界层方程一、普朗特边界层方程的推导

为了简单起见，在此仅考察不可压缩流体在无限大平板壁面上作稳态流动的情形。u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axcδ平板上边界层流动u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axcδ平板上xy假设流体自平板前缘至临界距离xc内所形成的边界层为二维层流流动。以流动方向为x方向，以与壁面相垂直的方向为y方向。上一章讲过对于二维的平面流动，连续性方程可以简化为（4-1）上面的两个运动方程即为普朗特边界层方程。（4-2）（4-3）运动方程可以简化为方程(4-1)、(4-2)和(4-3)构成了一个二阶非线性偏微分方程组，方程组中有3个方程，3个未知数。从理论上来讲方程是可以求解的，但实际上，由于方程的非线性及原函数的复杂性，方程不经简化实际上无法直接求解。二、普朗特边界层方程的简化因为方程的边界条件中不出现压力项，所以可以采用以动压力梯度来表示的运动方程：（4-2a）（4-3a）方程的边界条件：下面根据边界层流动的特征，采用数量级分析（简称量阶分析）的方法对普朗特边界层方程进一步简化。在进行量级分析之前，首先作两点说明：（1）数量级分析需要预先选取标准量阶，其它物理量的量阶都是相对标准量阶而言的，当标准量阶改变以后，其它物理量的量阶也随之改变。（2）所谓量阶不是指该物理量的具体数值，而是该物理量在整个区域内相对于标准量阶的数量级。在对边界层流动的分析中，选取如下两个标准量阶：①取流动距离x作为距离的标准量阶，以来流速度u0作为速度的标准量阶，用符号O来表示，写成O(x)=1，O(u0)=1，这也意味着这两个物理量的量阶相当。②取边界层厚度δ

作为另一个标准量阶，由于δ

很小，故以符号O(δ)=δ来表示。显然，标准量阶δ与另外一个标准量阶1不在一个水平上，通常1是δ

的103倍。当选择了标准量阶以后，可以将其它物理量的量阶与标准量阶相比较（4）y。由于在边界层范围内，y由壁面处的零值变化至边界层外缘处的δ

，故y的量阶为y=O(δ)。（7）。（1）ux。ux由壁面处的零值变化至边界层外缘处的u0，故其量阶与u0或x的量阶相同，即O(ux)=1。（2）。将写成差分形式，即（3）。（5）uy。由不可压缩流体的二维连续性方程可知，由于的量阶为O(1)，故的量阶亦必为O(1)，所以uy的量阶是O(δ)。（6）。将以上各式代入式（4-4），并进行量阶比较(1)(1)(δ)(1/δ)(1)(1/δ2)通过量阶比较可知，上式右侧括号内第一项的量阶远远小于第二项的量阶，故可将第一项从方程中消去。

由于(4-10)左侧两个惯性力的量阶均为O(1)，而在边界层内粘性力和惯性力同阶，故右侧粘性力项故这时方程可以简化为（4-10）(1)(δ)(δ)(1)(δ2)[(δ)(1/δ)]根据量阶分析可知，等号右边中括号中第一项的量阶远远小于第二项的量阶，因此可以将第一项忽略，这样y方向上的普朗特边界层方程可简化为(1)(δ)(δ)(1)(δ2)(1/δ)（4-11）下面在来看一下y方向上的普朗特边界层方程中各项的量阶由（4-11）式可知，动压力梯度项的量阶不可能超过δ

阶，即另外，由于y方向上的普朗特边界层方程（4-11）中每一项的量阶均为O(δ)阶，而x方向上普朗特边界层方程（4-10）中的每一项量阶均为O(1)阶。由此可见，y方向上的普朗特边界层方程可以忽略。因此x方向上的运动方程（4-10）中，动压力梯度项就可以从方程中略去（4-10）(1)(1)<δ2(1)（4-10a）这样，普朗特边界层方程经简化后只剩下了x方向上的运动方程但仅（4-10a）一个方程解不出两个未知数ux和uy。？这时可以考虑将（4-10a）与连续性方程（4-1）联立求解。即，（4-10a）x方向上简化的普朗特边界层方程（4-1）连续性方程这是一个二阶非线性偏微分方程组，含有两个因变量(ux和uy)和两个因变量(x和y)，求解起来比较困难，因此可以考虑利用流函数Ψ可以将其化为一个偏微分方程。（4-10a）三、普朗特边界层方程的求解根据流函数Ψ的定义，将其带入式（4-10a）中，有由于流函数Ψ自动满足连续性方程，因此（4-1）就已经隐含在式（4-12）中了。（4-12）这样由式（4-1）和式（4-10）构成的二阶非线性偏微分方程组就简化为一个三阶非线性偏微分方程。利用流函数的概念虽然将由(4-1)式和(4-10)式构成的二阶非线性偏微分方程组简化为一个三阶非线性偏微分方程(4-12)，但要单纯利用数学方法求该方程仍然是非常困难的。方程的边界条件：为此，需要通过相似变换的方法将偏微分方程进一步化简为常微分方程。下面简要介绍一下相似变换法的求解思路。相似变换的基本思想是：找到一个无因次位置变量η

，使之与x和y两个自变量同时关联起来。这样就将Ψ与x,y之间的函数关系表示为Ψ与η之间的函数关系——f这样就可以把

Ψ关于两个自变量x，y

的偏微分方程转变成关于一个自变量η

的常微分方程。

Ψ

ηfx

y其中令这样，Ψ的各阶导数为（4－13）（4－14）（4－15）（4－16）（4－17）将Ψ

的各阶导数带入（4－12），并化简得（4－18）相应的边界条件化为这样三阶非线性偏微分方程（4－12）就化为了三阶非线性常微分方程（4－18），该方程虽然从形式上看十分简单，但由于方程的非线性，仍无法得到封闭形式的解析解。布拉修斯采用级数衔接法近似地求出了式（4-18）的解，其后又许多研究者采用数值积分的方法求出了该方程的数值。在此仅给出数值积分的结果Blasius方程由此可解得不同的η

值所对应的f、f'和f"值，也就得到了各处的速度分布。ηff'f"ηff'f"00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.400.006640.026560.059740.106110.165570.237950.322980.420320.529520.650030.781200.922301.072521.23.991.396821.569111.746961.929542.116052.305762.498062.6923800.066410.132770.198940.264710.329790.393780.456270.516760.574770.629770.681320.728990.772460.811520.846050.876090.901770.923330.941120.955520.966960.975870.332060.331990.331470.330080.327390.323010.316590.307870.296670.282930.266750.248350.228090.206460.184010.161360.139130.117880.098090.080130.064240.050250.038974.64.85.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.07.27.47.67.88.08.28.48.68.82.888263.085343.283293.481893.680943.880314.079904.279644.479484.679384.879315.079285.279265.479255.679245.879246.079236.279236.479236.679236.879237.079230.982690.987790.991150.994250.996160.997480.998380.998980.999370.999610.999770.999870.999920.999960.999980.999991.000001.000001.000001.000001.000001.000000.029480.021870.015910.011340.007930.005430.003650.002400.001550.000980.000610.000370.000220.000130.000070.000040.000020.000010.000010.000000.000000.00000为应用方便，将上式各对应值列成表格形式，如下表所示。四、普朗特边界层方程的应用2、求边界层的厚度由边界层厚度的定义可知，当时ux/u0=0.99时，壁面的法向距离y即为边界层厚度δ。参见上表，当时ux/u0=f'=0.99115时，η=5.0。所以有将上式写成无因次形式（4-21）1、求边界层速度将流函数的定义式带入（4-13）和（4-16）式得（4-19）（4-20）由此可得3、求流动阻力流体的流动阻力来自于壁面的剪应力，根据牛顿粘性定律，壁面剪应力而根据上表中的数据，有根据阻力系数的定义，可得距平板前缘x处的局部摩擦阻力系数为于是有（4-22）（4-23）将壁面剪应力的公式（4-22）带入，并积分得平均阻力系数CD为上述结果称为布拉修斯解。其在层流范围内与实验数据吻合得很好，但在平板前沿处不成立。?不成立的原因是量级关系δ<<x在该处不成立。（4-24）（4-25）当流体在一宽度为b、长度为L的平板壁面上流过时，流体对板面施加的总曳力Fd(主要由摩擦曳力构成)可表示为在平板前缘处，平板边界层的阻力系数需要利用高阶边界层理论加以修正，我国力学家郭永怀研究得出的修正公式为：该公式的适用范围：5<ReL<100。例：25℃的空气在常压下以6m/s的速度流过一平板壁面。试求距平壁前缘0.15m处的边界层厚度，并计算在该处距平壁壁面1mm处的ux，uy及速度梯度∂ux/∂y。空气的运动粘度为1.55×10-5m2/s，空气的密度为1.185kg/m3。解：首先计算一下距平板前缘0.15m处的雷诺数，以确定流型（1）计算边界层的厚度由（4-21）得（2）计算距平壁壁面1mm处的ux，uy及速度梯度∂ux/∂y。先求η于是，由此可见，uy<<ux，因此y方向上的流动可以忽略。查表得，当η

=1.6时，f=0.42,f'=0.516,f"=0.296卡门边界层动量积分方程

描述边界层流动的普朗特方程虽然比奈维-斯托克斯方程简单，但由于方程的非线性及原函数的复杂性，使得求解过程非常复杂，并且只适用于少数几种简单的流动情形。工程中遇到问题大多是很复杂的，直接求解普朗特边界层方程相当困难，为此人们不得不采用各种近似求解的方法。一、卡门边界层动量积分方程的推导为简单起见，本节以不可压缩流体沿壁面作稳态流动为例进行讨论。

冯·卡门根据动量守恒定律和边界层的基本特点，避开奈维-斯托克斯方程，直接对边界层进行动量微分衡算，并在此基础上建立了边界层动量积分方程。如右图所示，密度为ρ、粘度为μ的不可压缩流体在光滑壁面上流动，设边界层外的来流速度为u0，距平板前缘位置x处的边界层厚度为δ。在板的宽度方向取单位厚度（z＝1）。在距壁面前缘x

处，取微元控制体ABCDA。将动量守恒定律应用于此微元控制体，有：如果只考虑x方向上的受力情况，则有（4-24）（4-25）下面逐一考察微元体的4个面的动量变化情况。（1）AB截面：在沿壁面的法向距离y处，取微分高度dy，则通过微元截面dy

·1流入的质量流率为，而通过该微元截面流入的动量流率为。因此，流入整个截面质量流率和动量流率分别为：（4-26）（4-27）（2）CD截面：从CD截面（x+dx处）流出的质量流率和动量流率可由在AB截面（x处）上的质量流率和动量流率的一阶泰勒展开得到。

（4-28）

（4-29）（3）AD截面：因为是固体壁面，所以AD截面上不存在流体质量和动量的流入与流出。（4）BC截面：根据质量守恒定律，在稳态下由此截面流入的质量流率应为CD截面流出的与AB截面流入的质量流率之差，即由于该截面取在边界层外缘处，故此处的流体均以速度u0流入控制体内，于是从该截面流入的动量流率为（4-30）（4-31）微元控制体内的净动量变化速率为：“流入”－“流出”。即，（4-32）ΣFx=?作用于控制体上的力有壁面摩擦力和流体静压力，流体微元在各个面上的受力分析如下：（2）AB面：由于AB面与流动方向垂直，因此只受到左侧流体施加的正压力，而不受摩擦剪应力作用，压力的大小为（3）CD面：同样，由于CD面垂直于流动方向，因此也只受到右侧流体施加的正压力，力的大小为“－”代表力的方向与流动方向相反（1）AD面：由于是壁面，AD面仅受摩擦剪应力的作用，即（4）BC面：因该截面与边界层以外的流体没有速度梯度，剪应力为零，因此也仅受到周围流体的正压力作用，作用力的大小为：“－”代表力的方向与流动方向相反所以流体微元受到的合外力为（4-33）将代入（4-34）式得（4-34）通过比较各项的量阶，上式可以简化为（4-35）

上式即为卡门边界层动量积分方程。在该方程的推导过程中并没有规定边界层内流体流动的型态，故无论对于层流边界层还是湍流边界层均适用。但求解时要分别代入层流分布或湍流速度分布方程。此外，该方程也可用于曲面物体边界层。由于在边界层内

[(1)-(1)](1)(δ)≤δ3

δ2(1/δ)(1)二、卡门边界层动量积分方程的求解

从式（4-35）中可以看出，只要将速度分布，亦即ux～y之间的函数关系式带入方程中，然后积分就可以得到卡门边界层动量积分方程的解析解。

从理论上讲，边界层的速度分布可以通过求解边界层的运动方程和连续性方程得到，但这样问题又回到了出发点，即普朗特边界层方程的求解问题。

为了避开这一难题，可以预先假定一个速度分布，将其带入（4-35）中进行求解，然后在将其结果与实验相比较。如果二者吻合，说明所假定的速度分布是正确的，这种方法求得的近似解称为实验逼近解。

边界层内的速度分布可以用n次多项式来逼近。多项式的级数越多，就越接近原函数。实际上，对于层流边界层，用四阶多项式来逼近边界层的速度分布就已经很接近了。于是，可假定边界层内的速度分布为（4-36）壁面上流体不滑脱将上述边界条件带入（4-36）可以求得多项式各项的系数于是，边界层内的速度分布可表示为（4-37）边界条件：将速度分布方程式（4-37）带入边界层动量积分方程式（4-35）（4-38）（4-39）于是有：（4-40）右侧求微分得:（4-35）左侧求积分得上式是一个一阶常微分方程，对上式进行积分，并将边界条件x=0，δ

=0带入得，（4-41）写成无因次形式为（4-42）分离变量得（4-21）与求解普朗特边界层方程得到的精确解相比，可见二者相当接近二、卡门边界层方程的应用——求摩擦阻力和阻力系数摩擦阻力来自于壁面剪应力τwx将（4-39)式和（4-41）式带入牛顿粘性定律得距平板前缘x位置处的局部摩擦阻力系数CDx为流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面所受的总阻力为所以，平均阻力系数为其中，注意：上述公式仅适用于流体在边界层作层流流动?例:常压下温度为20℃的空气以的5m/s的流速流过一块宽1m的平板壁面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层的质量流率，并计算该段平板壁面的阻力系数和承受的摩擦曳力。设临界雷诺数Rexc=5×105。已知空气在20℃和1atm下的密度和粘度分别为1.205kg/m3和1.81×10-5Pa·s。解：（1）判断x=0.5m处边界层的流