四川省乐山市峨眉第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

峨眉二中高级高二上期月考数学试卷命题人：谢向荣审题人：岳震本试卷满分分，考试时间分钟.注意事项：答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，若，则m的值为（）A.－2B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的性质即可求解.【详解】因为，所以，解得，故选：C.2.若直线l的方向向量，平面的法向量，则（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据可得结果.【详解】因为，所以，第1页/共19页所以或.故选：D3.若向量，且与的夹角的余弦值为，则（）A.2B.C.或D.2或【答案】C【解析】【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案.【详解】由题意，向量，得，解得或，故选：C4.如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且，则的长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出辅助线。求出，进而利用两点间距离公式求出答案.【详解】过点D作DHBC于点H，第2页/共19页因为点在平面上，所以点的横坐标为，又，原点是的中点，且，所以，，所以，故点的竖坐标，，故纵坐标．所以．所以，故选：D．5.如图的平行六面体中，点在上，点在上，且，若，则（）A.B.C.D.第3页/共19页【解析】【分析】利用向量的三角形法则，向量的运算性质即可得出.【详解】因为，，，所以，又因为，所以.所以.故选：B6.以下命题中，不正确的个数为（）①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，构成空间的另一个基底；⑤.A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可．【详解】对①，向量、同向时，，故时，必有向量、反向且，只满足充分性，不满足必要性，①错误；对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误；对③，，，则，，不能得到，故③错误；对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面，设，则，方程组无解，矛盾，第4页/共19页，即不共面，构成空间的另一个基底，④正确；对⑤，，⑤错误．故选：C．7.在四棱锥中，h等于（）A.1B.2C.13D.26【答案】B【解析】【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得.【详解】设平面的法向量，则，令，得，所以这个四棱锥的高.故选：B8.棱长为2O为底面ABCDP在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求第5页/共19页解.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，，，，，∵，∴，∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段：正方体中，平面，∴，又，由图可知当点P在E处取得最大值，所以面积的最大值.故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A.B.C.D.第6页/共19页【答案】ABC【解析】【分析】根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断.【详解】如图所示：由图形知：因为，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为平面，所以，所以，故C正确；因为四边形是矩形，所以与不垂直，则，故D错误.故选：ABC10.在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是（）A.轴上的点坐标可以表示为B.轴上的点坐标可以表示为C.平面上的点坐标可以表示为D.平面上的点坐标可以表示为【答案】BCD【解析】【分析】根据空间直角坐标定义对选项一一判断即可．【详解】轴上的点坐标可以表示为，故A不正确；轴上的点坐标可以表示为正确；平面上的点坐标可以表示为正确；平面上的点坐标可以表示为正确．故选：BCD．第7页/共19页如图，菱形ABCD边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，连接，，且，则下列结论中正确的是（）A.平面平面B.平面C.ВС与平面所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】由题意，结合面面垂直的判定定理，即可判断A的正误；利用线面平行的判定定理，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，利用线面角的向量求法，计算即可判断C的正误；先求得平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可判断D的正误.【详解】选项A：因为在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为，所以ED⊥DC，因为，，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面⊥平面，故A正确；选项B：因为，平面，平面，所以平面，故B正确；选项C：由A知，平面，则，，又菱形ABCD边长为2，，E为边AB的中点，所以，又，所以平面BED，以E为原点，分别以EB，ED，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：第8页/共19页所以，由上可知：平面，则即为平面的一个法向量，设ВС与平面所成角为，则，所以，即ВС与平面所成角的余弦值为，故C错误；选项D：显然平面的一个法向量为：，设平面的一个法向量为：则有，即，令，所以，所以，由图象可得，二面角为锐二面角，所以余弦值为，故D正确，故选：ABD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）第9页/共19页12.已知，，则__________.【答案】.【解析】【分析】本道题关键抓住，代入向量的坐标，计算，即可．【详解】，即可．【点睛】本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易．13.已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是_____________．【答案】##【解析】【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解.【详解】由直线l经过，两点，则直线的斜率，所以直线的斜率，由，所以.故答案为：14.、、、、、满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______．第10页/共19页【答案】5【解析】【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数.【详解】因为点满足且，所以点在平面上，因为，所以为平面的中心，此时平面，由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，，所以数量积的不同取值的个数是5.故答案为：5四､解答题（本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知直线经过两点，问：当取何值时：（1）直线与轴平行？（2）直线的倾斜角为？（3）直线的倾斜角为锐角？【答案】（1）1（2）（3）【解析】1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可.（2）结合两点斜率公式和斜率定义，根据直线斜率列方程求解即可.（3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可.【小问1详解】第11页/共19页若直线与轴平行，则直线的斜率，所以；【小问2详解】由直线倾斜角为可知，直线的斜率，所以，解得；【小问3详解】由题意可知，直线的斜率，所以，即，解得16.如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．共面；（2）求证：．【答案】【解析】1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，，0，，，，，从而，由此能证明共面．（2）求出，0，，，，，由，能证明．【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，则0，，0，，2b，，第12页/共19页2b，，0，，为AB的中点，F为PC的中点，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），．【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，M为的中点，N为BC的中点.（1）证明：直线BD平面OAC（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离.第13页/共19页【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】1判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角余弦值，即可得解.（3）求出平面OCD的法向量，利用空间向量点面距离公式求解即可.【小问1详解】连接BD､AC交于点E.因为四边形ABCD是菱形，所以.因为底面且底面，所以.因为，平面OAC，所以直线BD平面OAC.【小问2详解】过A作交CD于点P.如图示，分别以为x､y､z轴正方向建立坐标系，则，，，因为，，所以，，，第14页/共19页设直线AB与MD所成角为，则.因为，，所以，所以，即直线AB与MD所成角为.【小问3详解】设平面OCD的一个法向量为，，，则，所以，令得，设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得.所以点B到平面OCD的距离为.18.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.第15页/共19页（1）设平面平面，证明：；（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为的最值求解即可【小问1详解】因为四边形OBCH为正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH.∵平面PBC，平面平面，∴.【小问2详解】圆锥的母线长为，，∴，，以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第16页/共19页设，，，为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为，则，令，则所以当时，即时，最大，亦最大，此时，所以.19.如图，在长方体中，，为CD中点.（1）求证：；第17页/共19页（2）在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；（3）若平面与平面夹角的大小为30°，求AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；（3）2【解析】1平面（2，和平面法向量坐标，利用空间向量知识可得答案；（3）