《热力学与统计物理》第六章 近独立粒子及其最概然分布

热力学与统计物理学

第六章

近独立粒子及其最概然分布本章要求μ空间、相轨道、量子态等概念；微观粒子和系统微观运动状态的描述；等概率原理；玻尔兹曼、玻色、费米系统的微观状态数的计算及最概然分布，三种分布的关系

§6.1粒子运动的经典描述一.粒子状态的经典描述r:

粒子的自由度本节要求：①掌握近独立粒子体系、μ空间、相轨道等概念；②了解一些粒子的相轨道。

近独立粒子体系(P227)：各粒子之间相互作用可忽略。

1μ空间

:

r个广义坐标为横轴,r个广义动量为纵轴所构成的2r维空间

2代表点

:

μ空间中的一点,代表粒子某时刻的运动状态;

3相轨道

:

粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道。（哈密顿量）例一、自由粒子(无外场时的理想气体分子,金属中自由电子)自由度：3相空间维数：6位置:x,y,z能量：1维自由粒子:μ空间为2维平面．粒子的状态由描述;运动在长度Ｌ的1维容器中的粒子的坐标和动量分别在范围内取值;粒子可能态的集合为平面上带状（连续）区域；能量可连续取值．能量值确定的状态在空间为两条相互平行的直线段；动量值确定的状态则分布在一条直线段上;3维自由粒子：分解为3个2维子空间;对于给定能量的状态，在空间为5维的等能“曲面”。能量：例二、线性谐振子(分子中原子的振动，晶体内原子或离子的振动)自由度：1相空间维数：2位置：x能量椭圆:xp给定能量的状态在μ空间为一椭圆（1维等能面），长、短半轴分别为

例三、转子(双原子分子绕质心的转动)自由度：2空间维数：4位置：动量：oxyzA能量：双原子分子:以约化质量μ替换m无外力作用,选Z轴平行于转子总角动量M:§6.2粒子运动的量子描述粒子性与波动性量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。本节要求：①掌握量子态的概念；②掌握自由粒子能量量子化及其量子态数的计算，

③掌握粒子能态密度的概念和计算。

称为普朗克常数德布罗意关系：不确定关系:微观粒子不可能有确定的动量和坐标,不作轨道运动.例一、自旋

(基本粒子的固有量子属性,具有角动量性质)自旋角动量取值为:电子、质子、中子等粒子,其量子数为自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个值:在外场B中的势能为自旋磁矩:例二、线性谐振子(双原子分子的相对振动，晶格振动)

例三、转子简并度：能级间等距,无简并

一维:由一个量子数n

描述状态，能量可能值:自由度为2的转子运动状态由一组量子数(l,m)描述例四、自由粒子a.一维周期性边界条件要求:

带入德布罗意关系式:能级间隔:二度简并b.三维有，，故一个态在平面占据的面积为h

量子数：3个n=1时，简并度：6xpxLo2πħ/L-2πħ/L量子状态数与态密度例：求V=L3内在Px

到Px+dPx

，Py

到Py+dPy，

Pz

到Pz+dPz

间的自由粒子的量子态数与态密度。1.定义：设粒子能量在ε到ε+dε范围的量子态数为dz，则单位能量间隔的量子态数称为粒子能态密度，记为:即:,

2.能态密度的计算步骤：①求出粒子能量在ε→ε+dε的量子态数dz，②由求出在能级密集的假设下，动量能量可看作连续变化在V=L3内，符合上式的量子态数：粒子自由度为r,（相格）粒子状态与μ空间体积元的对应关系:亦可从对应关系来理解空间的粗粒近似相格足够小，同一相格内的不同相点所代表的状态可近似认为相同。同一相格中各相点对应的粒子能量近似相同。（相格）

μ空间体积元中微观状态数为：

采用球极坐标，用代替在体积V

内,动量大小在P

到P+dP

，动量方向在θ到θ+dθ,φ到φ+dφ的范围内,自由粒子可能的状态数为:动量空间中的体积元:思考:如何求面积内二维自由粒子的态密度?

以上为考虑粒子自旋(考虑自旋,乘以2)§6.3系统微观运动状态的描述

本节要求:

全同粒子体系运动状态的经典描述;全同粒子的特点；玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的区别及其它们的量子描述

§6.3系统微观运动状态(力学运动状态)的描述全同粒子:完全相同的属性(质量,电荷,自旋)一.经典物理中微观运动状态的描述2）可分辨（可跟踪的经典轨道运动）任意交换两粒子的运动状态将改变系统的状态1）描述方式：空间中N个点．

2Nr个变量：Particlei:Particlej:二.量子物理中微观运动状态的描述1）不可分辨（物质波的非轨道几率运动）交换两粒子的运动状态不改变系统的状态;2)非定域系(粒子运动发生重叠,如气体)

定域系(粒子运动不发生重叠,如固体中振动的原子)对于定域系可不考虑全同性影响,但粒子仍是量子性的,比如能级分立;3）描述方式：a.确定每一个体量子态上的粒子数(不可分辨)

b.确定每一个粒子的个体量子态

(可分辨)4）自旋对统计的影响b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子(偶数个费米子)。如：光子、π介子等。a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子(奇数个费米子)。如：电子、质子、中子等。c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。5)玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统：粒子可分辨，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。玻色系统：粒子不可分辨,且处在一个个体量子态的粒子数不受限制；

费米系统：粒子不可分辨，且一个个体量子态上最多能容纳一个粒子。粒子类别量子态1量子态2量子态3玻耳兹曼系统9ABABABABBAABBAABBA玻色系统6000000000000费米系统3000000从统计物理发展史来看定域系的统计麦克斯韦--玻尔兹曼统计(经典统计),忽略量子的动力学效应(用经典力学描述粒子运动)忽略量子的统计效应(如自旋和全同性的影响)

量子统计(玻色––爱因斯坦统计,费米—狄拉克统计)适当的近似下(经典极限),回归经典统计的结果

§6.4等概率原理本节要求:掌握等概率原理的文字叙述、适用条件一.概率理论初步(汪书附录P466)1.概率：2.概率的性质a.不相容（互斥）事件：加法定理b.独立事件：乘法定理3.概率分布a.离散变量：b.连续变量abxp4.统计平均值a.离散型:b.连续型：5.涨落二.宏观状态与微观状态的区别：宏观状态:系统由宏观参量表征微观状态:如上节所述,系统的力学运动状态确定宏观状态下,系统可能的微观状态是十分巨大的三.宏观状态与微观状态的联系：宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值.统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率.四.等概率原理(玻耳兹曼,1870S)：对于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的.适用范围：平衡态、孤立系统、大量粒子构成.

一个基本假设,是平衡态统计物理的基础,正确性由其推论与实验相符而得到证实§6.5分布与微观状态数

本节要求:

分布和微观状态的区别；玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统微观状态数的计算公式；非简并条件及其它所代表的物理意义.§6.5分布与微观状态数一.分布对于确定的宏观状态(如N,E,V)下，粒子数按能级的排列方式:能级：简并度：粒子数：确定的宏观状态：二.微观状态:每个分布可以有许多个微观状态

1.玻耳兹曼系统(可分辨,每个态的粒子数不受限制)2.玻色系统(不可分辨,每个态的粒子数不受限制)3.费米系统(不可分辨,每个态仅容纳一个粒子)134254.非简并性条件(经典极限条件)若对所有的能级,则有物理意义：当所有能级的粒子数都远小於量子态数，即平均而言，处在每一量子态上的粒子数均远小於1时，粒子间的关联可忽略。全同性原理的影响只表现在因子上.

5.经典系统体积元“简并度”能量粒子数§6.6—§6.8

玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布

本节要求:

掌握三种分布的推导方法，推导中采用的假设和公式的几种形式及各种形式代表的物理意义、适用条件；三种分布的关系

§6.6玻耳兹曼分布一.最可几(最概然)分布:二.麦克斯韦—玻耳兹曼分布按照等概率原理，系统微观状态数最多的分布.对于玻耳兹曼系统:两边取对数:Stirling公式:约束条件:假设所有都很大(有缺陷,但不影响结果的正确性)令各有的变化:拉氏乘子法:三.几点说明:1