南昌大学2023级高数(下（期中）)试题及答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——南昌大学2023级高数(下（期中）)试题及答案南昌大学2023～2023学年其次学期期中考试试卷

一、填空题(每空3分，共15分)

1.函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为.

.

??????????????2.已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为

3.微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是

.

4x?y222x??2?e的特解

4.函数f(x,y)?ln(1?x?y)?z?x?y2的定义域是.

5.函数z?xy,则

?.

二、单项选择题(每题3分,共15分)

1.已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v,则

f(x?y,x?y,xy)?().

(A)(x?y)xy?(xy)2x.(B)(x?y)xy?(xy)2x.(C)(x?y)2y?(xy)xy(D)(x?y)2x?(xy)2y.

??2.设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线,则().

(A)??4,???1.(B)???4,???1.(C)??1,???1.(D)???2,??4.

??????3.设a?b?a?b,a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),

则z?().

(A)?1.(B)1.(C)3.(D)?3.

1

4.曲线y?ln(1?x)上0?x?21一段的弧长S?().212(A)?21??1??

0?1?x2?dx.?1(B)?201???ln(1?x2?2?dx.

1(C)

?21??2x

01?x2dx12(D)

?21?x01?x2dx.

5.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分

方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的解,C1,C2是任意常数,

则该非齐次线性微分方程的通解是().(A)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3.(B)C1y1?C2y2?y3.

(C)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3.(D)C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.

三、计算题(共2小题,每题8分,共16分)1．已知两条直线的方程是：

L?2?11:x?11?y?20?z?3?1,L2:x2?y1?z1,求通过直线L1且平行于L2的平面方程.2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影.

2

四、解以下各题(共2小题,每题8分,共16分):1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,

x0求?(x)

2、求微分方程2y''?5y'?5x2?2x?1的通解.五、计算以下各题(共2小题,每题8分,共16分):1、(应用题)求曲线y?3?x2与直线y?2x

所围成图形的面积.2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy,求fx(x,1).

六、求以下导数（共2小题.每题7分,共14分）:1、设z?z(x,y)是由方程2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所确定的隐函数,证明:

?z?z?x??y?1.

2、设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数

2求

?z?x?y.

七、(8分)设f(x)为连续函数,

(1)求初值问题??y'?ay?f(x),?的解y(x)。

??yx?0?0其中a是正的常数;

(2)若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,

3

有y(x)?ka(1?e?ax).

南昌大学2023～2023学年其次学期期中考试试卷及答案三、填空题(每空3分，共15分)1.函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为

e?eb?aba.

??????????????2.已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为

1219.

x?3.微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是y?esinx.4.函数f(x,y)?4x?y222?2?e的特解

ln(1?x?y)22的定义域是

2?(x,y)0?x5.函数z?xy,则

?y?1,y?4xy?1?y?1.

lnx?z?x?y2?x?yx.

四、单项选择题(每题3分,共15分)

1.已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v,则

f(x?y,x?y,xy)?(B).

(A)(x?y)xy?(xy)2x.(B)(x?y)xy?(xy)2x.(C)(x?y)2y?(xy)xy(D)(x?y)2x?(xy)2y.

??2.设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线,则(A).

(A)??4,???1.(B)???4,???1.

4

(C)??1,???1.(D)???2,??4.

3.设??????a?b?a?b,a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),

则z?(B).

(A)?1.(B)1.(C)3.(D)?3.4.曲线y?ln(1?x2)上0?x?12一段的弧长S?(D).

12(A)?21??1??01?xdx.

?2??1(B)?201??2?2?ln(1?x?dx.

1(C)

?21??2x01?x2dx

12(D)

?21?xdx.

01?x25.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分

方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的解,C1,C2是任意常数,

则该非齐次线性微分方程的通解是(C).(A)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3.(B)C1y1?C2y2?y3.

(C)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3.(D)C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.

三、计算题(共2小题,每题8分,共16分)

5

1．已知两条直线的方程是：

L1:x?11?y?20?z?3?1,L2:x?22?y?11?z1,

求通过直线L1且平行于L2的平面方程.

?解:所求平面的法向量为:n?(1,0,?1)?(2,1,1)?(1,?3,1).

点(1,2,3)在平面上,

则平面方程为:(x?1)?3(y?2)?(z?3)?0.即x?3y?z?2?0.2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影.解:过点(?1,2,0)而垂直于已知平面的直线方程是

x?t?1,y?2t?2,z??t.

代入平面方程得6t?4?0,?t??从而x??53,y?23,z?23.

23.

?522?故点(?1,2,0)在平面的投影是??,,?.

?333?四、解以下各题(共2小题,每题8分,共16分):1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,

0x求?(x)

解:方程两边对x求导,得：

?'(x)cosx??(x)sinx?2?(x)sinx?1,

即：?'(x)?tanx??(x)?secx.

6

??(x)?e??tanxdx???secxe?tanxdxdx?C??

?Ccosx?sinx.又由方程知?(0)?1,?C?1故?(x)?cosx?sinx.

2、求微分方程2y''?5y'?5x2?2x?1的通解.解:2r2?5r?0,?r51?0,r2??2.

?Y?C1?C?52x2e.???0为单根,?设y*?(Ax2?Bx?C)x.

代入原方程,比较系数得:A?1373,B??5,C?25.故原方程的通解为:

5y?C2x1?C2e??1323x3?5x?725x.

五、计算以下各题(共2小题,每题8分,共16分):1、(应用题)求曲线y?3?x2与直线y?2x

所围成图形的面积.

解:两曲线的交点是A(1,2),B(?3,?6),

故面积S??1(3?x2?2x)dx?3?323.

2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy,求fx(x,1).

7

解:fx(x,y)?1?(y?1)?1?11?xx?1y,

y2y?fx(x,1)?1?0?1.

六、求以下导数（共2小题.每题7分,共14分）:1、设z?z(x,y)是由方程2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所确定的隐函数,证明:

?z?x??z?y?1.

证明:设F(x,y,z)?2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z.

?Fx?2cos(x?2y?3z)?1,Fy?4cos(x?2y?3z)?2,

Fz??6cos(x?2y?3z)?3

??z2cos(x?2y?3z)?1?x??FxF?z6cos(x?2y?3z)?3,

?z??Fy?yF?4cos(x?2y?3z)?2z6cos(x?2y?3z)?3.

故：

?z?x??z?y?1.证毕.

2、设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数

2求

?z?x?y.

解:

?z'x'?x?f1?esiny?2x?f2

8

?2z'xxx''?x?y?f1?ecosy?esiny?f''11?ecosy?f12?2y?

?2x?f''x''21?ecosy?f22?2y??f'excosy?f''2x1?11?esinycosy

?2f''x''12?e?ysiny?xcosy??4xyf22

七、(8分)设f(x)为连续函数,

(1)求初值问题??y'?ay?f(x),?的解y(x)。??yx?0?0其中a是正的常数;

(2)若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,

有y(x)?kaxa(1?e?).

解:(1).线性微分方程的通解为

y(x)?e??adx???f(x)e?adxdx?C??

?e?ax???f(x)eaxdx?C???e?ax?F(x)?C?.

其中F(x)是f(x)eax的任一原