高中数学必修四(期末试卷)

2011～2012学年度下学期期末考试高一数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）1．函数y＝sin＋cos的值域为()．A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，] D．(－1，)2．锐角三角形的内角A，B满足tanA－＝tanB，则有()．A．sin2A－cosB＝0 B．sin2A＋cosC．sin2A－sinB＝0 D．sin2A＋sin3．函数f(x)＝sin2－sin2是()．A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数 D．周期为2的奇函数4．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（）C．，则D．若与是单位向量，则5．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A．B．C．D．6．已知向量，满足且则与的夹角为 A．B．C．D．7.在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C的大小应为() A． B． C．或 D．或8.若，则对任意实数的取值为（）A.区间（0，1） B.1C. D.9.在中，，则的大小为（）A. B. C. D.10.已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）。A、B、C、D、11.A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）A、等边三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、钝角三角形12.已知的取值范围是（）A、B、C、D、第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.14.若向量则。15.给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则。其中所有的正确命题的序号是_____。16.sinsin＝，∈，则sin4的值为．三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知，求的最小值及最大值。18.（12分）已知cos＝，＜x＜，求的值．19.（12分）已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。20.（12分）已知向量,且求(1)及;(2)若的最小值是,求实数的值.21.（12分）已知向量，，．（1）求的值；（2）若，，且，求的值．22.（12分）已知向量，，，其中．（1）当时，求值的集合；（2）求的最大值．2011～2012学年度下学期期末考试高一数学答案1-5CABCC6-10CBBAD11-12DD1．C解析：∵sin＋cos＝sin(＋)，又∈(0，)，∴值域为(1，]．2．A解析：由tanA－＝tanB，得＝tanA－tanB＝cosB＝2sinAsin(A－B)cos[(A－B)－A]＝2sinAsin(A－B)cos(A－B)cosA－sinAsin(A－B)＝0，即cos(2A－B)＝0．∵△ABC是锐角三角形，∴－＜2A－B＜π，∴2A－B＝sin2A＝cosB，即sin2A－cosB3．B解析：由sin2＝sin2＝cos2，得f(x)＝sin2－cos2＝－cos＝sin2x．4.C单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当时，与可以为任意向量；，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角5.C6.C7.正确答案：B错因：学生求C有两解后不代入检验。8.解一：设点，则此点满足解得或即选B解二：用赋值法，令同样有选B说明：此题极易认为答案B最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。9.解：由平方相加得若则又选A说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。10.正解：D，而所以，角的终边在第四象限，所以选D，误解：,选B11.正解：D由韦达定理得：在中，是钝角，是钝角三角形。12.答案：D设，可得sin2xsin2y=2t,由。错解：B、C错因：将由选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均须满足。第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.-214.15.③④16.－13.正确解法：，是方程的两个负根又即由===可得答案:-2.14.由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得15.正解：③④不成立。不成立。是偶函数，成立。将代入得,是对称轴，成立。若，但，不成立。误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是的角，从而根据做出了错误的判断。16．－．解析：∵sin＝sin＝cos，∴sinsin＝sincos＝sin＝．∴cos2＝，又∈(，π)，∴2∈(π，2π)．∵sin2＝－＝－，∴sin4＝2sin2cos2＝－．三、解答题（本题共6小题，共70分）17.解：令则而对称轴为当时，；当时，说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。18.解：∵＜x＜，∴＜＋x＜2．又cos＝＞0，∴＜＋x＜2，∴sin＝－，tan＝－．又sin2x＝－cos＝－cos2＝－2cos2＋1＝，∴原式＝＝＝＝＝sin2x·tan(＋x)＝－．19.正解：由是偶函数，得故对任意x都成立，且依题设0≤≤，由的图像关于点M对称，得取又，得当时，在上是减函数。当时，在上是减函数。当≥2时，在上不是单调函数。所以，综合得或。误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。②对题目条件在区间上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。20.错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.答案:(1)易求,=;(2)===从而:当时,与题意矛盾,不合题意;当时,;当时,解得,不满足;综合可得:实数的值为.21.解（Ⅰ）,.,,即..（Ⅱ），，.22.解：（Ⅰ）由，得，即．…………4分则，得．…………………5分∴为所求．…………………6分（Ⅱ），……………10分所以有最大值为3．……………………12分数学必修4综合测试题2一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （） A． B．－ C． D．－3．已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1B．或C．1或D．－1或4、若点在第一象限,则在内的取值范围是（）A.B.C.D.5.若|，且（）⊥，则与的夹角是（）（A）（B）（C）（D）6.已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（）

A. B.C. D.7.设集合，集合，则（）A．中有3个元素B．中有1个元素C．中有2个元素D．８．已知（） A． B． C． D．9.同时具有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝EQ\f(π,3)对称；③在[－EQ\f(π,6)，\f(π,3)]上是增函数”的一个函数是（）A.y＝sin(EQ\f(x,2)＋\f(π,6)) B.y＝cos(2x＋EQ\f(π,3)) C.y＝sin(2x－EQ\f(π,6)) D.y＝cos(2x－EQ\f(π,6))10.在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形11.函数的最小正周期为 （） A． B． C．8 D．412.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（） A．1 B．C． D．－二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知，那么的值为，的值为。14．函数y＝的单调递减区间为．15.已知向量上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________________16．给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移个单位；④图像向左平移个单位；⑤图像向右平移个单位；⑥图像向左平移个单位。请写出用上述变换将函数y=sinx的图像变换到函数y=sin(+)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）17、（本题满分12分）已知一个平行四边形三个顶点为A（0，-9），B（2，6），C（4，5），求第四个顶点的坐标．18.(本小题满分12分)已知，，，，求的值.１９.（本题满分12分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）求的最大值．２０、已知函数（1）求的最小正周期及取得最大值时x的集合；（2）在平面直角坐标系中画出函数在上的图象.21、（本题满分12分）设、是两个不共线的非零向量（） （1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若，那么实数x为何值时的值最小？22、（本题满分1４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以20km/h的速度向北偏西方向移动（其中）,台风当前影响半径为10km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？C2.D3．B4、B5、B6、C7、A8、D9、C.10、B11、A12、D１３、，14、15．－816．④②或②⑥17、解：设D坐标为（x,y），依题意，可能出现右图两种情形，由图（1）有DABC图（1）图（2）DABDABC图（1）图（2）DABC解得，故D坐标为(2,－10)由图（2）有，，，则解得，故D坐标为(-2,－8)综上所述，D点的坐标为(2,－10)或(-2,－8)。18.解：∵∴又∴∵∴又∴∴sin(+)=sin[+(+)]=１９解：（Ⅰ）由，得，即．…………4分则，得．…………………5分∴为所求．…………………6分（Ⅱ），……………10分所以有最大值为3．……………………12分２０解：（I）=………………5分 所以的最小正周期是……………………6分 R，所以当Z）时，的最大值为. 即取得最大值时x的集合为Z}……8分 （II）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点） 1．最小值，最小值.………………10分2．增区间减区间……12分3．图象上的特殊点：（0，－1），（），（），………14分[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]21、解：（1）A、B、C三点共线知存在实数 即，…………………4分 则………………6分 （2） ……………9分 当…………12分22、解：如右图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）km，台风半径为CD＝（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC∴整理得即解得∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。数列单元检测题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项()（A）669（B）670（C）671（D）6722.数列{an}满足an=4an-1+3,a1=0，则此数列的第5项是（）（A）15（B）255（C）20（D）83.等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9,那么a3为（）（A）4（B）（C）（D）24.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=()（A）-1（B）1（C）3（D）75.在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=()（A）40（B）42（C）43（D）456.记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）(A)2(B)3(C)6(D)77.等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A）90（B）100（C）145（D）1908.在数列{an}中，a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为（）（A）49（B）50（C）51（D）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是（）（A）217-（B）216-1（C）216-（D）215-110.在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10=（）（A）45（B）50（C）75（D）6011.（2011·江西高考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=（）（A）1（B）9（C）10（D）5512.等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=（）（A）n(2n-1)（B）(n+1)2（C）n2（D）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{an}前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{an}是递增等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______.15.两个等差数列{an},{bn},,则______.16.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1，则通项an=_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{an}是等差数列，a2=3,a5=6,求数列{an}的通项公式与前n项的和Mn.18.（12分）（2011·铁岭高二检测）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,S3,S2成等差数列.（1）求{an}的公比q；（2）若a1-a3=3,求Sn.19.（12分）数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1,bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n，cn=an-1.（1）求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a1,a2,a3,…,am（m为正整数）满足条件a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项；（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25,c26,…,c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S.21.(12分)已知数列{an}的前n项和为(),等差数列{bn}中，bn>0(),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.（1）求数列{an},{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn.22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.

数列单元检测题参考答案1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由an=4an-1+3,a1=0，依次求得a2=3,a3=15,a4=63,a5=255.3.【解析】选A.等比数列{an}中，a3,a6,a9也成等比数列，∴a62=a3a9,∴a3=4.4.【解析】选B.a1+a3+a5=105,∴a3=35,同理a4=33,∴d=-2,a1=39,∴a20=a1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a1=2,a2+a3=13,得d=3,则a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S4-S2=a3+a4=20-4=16，∴a3+a4-S2=（a3-a1）+(a4-a2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d),∵d≠0,∴d=2,从而S10=100.8.【解析】选D.∵2an+1-2an=1,∴,∴数列{an}是首项a1=2,公差的等差数列，∴.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a1+a2+a3+a11+a12+a13=150,∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50,∴a4+a10=a1+a13=50.11.【解析】选A.∵Sn+Sm=Sn+m,∴令n=9,m=1,即得S9+S1=S10,即S1=S10-S9=a10,又∵S1=a1,∴a10=1.12.【解析】选C.a5·a2n-5=22n(n≥3),∴an2=22n,an>0,∴an=2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.13.【解析】由题意可知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列，2（S2m-Sm）=Sm+S3m-S2m∴S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.14.【解析】由a4-a3=4得a2q2-a2q=4,即2q2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）.15.【解析】设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn.则.16.【解析】∵a1=2,an+1=an+(n+1),∴an=an-1+n,an-1=an-2+(n-1)，an-2=an-3+(n-2),…,a3=a2+3，a2=a1+2,a1=2=1+1将以上各式相加得：.17.【解析】设{an}的公差为d,∵a2=3,a5=6,∴,∴a1=2,d=1,∴an=2+(n-1)=n+1.18.【解析】（1）依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)由于a1≠0，故2q2+q=0，又q≠0,从而.（2）由已知得a1-a1()2=3,故a1=4从而.19.【解析】（1）∵a1=S1,an+Sn=n①,∴a1+S1=1,得.又an+1+Sn+1=n+1②，①②两式相减得2(an+1-1)=an-1，即,也即,故数列{cn}是等比数列.（2）∵,∴,.故当n≥2