求通项公式和数列求和的常用方法

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求递推数列通项公式的常用方法

一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an?Sn?Sn?1(n?2)，等差数列或等比数列的通项公式。

例一已知无穷数列?an?的前n项和为Sn，并且an?Sn?1(n?N*)，求?an?的通项公式？：?Sn?1?an，?an?1?Sn?1?Sn?an?an?1，?an?1??1??an???.

?2?n12an，又a1?12，

反思：利用相关数列?an?与?Sn?的关系：a1?S1,an?Sn?Sn?1(n?2)与提设条件，建立递推关系，是此题求解的关键.

跟踪训练1.已知数列?an?的前n项和Sn，满足关系lg?归纳法.

例二已知数列?an?中，a1?1，an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式.：?a1?1，an?2an?1?1(n?2)，?a2?2a1?1?3，a3?2a2?1?7????

n猜测an?2?1(n?N*)，再用数学归纳法证明.（略）

Sn?1??n(n?1,2???).试证数列?an?是等比数列.

二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设?an?是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列?an?的通项公式.

三累加法：利用an?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如

an?1?an?f(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.

?1?例三已知无穷数列?an?的的通项公式是an???，若数列?bn?满足b1?1，

?2?nn?，求数列?bn?的通项

公式.

：b1?1,bn?1?1????2?n?11?1??bn???(n?1),?bn?b1?(b2?b1)????(bn?bn?1)=1++??+

2?2?n?1?=2????2?n?1.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an?1?an?f(n).

-1-

跟踪训练3.已知a1?12,an?1?1?*?an???(n?N),求数列?an?通项公式.

?2?n四累乘法:利用恒等式an?a1a2a3a1a2???anan?1(an?0,n?2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:

an?1?g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).

例四已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N*),求数列?an?通项公式.：?an?n(an?1?an),?23nn-1an?1an?n?1n,又有an?a1a2a3a1a2???anan?1(an?0,n?2)=

1×××???×12=n,当n?1时a1?1，满足an?n，?an?n.

反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an?1?g(n)an.

跟踪训练4.已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1(n?2).则?an?的通项公式是.五构造新数列:

类型1an?1?an?f(n)

解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列?an?满足a1?12，an?1?an?1n?n2，求an。

解：由条件知：an?1?an?1n?n2?1n(n?1)?1n?1n?1

分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

?(1??a1?121)?(12?13)?(1213?141n)????????(?32?1n

1n?1?1n)所以an?a1?1?1n

2，?an??1?类型2an?1?f(n)an

解法：把原递推公式转化为

an?1an23?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

nn?1例2:已知数列?an?满足a1?，an?1?an，求an。

解：由条件知

an?1an?nn?112，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘之，即

a2a1?a3a2?a4a3????????anan?1??23?34????????n?1n?ana1?1n

-2-

又?a1?23，?an?23n

例3:已知a1?3，an?1?3n?13n?2an(n?1)，求an。

解：an?3(n?1)?13(n?1)?23n?43n?1?3(n?2)?13(n?2)?2?????3?2?13?2?26?3?13?2a1

?

?3n?7??3n?452??3?85n3?。1

变式（:2023，全国I,）已知数列{an}，满足a1=1，则{an}的通项a??an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1(n≥2)，n?1?___

n?1n?2

解：由已知，得an?1?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan，用此式减去已知式，得当n?2时，an?1?an?nan，即an?1?(n?1)an，又a2?a1?1，

?a1?1,a2a1?1,a3a2?3,a4a3?4,???,anan?1?n，将以上n个式子相乘，得an?n!2(n?2)

类型3an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?q1?p，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为

an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且

bn?1bn?an?1?3an?32为公比的等?2.所以?bn?是以b1?4为首项，

比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以an?2n?1?3.

变式:（2023，重庆,文,14）

在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________（key:an?2n?1?3）

nn类型4an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。（或an?1?pan?rq,其中p，q,r均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：

an?1qn?1?pq?anqn?1q引入辅助数列?bn?（其中bn?anqn），得：

bn?1?pqbn?1q再待定系数法解决。

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例5:已知数列?an?中，a1?解：在an?1n1n?1an?()，求an。

63211n?12nn?1?an?()两边乘以2n?1得：2?an?1?(2?an)?1323,an?1?51令bn?2?an，则bn?1?所以an?bn2n2nbn?1,解之得：bn?3?2()331n1n?3()?2()

232类型5递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

解(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，方程xa1??,a2??给出的数列?an?，的特征方程。

若x1,x2是特征方程的两个根，

当x1?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1代入an?Ax1n?1n?12叫做数列?an??px?q?0，

?Bx2n?1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，

?Bx2n?1，得到关于A、B的方程组）；

n?1当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1入an?(A?Bn)x1n?1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代

，得到关于A、B的方程组）。

例6:数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，a1?a,a2?b,求an解（特征根法）：的特征方程是：3x2?5x?2?0。?x1?1,x2?23,

?an?Ax1n?1?Bx2n?12n?1?A?B?()。又由a1?a,a2?b，于是

3?a?A?B?A?3b?2a2n?1?a?3b?2a?3(a?b)()故?2??n3B?3(a?b)??b?A?B3?练习:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?23an?1?13an，求an。

key:an?74?34(?13)n?1。

变式:（2023，福建,文,22）

已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N).求数列?an?的通项公式；

*（I）解：?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1

?2n?1n?2n?2?...?2?1*?2?1(n?N).

类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))

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?S1????????????????(n?1)解法：利用an??与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn(n?2)或与

S?S???????(n?2)n?1?nSn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。

例7：数列?an?前n项和Sn?4?an?解：（1）由Sn?4?an?12n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an.

12n?2得：Sn?1?4?an?1?12n?1

于是Sn?1?Sn?(an?an?1)?(所以an?1?an?an?1?12n?2?1212n?1)12n12n?1?an?1?nan?.

n?1（2）应用类型4（an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方法，上式两边同乘以2得：

2n?1an?1?2an?2

n由a1?S1?4?a1?n121?2?a1?1.于是数列?2an?是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

n2an?2?2(n?1)?2n?an?n2n?1

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考察对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d

2、等比数列求和公式：Sn?na1?na?anq??a1(1?q)?1?1?q1?q?(q?1)(q?1)

n3、Sn