常微分方程第次课

常微分方程第次课1第1页，共40页，2023年，2月20日，星期四§6.1线性微分方程组的一般理论第2页，共40页，2023年，2月20日，星期四一阶线性微分方程组:称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.非齐次线性微分方程组

(1)则式（1）变为(2)称式（1）为第3页，共40页，2023年，2月20日，星期四一齐次线性微分方程组1叠加原理定理1证明:则有所以如果是方程（2）的m个解,则它们的线性组合也是方程(2)的解，这里是任意常数。由于是方程（2）的m个解第4页，共40页，2023年，2月20日，星期四2函数向量组线性相关与线性无关定义设是一组定义在区间[a,b]上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数使得对所有，有恒等式则称在区间[a,b]上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[a,b]上线性无关。第5页，共40页，2023年，2月20日，星期四证明:例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.第6页，共40页，2023年，2月20日，星期四例2证明:函数向量组证明:要使第7页，共40页，2023年，2月20日，星期四则需因为所以故线性无关.第8页，共40页，2023年，2月20日，星期四3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式第9页，共40页，2023年，2月20日，星期四(2)定理2证明:第10页，共40页，2023年，2月20日，星期四(3)定理3证明:“反证法”则现在考虑函数向量由定理1知,如果（2）的解线性无关，则它们的Wronsky行列式第11页，共40页，2023年，2月20日，星期四由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第12页，共40页，2023年，2月20日，星期四(4)定理4一阶微分方程组(2)一定存在n个线性无关的解.证明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件且第13页，共40页，2023年，2月20日，星期四4通解结构及基本解组定理5证明:①由已知条件,第14页，共40页，2023年，2月20日，星期四又因为第15页，共40页，2023年，2月20日，星期四即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即第16页，共40页，2023年，2月20日，星期四推论1(2)的线性无关解的最大个数等于n。基本解组:一个基本解组。注1:齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。注2:齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个n维线性空间。注3:由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去。第17页，共40页，2023年，2月20日，星期四推论2第18页，共40页，2023年，2月20日，星期四5解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的解矩阵。则称该解矩阵为(2)的基解矩阵。基解矩阵——以基本解组为列构成的矩阵。第19页，共40页，2023年，2月20日，星期四注:这里C是确定的N维向量空间第20页，共40页，2023年，2月20日，星期四例3验证是方程组基解矩阵.解:由于又由于第21页，共40页，2023年，2月20日，星期四证明:第22页，共40页，2023年，2月20日，星期四证明:于是有由此可得第23页，共40页，2023年，2月20日，星期四即有例4验证是方程组的基解矩阵,并求其通解。解:第24页，共40页，2023年，2月20日，星期四又由于其通解为第25页，共40页，2023年，2月20日，星期四二非齐次线性微分方程组1非齐线性微分方程组解的性质性质1性质2第26页，共40页，2023年，2月20日，星期四性质32通解结构定理定理6这里C是确定的常数列向量。证明:由性质2知,即这里C是确定的常数列向量。第27页，共40页，2023年，2月20日，星期四3常数变易公式则(2)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式第28页，共40页，2023年，2月20日，星期四从而反之,可验证(8)是方程组(1)满足初始条件的特解。因此,(7)变为第29页，共40页，2023年，2月20日，星期四定理7①

向量函数是(1)的解,且满足初始条件②

方程组(1)的通解为注1:注2:公式(8)或(9)称为(1)的常数变易公式。第30页，共40页，2023年，2月20日，星期四例5求方程组的通解.解:由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(8)得方程的特解为第31页，共40页，2023年，2月20日，星期四所以,原方程的通解为第32页，共40页，2023年，2月20日，星期四例6试求初值问题解:由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,第33页，共40页，2023年，2月20日，星期四故方程满足初始条件的解是第34页，共40页，2023年，2月20日，星期四(2)n阶线性微分方程的常数变易公式则线性微分方组的初值问题的基本解组为从而其基解矩阵为第35页，共40页，2023年，2月20日，星期四第36页，共40页，2023年，2月20日，星期四推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为第37页，共40页，2023年，2月2