辽宁六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题版含答案

2020——2021学年度(上)省六校协作体高二期中联考数学试题一.选择题(1-8题为单选题，每题5分),01F1.已知椭圆方程为4X2+2y2=,01F,0B,F[-i,0]F=,0I2)r 11r 11c.F0,--V 2)r11,F0,-V2)rDF10,-2.已知平面a上三点A(3,2,1)B(-1,2,0)。(4,-2,-1),则平面a的一个法向量为2.A.(4,-9,-16)B.(4,9,-16)C.(-16,9,-4)D.(16,9,-4).若直线x—y=2被圆(x—a)2+y2=4所截得的弦长为2n，则实数a的值为()A.—1或、3B.1或3C.—2或6D.0或4.当a为任意实数时，直线(a—1)x—y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心，忑为半径的圆的方程为()A.(X—1)2+(y+2)2=5B.(X+1)2+(y+2)2=5C.(X+1)2+(y—2)2=5D.(X—1)2+(y—2)2=5.已知四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，则GE.GF等于( )A.1B.-1C.4D.-4.已知双曲线C:上-竺=1。>0,b>0)的一条渐近线与直线3x+\京y+3=0垂直，以a2b2C的右焦点F为圆心的圆(x—c)2+y2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为高二数学共15页第1页

()A.1B.2 C幸 D.2-..；,5.已知椭圆C:上+21=1的右焦点F,P是椭圆上任意一点，点A)9,2v3[则NAPF的9 5周长最大值为( )A.9+<21B.7+2<3+<5C.14D.15+-<3AC1BC,AAAC1BC,AA]=2，当外接球一侧棱垂直于底面的四棱锥。如图,在堑堵ABC-A1片。1中,4,一一一，，阳马B-ACC1A体积的最大值为-时，堑堵ABC-A16的的体积为（）TOC\o"1-5"\h\zA.-，B.虫，C,32，D,”三,3 3 3 3二.多选题（9-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分）2 2 兀9.已知双曲线土-上=1的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为（）a2 2空”—A.3B.3C.%'3D.26.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F/F2在y轴上，短轴长等于2,离心率为3，过焦点勺作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的方程为22+x2=1B.椭圆C的方程为上+y2=13 3APF2Q的周长为4\"高二数学共15页第2页.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是（）A.A1C1//平面CEFB.B1D1平面CEFTOC\o"1-5"\h\z1一C.CE=-Da+dD-dCd.点D与点b1到平面cef的距离相等2 1 112.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值九6。1）的点的轨迹是圆”。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。在平面直角坐标系如》中，A（-2,0）B（4,0）,点P满足线=1。设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）PB2A.曲线C的方程为Q+4、+y2=9P，D1B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得*百=op>E2C.当A,B,P三点不共线时，射线PO是ZAPB的平分线D.在曲线C上存在点M，使得|MO|=2|mA三.填空题（每小题5分）已知直二面角a-l-P的棱l上有A,B两个点，ACua,AC11,BDu0,BD11，若AB=4,AC=3,BD=5，则CD的长是 .x2y2 _设双曲线与椭圆方+36=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（、63,4）,则此双曲线的方程为.已知向量a=（1,-3,2）,b=（—2,1,1）,点A（-3,-1,4）,B（—2,—2,2）.则一|2a+3b|=；在直线AB上，存在一点E，使得OE，b,则点E的坐标为.（第一空2分，第二空3分）高二数学共15页第3页

X2y2已知点4B分别是椭圆%+20=1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的后斜率为3，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于IMBI,椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.四、解答题(10分)当k为何值时，直线3x—(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0,⑴平行；⑵垂直。(12分)已知椭圆E的中心在坐标原点。，两个焦点分别为A(—1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程；⑵对于x轴上的点P&0),椭圆E上存在点M，使得MP±MH，求实数t的取值范围.(12分)如图，设四棱锥E-ABCD的底面是菱形，且ZABC=60。AB=EC=2,AE=BE=■<2.⑴证明：平面EAB1平面ABCD；⑵求四棱锥E-ABCD的体积.(12分)①圆心C在直线l：2x-7y+8=0上，且B6,5)是圆上的点;高二数学共15页第4页②圆心。在直线％-2y=0上，但不经过点（4,2）,并且直线4%-3y=0与圆C相交所得的弦长为4③圆C过直线l：2%+y+4=0和圆％2+y2+2%-4y—16=0的交点，在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系％。》中，圆C过点A（6,0），且⑴求圆C的标准方程；⑵求过点A的圆C的切线方程。（12分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱A1A，底面ABCD,AB±AC,

AB=1,AC=AA尸2,AD=CD=坐，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.C（1）求证：MN〃平面ABCD；⑵求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；1⑶设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为3,求线段A1E的长.（12分）已知椭圆C：%2+”=1（a>b>0）的上顶点为E,左焦点为F,离心率为拦a2 b2 2高二数学共15页第5页 直线EF与圆x2+y2=相切。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A,B两点，线段AB的垂直平分线PF交x轴于点P，试判断二f是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说AB明理由。高二数学共15页第6页DB_ |a-2|D [由弦长公式/=2\,；r2—d2,可知圆心到直线的距离d=%；2,即彳11_12=\；2,解得a=0或4.]C【解析】 直线方程变为(%+1)a—%—y+1=0.，x+1=0, fx=—1,由］—x—y+1=0, 得］y=2, •••C(—1,2)，，所求圆的方程为(%+1)2+(y—2)2=5.Ab(J_^ b近 近D［由直线垂直的条件，可得&•(—m)=—1,所以a=3，由点F(c,0)到渐近线y=3%的3c _ 「 -距离d=(始2 ="'’2,可得c=\：5,2c=2''5.］Nl3J2+(—1)2CBAD1解析如图所示，双曲线的渐近线方程为y=±a%，n n \''2\.'3若/AOB="3"，则。="6"，/a〃O=a=H，；.a=\：6>%；2.又‘：c='-,'6+2=2\-'2,高二数学共15页第7页c2^2 2J3二e=a=\：E=3.ACDACBC5<2X2y解：因为椭圆25+3=1的顶点为(一5,0),(5,0),(0,—3),(0,3),当顶点为(一5,0),cc X£(5,0)时，焦点在％轴上，且a=5.又a=5=2,所以c=10,从而b2=75,所以标准方程为25一y75=1.当顶点为(0,—3),(0,3)时，焦点在y轴上，且a=3.Cc又e=a=3=2,所以c=6,所以b2=c2—a2=36—9=27,yX2所以标准方程为3—27=1.X2y2 yX2综上可知，双曲线的标准方程为25—75=1或9-27=115.15.16.解直线AP的方程是1—-..;13y+6=0.设点M的坐标是(m,0),|m+6|则M到直线AP的距离是|m+6|于是-2-=|m—6|,高二数学共15页第8页又一6WmW6,解得m=2,所以点M(2,0).设椭圆上的点(羽y)到点M的距离为d,有5d2=(%—2)2+y2=%2—4%+4+20—g%29^=9lx—2j2+15，由于一6WxW6.9 「所以当％=2时，d取最小值对15..解：(1)两直线平行时3(2k-3)=—k(k+2)解得k=1或k=-9当k=1时两直线重合，所以两直线平行时，k=-9(2)两直线垂直时，3k-(k+2)6k-3)=0解得k=1+，13,k=1-'1312 2 2.解(1)由题意可得，c=1,a=2,/.b=\：3.X2y2・•.所求椭圆E的标准方程为％+i=1.(10 X2y2⑵设M(x0,y0),x0£(—2，21则才+"30=1.①MP=(t—x0,-y0),MH=(2—x0,—y0),由MP±MH可得耐5•MH=0,即(t—x0)(2—x0)+y0=0.②1由①②消去y0,整理得t(2—x0)=—4x0+2x0—3.1 3•/x产2,；.t=4x0—2.高二数学共15页第9页:一2<%0<2,；.-2<t<一1.・•・实数t的取值范围为(一2,—1).19.(1)证明：取AB中点0,连接EO,CO,AC因为底面ABCD为菱形且AB=2,0为AB中点，CO=<3:AE=BE=22,AB=2:.AE1BE「.E0=1,E0±ABEC=2/.EO2+CO2=EC2即E01CO•••COnAB:.EO1平面ABCD•EOu平面EAB:.平面EAB1平面ABCD⑵由⑴可得E0为四棱锥E-abcd的高，E0=1，^abcdT4度4<314<3...V=—EO-SE-ABCD 3 ABCD20.解：选①条件(1)(方法一)设所求圆的方程为Q—〃1+(y—bI=r2，由题意得(6-a)+(0-b)=r2<G—a)+(5—b)=r2解得a=3,b=2,r2=132a—7b+8=0所以所求圆的方程是Q-3、+(y-2)=13(方法二)设线段AB的垂直平分线为办则圆心C在直线上且在直线l上，即C是m与l的交点(75) ―直线AB的斜率是-1,直线m的斜率是1,AB中点为-,，所以直线m:x—y-1=0k22J高二数学共15页第10页fx—y—1=0 (x=3彳 解得彳。所以圆心C(3,2)且|。川="3[2x—7y+8=0 [y=2所以所求圆的方程是(X—3、+(y—21=13, 2 3(2)丁A在圆C上，k=—-，过点A的切线斜率为三AC3 2二过点A的切线方程是y=3(x—6)即3x—2y—18=0选②条件(1)设所求圆的方程为(x—a)+(y—bI=r2，由题意得a=2b，设圆心C到直线4x—3y=0距离为d，r2=(a—6)+b2由垂径定理可知r2=d2+22即|Ja_艺+4=(a—6)2+b2将a=2b代入得，b=2,b=4I5J 1 2又因为圆C不经过点。,2),所以a=8,b=4,r2=20所以所求圆的方程是(x—81+(y—4、=201(2)vA在圆C上，晨=2，过点A的切线斜率为一^二过点A的切线方程是y=—1(x—6)即x+2y—6=0选③条件(方法一)设所求圆C的方程为x2+y2+2x—4y—16+X(2x+y+4)=0代入点A(6,0)得九=—2所以所求圆的方程为x2+y2—2x—6y—32=0即(x—1)+(y—31=42(方法二)设直线I：?x+y+4=0与圆x2+y2+2x—4y—16=0交点E(x,y)F(x,y)11 22高二数学共15页第11页-13+<89 -13-v892x+y-13+<89 -13-v89X2+y2+2x-4y-16:0即5X2+26X+16二。解得Xi二所以E所以E(-13+屈6-2屈)设所求圆C的方程(x—a)+(y—bI=r2将A,E,F代入所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2二42(1)证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),又因为M,N分别为B1C和D1D的中点，得m(1,2,11,N(1,-2,1).( 5)可得n=(0,0,1)为平面ABCD的法向量，MN=(0,—2,0j,由此可得MN-n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN〃平面ABCD.⑵解^=(1,-2,2),慧=(2,0,0),设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则vni•ADi=0, [x-2y+2z=0,ni•AC=0, 即、2x=0.不妨设z=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x,y,z)为平面ACB1的法向量，则高二数学共15页第12页n2•AB1=0,、n2•AC=0,又码=(0,1,2),,y+2z=0,得j2x=0, 不妨设z=1,可得n2=(0,-2,1).n1・n2 y10因此有cos〈4,n2〉=|n1|n2|=—10，所以，平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值为10.⑶解依题意，可设口二人通」其中入£[0,1],则E（0,入，2）,从而丽=（-1,入+2,1）,又n=（0,0,1）为平面ABCD的法向量，一NE・n 1 1由已知，得c0s〈麻，n〉=|画1n厂