题组24-点线面的位置关系与空间角

题组24点线面的位置关系与空间角空间点线面的位置关系是立体几何的核心，其中四个公理及其推论是立体几何理论体系的基础，是空间中确定平面的依据，是空间问题转化为平面问题的依据，是作图的依据，线面的平行和垂直关系是立体几何的主体内容，高考对这部分内容的考查一是以客观题的形式考查对线线、线面、面面位置关系的理解与掌握，难度不大.二是结合几何体的三视图、直观图考查几何体的表面积、体积的计算，三是判断位置关系和计算角度.空间向量一般较少单独命题，主要是应用在用向量讨论立体几何问题——求角、求距离、证明垂直与平行等.问题：(1)三视图及相关的体积、表面积的简单计算．(2)点、直线、平面之间的位置关系．(3)距离、角度的向量计算.(4)存在型、探究型问题．三视图是考查重点，几乎年年都考，以选择，填空题为主，当然也可能在大题中由三视图还原为直观图后考查定性及定量问题；对平行、垂直关系的证明依然是考查重点；符号语言、图形语言、文字语言的相互转化要引起足够的重视(尤其在择填空题)；引入了空间向量后，空间角的求解思维难度减小，计算要求提高了；有关球的考查降低了要求，不再考球面距离但球的表面积、体积要熟练掌握.AE•CF3AE•CF3 (Ⅰ)证明：平面AEC」平面AFC； (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.22.BDFEBDBEDF，可得EF=3222. 直角坐标系G-xyz，由(Ⅰ)可得A(0,一3,0),E(1,0,2),F(一1,0,),C(0,3,0)，所以22.33(3(3)(33)点评：本题考查了面面垂直的判定方法、异面直线所成角的求法等知识.解第一问的关键是掌握面面垂直的判定方法：(1)其中一个平面经过了另一个平面的垂线；(2)两个平面的法向量互相垂直.第二问先建空间直角坐标系，再找出对应向量的坐标，即可求出角度.IABC-ABC中，侧面BBCC为菱形，AB」BC.1 (II)若AC」AB三CBB=60oAB=BC11求二面角A-AB-C的余弦值.11C111111111111 11所以所以ACBB为等边三角形．又AB=BC，1(3)(3)3(|n.AB=0|3y-3z=0word专业资料-可复制编辑-欢迎下载)3,3一3word专业资料-可复制编辑-欢迎下载)3,3一3n.m71117.点评：本题考查了线线的位置关系，几何图形的性质、二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.第一小问利用等腰三角形三线合一的性质来证明，第二小问先建111111171111弦值为7. (I)证明AB⊥A1C; (II)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解析：(I)取AB中点E，连结CE，AB111111∴ (II)由(I)知EC⊥AB，EA⊥AB，1111111),有题设知A(1,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=(1,0，),1BBAA－1,0,3),AC=(0,－3,3),111设n=(x,y,z)是平面CBBC的法向量，1..xx1∴cosn,AC=n.A1∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为5.点评：本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，属于中档题.1IABCABCACBCAA，2111 1 1111111 11111111111111OH」BD亭CH」BD得：点H与点D重合111111111点评：本题主要考查线线垂直关系和二面角的求法，除了解析中是方法外，也可以利用空间向量求解垂直关系二面角的大小.word专业资料-可复制编辑-欢迎下载(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.圈题理由：证明线面平行和线面垂直问题是高考常考题型，除了解析中提供的方法外，本题还可以直接利用几何推理证明.轴轴，建立空间直角坐标系9(9)在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组|lx－y<8经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以，在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.点O、E分别是棱AC和BB的中点，点F是棱BC上的动点．111word专业资料-可复制编辑-欢迎下载(2)求点E到面AB1C的距离；(3)求二面角B1—A1C—C1的大小．圈题理由：本题综合考查了空间垂直关系的证明、空间角和点到平面距离的求法.解析：(1)设棱柱的高为h，以B为坐标原点，以BA、BC、BB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角122×4＋h22∵F是B1C1上的动点，设平面A1B1C的一个法向量是1①②①②11word专业资料-可复制编辑-欢迎下载→11sn11(1)求二面角A—PD—B的余弦值；(1)求二面角A—PD—B的余弦值；成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．圈题理由：从新课标I卷近4年对立体几何的考查方式来看，解答题中一般会有两问，第一问证明线面关系，第二问求线面角.本题是求线面角的问题，第二问关于存在性问题的处理可先假设存在，再证明.又AC∩CB＝C，66面角A—PD—B的平面角为θ，且θ为钝角，(2)(方法一)存在，M是AB的中点或A是MB的中点．word专业资料-可复制编辑-欢迎下载x1x2＋2－x2＋4·66，M∴在直线AB上存在点M，且M是AB的中点或A是MB的中点，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为16. (方法二)存在，M是AB的中点或A是MB的中点．解得λ＝1或λ＝－1.2∴M是AB的中点或A是MB的中点．∴在直线AB上存在点M，且M是AB的中点或A是MB的中点，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为16.1、设有直线m、n和平面a、.下列命题不正确的是(填序号).ma,na,m∥,n∥,a与也可以相交，所以②不对；C||||25·102.23、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝3a，则则MN与平面BB1C1C的位置关系是()建建立空间直角坐标系，如图所示．word专业资料-可复制编辑AMDBPC平面PMD⊥平面PBD.MABPC同理DA//平面BPC.∵ABCD为正方形，1∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF//2PB.又AM//2PB，∴AM//EF.5、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、D (2)连结BD.DM是PC上的一动点，当点M满足______________时，平面MBD⊥平面PCD.word专业资料-可复制编辑-欢迎下载DMBDPCD (Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值； (Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N,使得直线MN与平面EMC所成的角为60。．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．解析：(I)证明：AC=BC,M是AB的中点：CM」AB．DECACMB (Ⅱ)以M为原点，分别以MB,MC为x，y轴，如图建立坐标系Mxyz，则M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(2,0,1)BC1111y222|l2y=021== 所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值6. FEMCBDAwordFEMCBDA2形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABEF的位置，使平面ABEF」平面ABCD，M为AF的11111 1 (Ⅱ)求BM与平面CEM所成角的正弦值；1 (Ⅲ)判断直线DM与CE的位置关系，并说明理由．1CCDFAB解析：(Ⅰ)证明：因为四边形ABE1F1为正方形，所以BE1」AB.因为平面ABCD」平面ABEF，平面ABCDn平面ABEF=AB,BE仁平面ABEF，1111