2000武汉第17届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

2000武汉第17届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案第十七届全国中学生物理竞赛17届决赛试题及答案决赛试题一、（30分）近来一种新型的定点起重设备“平衡吊”被广泛应用于几十到几百千克工件的频繁吊运其结构的图决17-1通过电机可控制转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从示意图如图决17-1所示。平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成。杆系是由ABD.DEF、BC、CE四杆铰接组成的四连杆机构，DECB在任何情况下都是一个平行四边形。杆系的A处是一水平的转轴，图决17-1通过电机可控制转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从而调节挂在绞接于F处吊钩上的重物的高度。杆ABD可绕转轴A在竖直平面内无摩擦地转动。杆系的C点是能在光滑的水平槽上滑动的铰链，杆BC和EC都可绕C点在竖直平面内转动。绕铰链转动的摩擦均忽略不计。下面用11表示AD的长度,12表示AB的长度，l3表示DF的长度，14表示BC的长度。（1）若将各杆都视为轻质（无自重）刚体，且无图中配重物时，试论证kl2、l3、14应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上的不同位置时平衡吊都能处于平衡状态。（2）若考虑各杆的自重，为使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上不同位置时平衡吊都能处于平衡状态，必须在杆A^D的另一端P处加上配重物，P点距A轴的距离为lp。设配重物受到的重力大小为GP，杆的AD段、DF段、BC段、CE段受到的重力的大小分别为％G3、G4和G5,不计杆的AP段所受的重力。问第2页共2页

当杆长11、i2、i3、i4和ip已知，且取i1="i2=i；时常!葡12 3 4p 13 2 4大小GP为多少？二、（共30分）太阳风是从太阳大气外层（称为日冕）不断向星际空间发射的稳定的、由相同数目的质子和电子构成的带电粒子流，它使太阳每年减少的质量相对于太阳质量MS可忽略不计。观测表明，太阳风的速度的大小v随着与太阳中心的距离r的增加而增大。现提出一简单的模型来解释太阳风的速度变化的机制:假定日冕中的大量电子可视为理想气体；日冕中的电子气是等温（温度为T）的、各向同性的，以球对称的速率立）（太阳风的速率）向外膨胀；太阳风中质子的定向运动速度比电子的小得多，太阳风的速度其实是电子定向运动的速度，太阳风可解释为日冕中的电子气向外的等温膨胀记太阳风的速率随着与太阳中心的距离r变化的变化率为av。若不考T=一虑质子和电子间的相互碰撞，试求,随r随着与太阳中心的距离r变化的变化率为av。若不考一块黑色的等边三角形ABC的每

一个边长平分为图决17-4图决17-5一块黑色的等边三角形ABC的每

一个边长平分为图决17-4图决17-5二，再把平分点连起来,此三角形被分成四个相等的等边!三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图决17-3的图形;接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图决17-4的图形。经三次分割后，又得到图决17-5的图形。这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫。它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图次17-5中^M）适当放大后，就得到图决17-3的图形。如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空。数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究创造和发展出了一门称为“分形几何学”的新学科。近三十多年来,物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展。我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设按如图决17-2所示的三角形ABC的边长L0的电阻均为丁；经一次分割得到如图决17-3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图决17-4所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图决17-5所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一。（1）试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。（2）试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。第4页共2页

(3)由第2问可知，对边长均为L0、边长鞭蜗:的电阻三角形ABC,现用获得谢尔宾斯基镂垫的方法进行分割，分割的次数越多，△ABC中每个小三角形的边长越短，参与计算等效电阻的小三角形的边长越多，分割后的AABC两顶 图决17_6点间的等效电阻与其中的小三角形的边长有关。为了从“分形几何学”的角度讨论这个问题,我们先介绍二端电阻网络的“指数”的概念。考虑一长、宽、高分别为、b、c的均匀长方形导体，如图决17-6所示。若电流沿平行于导体长度。的方向流进导体，则该导体的垂直于电流方向的两个端面间的电阻可表示为：R=p——式中p为导体的电阻率。强保持b、c不变，使另一边烈的长度变化，并用L表示这一可改变的长度，这样构成的一维导体的电阻与L成正比，其电阻可表示为：R(L)=p—1L1式中1被称为一维导体的指数。若保持的长度不变，c但使边和,边的长度相等且可以改变，并用L表示这一可改变的长度，即j这样构成的二维导体的电阻与可=b=L变的长度无关，可表示为：R(L)=p1工―

(0) c式中0被称为二维导体的指数。若保持导体的三条边a、b、c的长度都相等且都可改变，并胭表示可变的长度，即a=b=c=L，这样构成的三维导体的电阻与可变长度的一次方成反比，可表为R(L)=p；XLT式中一1被称为三盛导体随指数。可以将上述结论推第5页共2页广到一般情况，若二端电阻网络的等效电阻与可辘康的关系为：R(L)=kLs式中比例系数k是与L和s都无关的恒量，则称s为此二端电阻网络的指数。从谢尔宾斯基镂垫图形看,未经分割的三角形的边长为L0,经多次分割，每个最小三角形的边长随分割次数而变，可视为可变长度L。求出经次分割后的谢尔宾斯基镂垫图形A、B两点的等效电阻与可变长度工的关系，并计算出相应的指数。四、（25分）两个光学元件共轴放置,位置固定不动,每个光学元件都可能是薄透镜或平面反射镜一小物垂直于主轴。已知当小物位于两元件之间的任何位置时，由这光学系统成的像是有限多个，且两个最后的像大小相同。试通过对各种可能情况的分析，论证什么样的光学系统能满足上面的要求，什么样的光学系统不能满足上面的要求。五、（共30分）（1）质量不为零的。介子静止时衰变为三个质量相同的n介子，即0f3n。试讨论每次衰变产生的三个n介子的动能斗T2、T3可能取的全部值。通常表示每一组动能值0>T2,T3）的方法如下：作一个等边三角形A1A2A3,取其高Q为三个n介子的动能之和q=t1+t2+t3。在三角形内取一点P,令P点到顶点A的对边的距离为了“•123），则每一点对应一组动能值（T1，T2,T3）。衰变时可以实现的全部雪，T2,T3）的可能取值,可以用P点的可能存在的区域来表示这个区域称为运动学允许区。试在％1A2A3中找出0f3n的运动学允许区第6页共2页17届决赛试题及答案(设衰变后加17届决赛试题及答案(2)正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子，记为Ps。它在静止时可以衰变为三个光子，即Psf3外试在△<1A2A3中找出三个y光子的运动学允许区域。第7页共2页17届决赛试题及答案第17届全国中学生物理竞赛决赛试题答案一、解法1：口）吊钩〔包括所吊重物）的重力G（作用于吊钩F处）与C点的反力Ru都沿竖直方向。谡杆ADffDF与竖直方向的夹角分别为应与S［如图1）,则整个杆系对A点的力矩平衡方程为（301 ■十/sin或）=氏式“sina+^4sin由题意，日对任意的以和方都成立，故有闻=4修GI-&=豆Jq于是,】必满足 口=?（2）设杆AD、DKEC.CE自重分别为白、国、Q（如图2,若再遭重大小为5,整个杆仍保持随遇平衡，则整个杆^取寸且点的力矩平衡方程为分sincr+/5sin@十@—/xsinar+G3（―/55i门户十4sinar）+G4win产+l2sinor）+G5win口十匕sin户）=引口比十%win防十sincr上式痉页对任意的值和G都成立，故有国+乌今+cy1+G也+Q% 2+第1页共11页

1717届决赛试题及答案G/,+G.—+G-—+GJ-=氏儿J 2 T2 JT, ■_■T-由上面两式消去版程国］十G±十GJi十十H a三十仃三匕十6k十GJ1 '2 3‘牛』」2 ** ' ；2 32口%4 』4利用条件?尸&，44,有5'+G1+<3也+G5k；"_G&=刍^■+5%+C$a由此科导 G户=—^—+GJi+GJm+仃匕（A—6）］解法z（1）设固定水平转轴食到吊钩所在水平面的£疆为hp到水平槽的品稿为如杆ABD与水平方向的夹角为后杆DEF与水平方向的夹角为曲如图3所示，若以A点作为重力势能的装点，则平衡吊的杆系与吊钩（包括重物）构成的系统的重力势能为板板%=一G&制口火一上］sin^J其中G为吊钩所受重力的大小.当吊钩F在水平直线上移动时，色角和§角都^改变,因而势能Ep也会改变。若F移动时平衡吊都能处于平衡状态，则系统的势能Ep应不因0、里的变化而变化口白和甲并不独立，它们由下面的几何关系联系着，即由上面两式消去卡得I、sm-^+也=4si□/由上面两式消去卡得7——G(-^-—JJsmd—G%—%%要求势能互不随日变化3建的系数应等于零口由于G不等于零，战有典-…%第2页共11页17届决赛试题及答案灯*这便是杆长应湍足的条件。(2)当各杆具有质量时，若要求对任意重物G吊钩在任意位置06平衡吊都处于平衡状态，则系统的总势能Ep应不随1中而改变。以A点作为重力势能的零点，则根据图4,各杆的势能《包括吊钩、E重物和配重)分别为E期n=— Sin^-JCpsm§%£=T电-wi口力仃5=口仃产切6一0用ED£F二一e-ghsin(p)G3-Q3sin^?-/Tsin^)G=^-/3G5sin@一应5m@一gsin^)-G3h1Eg=-(^2-^4£i门防5=Ein<P-d%系统总势能为TOC\o"1-5"\h\z£?=已网\_n?+G/L)sm乌+1仃&_仃引加9-G^―乌瓦―仃32 2 2 21 11bl 占%=[(-％"+-G^+-/5G3-^+-5%+G场T产)]皿日消去"导 2 2 2 "* 久-以y-^aj^-^k2-g=a-5A一e网为使1与日无关，应有1 1 1/o1 h吃+/色产2"+奥「4六二口可知注意到第3页共11页17届决赛试题及答案得 马=盘―[5A十乌乙十5%十5&一"）]二、解法一；如图1所示，在太阳风中，考察才时刻位于到太阳中心的距离为「和尸&的两个球之间的一块薄层电子流，其厚度为%,质量为加速度为次位于半径为了的球面上的薄层前臻的面积为成如图1中画有左斜线的区域所示.经过时间&,它的后缘移动了一段品疆山,达到前统所在处，而其前统移动了一度!巨离山-,即在什&时刻，所观察的那块薄层电子流的厚度为沙，速度为例如图1中画有右斜线的区域所示口在心到抖&时间内，*薄片的动量的改变为 警於 ①在这过程中，太F取寸它引力的冲量为现分析所考虑的薄片所受的压力口如图2所示，设“与炉分别表示这块薄片前球和后续截面上所簿U的压强，贝吸十户筑是这块薄片侧面上所受S的压强油于很小，恻面压强取两端面压强之平均值是一个合理的近似，令后獴面与前线面的半径分别为小和状则薄片表面上所受压力的合力L,2rir2由'¥、八工妣+2励\尸尔一出工F-p曲工-『必J十（广工广、& ）（——）-p品‘-口’品"十（P+P犬脑心-欣2=”——⑷即尸二9一户,）（七手） ③式中除威4旨=成勺注意，在导出上式时，己考虑到蒲片所受到的侧面压强在垂直于合力尸方向上相互抵消的事实口于是这块薄片前后的电子流时它的压力的冲量为弋4弋弋25-a®根据题意，可以》牖电粒子流视为理想气体，由理想气体状态方程_mRT_mRTP.叫我下一眼并量符法第4页共11页

17届决赛试题及答案t_腐RT_mRT”而涔;^三不2式中眼为电子质量，般为阿伏伽德罗常数，£，是位于半径为EVW1的球面上的截面（图1）.ffit后动量定理有mAv={p_p)(■---)At-G-Af代人以上各式得“ 用RTAf mRT^l，宫+E' M1t代人以上各式得球氐= - —(-一-)所以£十区'r+A/+Arf『+ArdS1+Fj+2a故有解得5丁『+阡1 A/1oAr=I- -所以£十区'r+A/+Arf『+ArdS1+Fj+2a故有解得5丁『+阡1 A/1oAr=I- - =1-z rr r,mRTmRTmRT,M.mAv= +2 Af-G一Afm£N叫N£ 风N丛r r£TA1、『2RT「挺…RTAv,y2RT厂树… C-—-+( ―G-)At= C-2~)+( ―G—W及叫vv吗加/『“叫叫v2叫％『N2RTGM, 潴色却激 rAv=―————a- 2RTGMS两边除以Ar得m£NArAr产aRTW 解法二:据题意,①©③④S的得出攵嘛法一所示口带电粒子可视为理想气体，于是由克拉彳白龙方程得期丁)=n(f)kTp-p(=IMD-典G+&}］用T=瓯依T式中题的是fek阳中心为1■处的单位体积的点子数片=国M是被尔兹曼常量y是气体常量,心是阿伏伽德罗常数口第5页共11页

17届决赛试题及答案由动量定理有 心7—pD＞老世-G垩笋M由于质量守恒，每单位时间通过球壳s发射的物质的质量是一T■恒量4爪F+Ar＞"闸+ +Av)=4府口阶由于&是小量国与f也应是小量,将上式左^展开…忽略高阶小邕得到2mvAr十产廿加十产门氐=0此即 Af?=-2-Ar--Avrv以下解法文懈法一。解法三；上啾薄片受到四周压力的冲量为匕=3S+%而-P'"=巾&+%面一歹(S+度)凶=@—歹)感式中户和口■分别表示这一块薄片电子流岩触面和前球面所受＞1的压强，/而是薄片侧面受到的压力，它不为零,潜径向，恰与式中尸AS项抵消。根据题意，将日冕视为理想气体，应用克拉伯龙方程有_密RT_RT

"也叫#一叫加t_mPT_RTP一也见厂一空心创A/式中飓为电子质量，以为阿伏伽德罗管数口榴暗动量定理有m氐-(p-pf)^-G—AfARTaSAt、GM,.、加= (―---)-—£及想再工ArS3出S1GM,S1GM,A )--4收S+酸M N式中ASK1■按几何关系为式中ASK1■按几何关系为A?_47r(r+Ar/-47ir3_2ArS 4期3 『第6页共11页1717届决赛试题及答案&RTe3、GM.h2RTArGMS^故解出me理炉N故解出_RT里州犷于是得Ar2RT

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meNAr(v3三、口）先证明一个由三个阻值均为1■的电阻接成的&7XBC,其任意两顶点间的电阻可以改接成由三个电阻值均为出的电阻组成Y状网络，ABC的任意两点间的电阻是相等的，即将图1的以形网络改换成图2的电阻丫形网络.接入相同的外电阻，外电阻的电路状态不会改变，这»变蝇为也丫变换口图1中的1 1 2图2中的 我“（7）二匚『+士「）=士「,1U-j -w g， 3因而证得二三个电阻网络作了这样的替换后 RJi£^）=RJls（X）三角形ABC经过一次分割，得到三个小三角形，即在直□&ADBKAEFC,每个边的电阻均为r/2o构成的电阻网络如图3所示口将三个小三角形Y变换得图4（1）,进而得图4图4门又图4第7页共第7页共11页17届决赛试题及答案17届决赛试题及答案解得若将未经分割的三角形即图1中ZkABC任意两顶点间的等效电阻表示为艮⑻，则2砍0）二丁若将三角形做了一次分割操作后得到的三角形网络即图3中两顶点AB间的等效电阻表示为R（D，则由上面的结果，有RQ）==（凯沔切=[现将图4（4）的Y形的电阻网络变换为图5的△形的电阻网络，三角形每边的电阻应为5r/6o图3是将AABC：做了第2次分割操作后的,情况□欲求第2次分割操作后AABC两顶点AB间的等效电阻，只要将题目中的图Z与图3相对比，注意到图3每个小三角形的边长的电阻值是图2每个小三角形的边长的电阻的1/2,所以只需将图TOC\o"1-5"\h\z15 5尸3中上、左、右三个三角形每个边的电阻改为人◎尸或白二即可口26 62以此，可得氏⑵二[11）（3汗（|^『二经过3找分割，AABC两顶点AB间的等效电阻为3 2 3 648（2）仿照计算第1次分割操作后求AABC两端点AB间的等效电阻的方法，就可求得经过n次吩割三角形两端点间的翎电阻5 1 2区@=守（铲（|玲（3）已知未分割时AABC两顶点间对应的等效电阻可表示为7故4）二丁二需经过n次分割后AABC两顶点「取寸应的等效电阻可表示为闻G尸友]二「）二川0尸4]£上面两式消去k得故得 1呜申二£1吟1।11।1咐3》ln(l/2)«0.263第8页共11页17届决赛试题及答案四、分别考虑以下各种情况：⑴两平面反S寸镜，相向放置口渴中情形对于两平面反身推之间的实物，系统能成无数多个像，不符合题意口（2）焦距为丁的薄透镜£和平面感掇淞如图1放置”由物体A发出的向右光线经上成的像，由成像公式-+-=工可得光学系统所成的第一avf个最后像的位置 =D-d式中巧（下面吃的意义相同）表示从上向右的距离＜＞/□表示像在上的右方屋由物A发出的向左光线经反身播M成像在用创寸光线再向右经L成像这就是光学系跣所成的笫二个最后像,其位置巧按如下方式求程3d)f白十d—丁两个像的放大率货别为期1也1和冷了的，按题给条件，两像大小相等，应有殳=土以WD-d-f=±(fi+d-f)红1 %若上式取（+＞号，则2占口，即心口，这要求物处于一特殊位置，不肯隘足题目要求4若上式取（一）号，则D-d—f=—£）—df-y7即2D=2f,D=^f,此式表明，两元件间距离等于透镜焦距口同日懈法中要求故满足要求的透镜的焦距广也应大于口，艮叩谴镜因为凸透镜口此皓果与H的取值无关.因此，两个元件为一个薄透镜，一个平面镜，两者距离等于透镜焦距，则不论物放在何处，两个最后像的大小都相等。（3）如图2所示,焦距货■别为力和力的两个薄透镜Li和卜口由物A发出的向右光线经L1经L1成第一个最后像式中也表示像从小向右的距离Cp■口表示像在上的右方）。式中也表示像从小向右的距离Cp■口表示像在上的右方）。由物A发出的向左光线经必成第二个最后像%=Dr-1£1（仃一%）为%- 5口-%一/口还表示像从七向左的距离（边砧表示像在必的右方］两个像大小相等，则应有第9第9页共11页17届决赛试题及答案若上式取（+）号，则工（。-的-力）二为侬-工）工二＜％，□'=工/%这表示整曲页满足上式才能得到两个等大的像，与题目要求不一致，即这#