2022-2023学年吉林省通化市梅河口市高二年级下册学期期初考试数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省通化市梅河口市高二下学期期初考试数学试题一、单选题1．设，向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】向量，且，∴，解得∴，∴，选项C正确.故选：C．2．若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根据题意得到，进而根据离心率求出k，而后得到b,最后求出答案.【详解】由题意，，则，双曲线的离心率，所以，，即虚轴长为8.故选：B.3．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.【详解】因为，所以，即，解得或，经检验时，，重合，不满足题意；时，，两直线平行，满足题意；所以“”是“”的充要条件.故选:C.4．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（

）．A． B． C．171 D．【答案】A【分析】根据已知条件求得，从而求得.【详解】由于，，成等差数列，所以，即，解得，所以.故选：A5．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【分析】由题可得焦点坐标为：，又圆心坐标为，据此可得答案.【详解】由，得，故抛物线焦点坐标为.又由题可得圆心C坐标为，半径为1.设圆C上一点为P，则如图，当F，C，P三点共线（P在延长线上）时，最大，为.故选：A6．已知圆上存在两个关于直线对称的点，过点作圆的一条切线，切点为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知直线过圆心，可求得实数的值，可得出点的坐标，求出，由圆的几何性质可得，再利用勾股定理可求得.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题意可知，直线过圆心，则，则，故点，，由圆的几何性质可知，故.故选：A.7．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，另一个焦点为，设l与垂直，垂足为点A，与交于点B，因为A是线段FB的中点，l与垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，由双曲线和渐近线的对称性可知：，所以有，因此，故选：D8．设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义及所给条件可得出，再由勾股定理可得，据此可求出离心率得解.【详解】依题意作图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故选：C．二、多选题9．已知圆和圆交于两点，则（

）A．两圆的圆心距B．直线的方程为C．D．圆上的点到直线的最大距离为【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两点间距离公式可求得圆心距，知A错误；两圆方程作差即可求得方程，知B正确；利用垂径定理可求得C错误；利用圆上点到定直线距离最大值为圆心到直线距离加半径可求得D正确.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；由圆的方程知：圆心，半径；对于A，圆心距，A错误；对于B，两圆方程作差可得直线方程为：，即，B正确；对于C，圆心到直线的距离，，C错误；对于D，圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：BD.10．已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条C．的最小值为D．点到直线的最短距离为【答案】AD【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据该抛物线的性质逐项分析.【详解】由抛物线方程知：，焦点坐标为，准线方程为：；对于A，表示点M到焦点F的距离，等于M点到准线的距离，即，正确；对于B，如图：过A点有和y轴与抛物线C有一个交点，错误；对于C，当M点在AF的连线上时，最小，错误；对于D，设，由点到直线距离公式得，当时，d最小，，正确；故选：AD.11．已知数列满足，其中，Sn为数列{}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（）A． B．数列{}的通项公式为：C．数列{}为递减数列 D．若对于任意的都有，则【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n项和，由条件求的范围.【详解】因为，所以当时，，两式相减得，所以，又因为当时，满足上式，所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，因为，，所以，所以，所以数列为递减数列，故C正确；，所以，因为对于任意的都有，所以，其中，又，所以，故D正确.故选：ACD.12．已知A为椭圆的上项点，以A为圆心，a为半径的圆与E的长轴相交于B，C两点，与E相交于M，N两点.下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则椭圆的离心率为D．若，且，则的面积为【答案】ABC【分析】对A，先求出圆的方程，进而令y=0求出x，然后解得答案；对B，根据椭圆的定义即可判断；对C，根据题意求出b,c间的关系，进而求出答案；对D，联立圆和椭圆的方程进而解出N的纵坐标，进而求得答案.【详解】如图1：对A，易知圆，令，得：，则，A正确；对B，由题意，，则B,C分别是椭圆的左右焦点，由对称性及椭圆定义可知，，，B正确；对C，若，易得，C正确；对D，，易得，由，则，联立或，如图2：当时，重合（图形中标注为），；当时，.D错误.故选：ABC.三、填空题13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，则=__________.【答案】【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解．【详解】由题意可知，，，，，，故，所以，故答案为：14．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【分析】先由焦点和已知方程，可求出，从而可得双曲线的方程，进而可求得双曲线的渐近线方程【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，则双曲线方程为，由双曲线焦点在轴上可得渐近线方程为，故答案为：15．点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.【答案】【分析】画出椭圆与圆得图形，根据椭圆得定义结合图形，当四点共线时，取得最小值，从而可得出答案.【详解】解：点在椭圆上，椭圆左焦点，右焦点，如图：由圆，得，半径为1，由椭圆得定义可得：，则，则，当四点共线时，取得最小值，则.故答案为：0.16．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________.【答案】【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求.【详解】如图，设的角平分线与轴交于点，，，设，则，解得，即为直角三角形又，，，，当时，，得，，，即故答案为：四、解答题17．已知圆过点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点的直线截圆所得的弦长为4，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求的中垂线方程，然后由两条直线的交点得出圆心坐标，再求出半径，得出结果；（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时，使用距离公式，解出直线的斜率，写出直线方程.【详解】（1）的中点坐标为，直线的斜率为，的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程，联立方程，解得，所以圆心，又，求得，因此圆的标准方程.（2）直线截圆所得的弦长为4，圆的半径为，依题可得圆心到直线的距离.当不存在时，，符合题意；当存在时，，，解得，，整理得，综上所述，直线的方程为或.18．已知抛物线的焦点F位于直线上.(1)求抛物线方程；(2)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离.【答案】(1)(2)4【分析】（1）先求出焦点进而求出，从而求出抛物线的方程；

（2）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和，进而可得到中点的横坐标，求出的中点到抛物线准线的距离．【详解】（1）因为抛物线的焦点位于直线上．

故令，则，所以焦点坐标为，故，所以，

所以抛物线的方程为：；（2）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

由题意得，又因为其经过焦点故直线的方程为，

设点、．

将代入得．

则．

故中点的横坐标为3．

所以中点到准线的距离为．19．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以（2），则①，②，两式相减得：，所以20．如图所示，在菱形ABCD中，且AB=2，E为AD的中点，将沿折至，使，得到如图所示四棱锥(1)求证：平面平面；(2)若P为的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用题中所给条件证明，进而得到平面，利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定得到平面，进而证明面面垂直；(2)根据（1）的证明得到，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出的法向量为，易知平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为在四棱锥中，，，所以，则，由题意可知：，因为，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知：，，两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.又因为为的中点，所以，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，即.易知平面的一个法向量，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.21．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程．（2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程．【详解】（1）解：由题意可得：，，，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，设：，设，，联立，消，得，由，解得，则.所以，所以的面积，由，整理得，解得，，所以直线的方程为或.22．如图，在平面直角坐标系，已知，分别：的左，右焦点.设点为线段的中点.(1)若为长轴的三等分点，求椭圆方程；(2)直线（不与轴重合）过点且与椭圆交于，两点，延长，与椭圆交于，两点，设直线，的斜率存在且分别为，，请将表示成关于的函数，即，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用的位置以及即可求解；（2）设点，，，，由，，三点共线可得，联立椭圆与直线可得坐标，然后利用斜率公式进行求解即可【详解】（1