大学物理15 量子物理基础1

一、德布罗意波(物质波)1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设：一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。具有能量为E、动量为p的实物粒子就有一定频率

和一定波长与之对应。它们之间满足如下关系：德布罗意公式(或假设)与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)15-1德布罗意波

实物粒子的波粒二象性独创性所以电子的德布罗意波长为：例如：电子经加速电势差

U加速后当U=100伏Å解：例一原静止的电子被电场加速到速度v（vc），加速电压为100V时，则速度为v的电子的DeBröglie波波长为多大？GφφK狭缝电流计镍集电器U电子射线单晶二、物质波的实验验证

1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。

实验发现：保持

角不变，改变电压值，电流并不随电压单调的改变，而是出现选择性。根据衍射理论，衍射最大值应满足布拉格公式：德布罗意假说，电子的波长为：波当电压为某一特定值时，电流才有极大值（此规律与x射线的衍射规律相似）。5102015250I利用布拉格公式球得波长为:两者波长值很接近，证明微观粒子具有波粒二象性若在戴维孙—革末实验中取根据德布罗意假说,由加速电势差算得的波长为:思考题:

若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。

试问：1）它们的动量大小是否相同？2）它们的总能量是否相同？（05年）2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于光子的能量。解：1）由德布罗意关系可知,它们的波长相同.因此，它们的动量大小相同．光子的能量：电子的总能量：例1:

、粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动.试求:(1)粒子德布罗意波长;(2)若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率运动,则其波长为多少?

(粒子质量为ma=6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)解:(1)求粒子德布罗意波长(2)若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率运动,求其波长若m=0.1g的小球速率考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：经严格证明此式应为：这就是著名的海森伯不确定关系式设有一个动量为p，质量为m的粒子，能量考虑到E的增量：能量与时间不确定关系式即：能量与时间不确定关系测不准关系式的讨论1.用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出现不确定性。在位置和动量的不确定量中,位置不确定量越小,则同方向的动量不确定量就越大。反之亦然。3.可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若的乒乓球,其直径,可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？例问题？所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。例1

一电子以的速度穿过晶体。晶体常数d~10-10m2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？解：例2

电子射线管中的电子束中的电子速度一般为105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即vx=10m/s，求电子位置的不确定量（电子的位置确定在范围内可以认为令人满意）可以用经典力学来处理。所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。

E.薛定谔(1887-1961)奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。15-3薛定谔方程③描述微观粒子运动状态的基本方程——薛定谔方程？④

什么是隧道效应？①描述微观粒子的波函数必须满足哪些条件？②波函数的物理意义是什么？描述微观粒子运动状态的函数。经典单色平面简谐波波动方程：1、波函数：区别于经典波动一、波函数概率密度

自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数考虑到自由粒子沿三维方向的传播设运动的实物粒子的能量为E、动量为p，与之相关联的频率为、波长为，将德布罗意关系式代入：式中的、E和p体现了微观粒子的波粒二象性2、概率密度——波函数的统计解释波函数物理意义如何描述微观粒子的运动根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波函数是对微观粒子运动的统计描述,即物质波是概率波,概率波只能给出粒子在各处出现的概率。1）大量电子的一次性行为：U极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，大小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点统一地看：粒子出现的几率正比于(r,t)代表什么？看电子的单缝衍射：2）一个粒子多次重复性行为较长时间以后极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，大小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的几率正比于则波函数模的平方表征了t时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度----波函数的物理意义.结论：某时刻空间某体元dV中出现粒子的几率

正比于该地点波函数模的平方和体积元体积：通常比例系数取1:（由叫概率分布函数）微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数,本身具有物理意义,可测量。因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义,所以是不可测量的；可测量的只有2)对于概率波来说,重要的是相对概率分布。故和描述的相对概率分布是完全相同的。而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量将为原来的四倍，因此,代表了不同的波动状态。即若：等价那么3、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件）1）波函数具有有限性在空间是有限的2）波函数是连续的3）波函数是单值的粒子在空间出现的几率只可能是一个值.4）满足归一化条件（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件.波函数的标准条件：单值、有限和连续解：利用归一化条件例1：求波函数归一化常数和概率密度。这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程对于非相对论粒子一维自由粒子的波函数二、薛定谔方程1、薛定谔方程的引入(并不是理论推导)

若粒子处在外力场中(非自由粒子)其粒子的总能量为：一维薛定谔方程三维薛定谔方程:拉普拉斯算符哈密顿（能量）算符则薛定谔方程为：

算符:就是一种运算符号，是对量子态(波函数)的操作。某物理量算符常用对应的该物理量字母上方加“^”符号表示。2、定态薛定谔方程如果势能函数不是时间的函数,即：代入上式薛定谔方程中整理得：用分离变量法将波函数写为：只是空间坐标的函数只是时间的函数此方程仅是空间坐标的函数--称为定态薛定谔方程.那么，粒子在空间出现的几率密度：几率密度与时间无关，因此，波函数描述的是稳定态---简称定态。---称为定态薛定谔方程.薛定谔方程比较（非相对论形式）2.定态薛定谔方程:1.一般形式薛定谔方程：一维三维一维三维若U=0（自由粒子）设质量为m的粒子只能在0<x<a

区域内的外力场中作一维运动.势能函数为：三、一维无限深势阱（定态薛定谔方程的应用)因为在阱外(即：当

x<0和

x>a

时)粒子势能为无穷大方程的通解为：由边界条件概率分布函数0粒子波函数则粒子的能量：

此能量量子化是求解态薛定谔方程时波函数必须满足标准化条件的自然结果,而不是人为的假设。n=1,2,3,…结论：在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。若n=0，则k=0，没有意义。所以n=1时粒子取最低能量：E1称之为基态能量。特征分析：1.粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。2.波函数是驻波方程。能级越高，驻波个数越多。在x=0和x=a的边界上是驻波波节。在0<x<a的区域，驻波有(n－1)个波节，驻波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。3.概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数越多。用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量:

因为势阱中U(x)=0，E=EK

用薛定谔方程简单分析得：n=1,2,3,…由驻波条件得，能量是量子化的。与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。例2一维无限深势阱中粒子的定态波函数为求:粒子处于基态和处于第一激发态时，

x在（0a/3）之间找到粒子的概率。n=1,2,3,...解：2asinpxa2dxò3a0()=2acos2pxadxò3a0121+=1axp2asinpxa2()3a0=0.19=1aa3p2a32.当n=1（基态）时a3x=0在中找到粒子的概率W1

为：x=+=1axp4asinpxa43a0=0.264=1aa3p4a32.2asin2pxa2dxò3a0=1acosdxò3a01()4pxaa30在中找到粒子的概率W2为：处于第一激发态，即n=2时的状态例题3一个质子在一维无限深势阱中，阱宽a=10-14m。(1)质子的最低能量有多大?(2)由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出多大能量的光子?解：（2）n=21时：EΔE2=E18ma23h2=3×(6.63×10-34)2=9.87×10-13(J)=8×1.67×10-27×10-28(6.63×10-34)2=3.29×10-13(J)=8×1.67×10-27×10-28（1）最小能量为(n=1时)：两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形成势垒，势垒高度为U0。并设粒子的总能量En<势垒高度U0。例如：衰变，用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在势垒中无电流产生。实验证明，能量低于势垒高度的自由电子也能穿透势垒进入另一金属区.四、一维势垒、隧道效应(一维散射问题)粒子在图中三个区域的波函数分别为oaU(x)一维方势垒是指粒子受到势能为的作用，称为一维方势垒。IIIIII在三个区域内的波函数满足的方程分别为：IIIIII入射波反射波透射波考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。根据波函数单值、连续的标准条件透射系数：

可见，a、m及(U0-E)值越小，粒子的透射系数P越大。当U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm以上时，透射系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际上已经没有意义了。量子力学与经典力学趋于一致了。

微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实,并已广泛应用。例如,粒子从放射性核中释放出来、场致电子发射及半导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的结果．如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧道显微镜（简称STM.－是研究材料表面结构的重要工具)

。隧道效应：

粒子能穿透比其能量E更大的于势垒高度U0的现象。(E<U0)电子逸出金属表面的模型隧道效应m—振子质量，—固有频率，x—位移五、一维谐振子（重要的物理模型）1.粒子的势能函数:其中Ψ(x)——一维谐振子的定态波函数。2.哈密顿算符：3.由定态薛定谔方程:得到

①能量是量子化的

②能量间隔:

③最低能量(零点能):为使波函数满足标准化条件，谐振子能量必须满足量