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演示文稿单纯矩阵的谱分解现在是1页\一共有24页\编辑于星期二（优选）单纯矩阵的谱分解现在是2页\一共有24页\编辑于星期二

矩阵的分解第四章现在是3页\一共有24页\编辑于星期二

§4.4单纯矩阵的谱分解定理1:

设是一个阶可对角化的矩阵，相异特征值为，则使得:此式称为A的谱分解称为A的谱族且满足:现在是4页\一共有24页\编辑于星期二分析:设是的代数重复度则:现在是5页\一共有24页\编辑于星期二证明(1)

因为所以:证明(2)现在是6页\一共有24页\编辑于星期二(3)由得同理可得证明:而:,所以:证明:证明:(5)

假设A有谱分解和现在是7页\一共有24页\编辑于星期二则由(3)知:由于,所以:同理可得:因为因为所以,唯一性得证现在是8页\一共有24页\编辑于星期二

可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵的全部互异特征值及每个特征值所决定的线性无关特征向量（3）令:（2）写出（4）最后写出现在是9页\一共有24页\编辑于星期二例1：已知矩阵为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解:

首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算从而的特征值为

可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:现在是10页\一共有24页\编辑于星期二于是现在是11页\一共有24页\编辑于星期二取令那么其谱分解表达式为现在是12页\一共有24页\编辑于星期二正规阵的谱分解:设为正规矩阵，那么存在使得:

其中是矩阵的特征值所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵的谱分解表达式。现在是13页\一共有24页\编辑于星期二

设正规矩阵有个互异的特征值，特征值的代数重数为，所对应的个两两正交的单位特征向量为,则的谱分解表达式又可以写成其中，并且显然有:现在是14页\一共有24页\编辑于星期二（6）满足上述性质的矩阵是唯一的。我们称为正交投影矩阵。即对于正规阵,满足如下6条:推论1

设是一个阶可对角化的矩阵，谱分解为:,若:则有现在是15页\一共有24页\编辑于星期二解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算例2：求正规矩阵的谱分解表达式。从而的特征值为现在是16页\一共有24页\编辑于星期二当时，求得三个线性无关的特征向量为

当时，求得一个线性无关的特征向量为将正交化与单位化可得现在是17页\一共有24页\编辑于星期二将单位化可得：现在是18页\一共有24页\编辑于星期二于是有现在是19页\一共有24页\编辑于星期二这样可得其谱分解表达式为现在是20页\一共有24页\编辑于星期二解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。求正规矩阵的谱分解表达式。练习从而的特征值为

可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:现在是21页\一共有24页\编辑

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