初三上学期数学全册教案(暑假补习班)

数学课教案

课题初三暑假数学教案组名教师

时间暑假班级年级新初三课型新授课

1．一元二次方程

教学

2．圆

目标

3．二次函数

课前作业完成情况：优良中差

检查建议:

1.1一元二次方程

一、创设情境，导入新知

思考以下问题如何解决：

问题1：正方形的面积是2，求它的边长。

墙

xm

问题2：如图矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花圃的面积是24m2，求花

教

圃的长和宽.

学

问题3：如图梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m,如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向

过下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离.

x

5m

程

3mx

二、观察归纳：

观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？

一元二次方程的概念：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫一元二

次方程。

注意：认识一元二次方程必须抓住下面几个条件：

（1）方程是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数最高次数2；

（4）有的方程要整理后才能判断是否是一元二次方程。

三、一元二次方程的一般形式

任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2bxc0(a、b、c是常数）的形式，这种形式

叫一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫_________、________和______，a、b分别叫做

_________和_________。

注意：（1）二次项系数a0；

（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项。指明一元二次方程各项系数时注意

不要漏掉前面的性质符号。

思考：（1）当b0,c0时，方程ax2bxc0(a0)的形式为__________；

（2）当b0,c0时，方程ax2bxc0(a0)的形式为__________。

（3）当𝑏≠0,𝑐=0时，方程的形式为__________。

它们是一元二次方程吗？

四、一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注意：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；

其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高

次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

五、典型例题

例1、辨别下列各式是否为一元二次方程？

1

x2x19x26x0y20

2

1

5x240x2xy3y20(x1)(x1)x2

2x

例2、已知方程(m2)xm2(m3)x4m。

（1）当m为何值时，此方程为一元一次方程；

（2）当m为何值时，此方程为一元二次方程。

例3、把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项

x(x1)2x21

(1)8x23x5（2）3x(x2)2(x2)（3）1

23

例4、方程(a1)x2xa20的一个解为1，求a的值.

例5、如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x＝2，x＝1，那么p，q的值分别是()

12

A．-3，2B．3，-2C．2，-3D．2，3

延伸：如果非零实数a、b、c满足a+b+c=o，则关于x的一元二次方程ax2bxc0必有一根

________。

如果非零实数a、b、c满足abc0，则关于x的一元二次方程ax2bxc0必有一根

________。

如果非零实数a、b、c中满足c=o，则关于x的一元二次方程ax2bxc0必有一根________。

六、课堂小结

1、判断一个方程是否是一元二次方程的关键是什么？

2、要确定一元二次的项及系数，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么？；

七、巩固复习

一、选择题

1.若px23xp2p0是关于x的一元二次方程，则()

A．p≠1B．p≠0且p≠1C．p≠0D．p≠0且p≠1

2．已知x=﹣1是关于x的方程x2﹣x+m=0的一个根，则m的值为（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．2

二、填空题

3.方程(2x+1)(x-3)＝x2+1化成一般形式为_____，二次项系数是____，一次项系数是__，

常数项是_．

4．（1）关于x的方程(m2−4)x2−(m−2)x−1=0是一元二次方程，则m；

（2）关于x的方程(m2−4)x2−(m−2)x−1=0是一元一次方程，则m.

5．下列关于x的方程中是一元二次方程的是________(只填序号)．

11

(1)x2+1＝0；(2)x2；(3)x2y10；

x12

(4)x3x2x10；(5)2x(3x5)6x24；(6)(x-2)(x-3)＝5.

6．下列哪些数是方程x26x80的根?答案：.

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．

7．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．

三、解答题

1

8．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2x2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项

2

系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：

1

(1)下列式子中，有哪几个是方程x2x2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序

2

号)___．

11

①x2x20；②x2x20；③x22x4；

22

④x22x40；⑤3x223x430.

1

(2)方程x2x2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间

2

具有什么关系?

9、若关于x的一元二次方程4x22axax2a60常数项为4，则一次项系数________。

10、已知322是关于x的方程x26xm的一个根，则m________。

11、根据题意，列出方程：

（1）剪出一张面积是240cm2的长方形彩纸，使它的长比宽多8cm，这张彩纸的长是多少？

（2）某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率是多

少？

9、关于x的方程a2x22x(2x1)ax1，在什么条件下它是一元二次方程？在什么条件下它是一元

一次方程？

1.2一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

一、知识回顾，复习导入

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

2222

（1）54xx（2）53x（3）yy1y2y2

2、我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

(2)零的平方根是零；

(3)负数没有平方根。

3、填空：4的平方根是25的平方根是100的平方根是

二、提出问题，探索归纳

思考：如何解方程x2=2呢？

根据平方根的意义，是的平方根，所以，x=。即这个一元二次方程的两个根为

结论：1、根据平方根的意义，x就是2的平方根，∴x=2，这种直接通过求平方根来解一元二次方程

的方法叫做直接开平方法。

x2k(k0)

2、形如方程x2k0(k0)可变形为的形式，用直接开平方法求解。

三、例题讲解

例1.解方程（1）x240；（2）4x210；

例2.解方程（x＋1）2－2＝0（这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？）

分析：如果把（x＋1）看成是一个整体，就可以用直接开平方法求解。

例3.已知直角三角形两边长是方程9（x8)20的两根，求直角三角形第三边长。

小结：如果一个一元二次方程具有（x+h）2=k（h、k为常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方

法求解。

三、拓展延伸：

1、若(x2y21)236，求x2y2的值。

2、已知a12。

（1）写一个一元二次方程，使得xa是该方程的一个解；

（2）试证明xa是方程x22x10的一个解；

（3）求a34a23a11的值。

四、课堂小结

1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤

2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？

形如（x＋h）2＝k（h、k为常数k≥0）的方程。

xh

说明：（1）解形如（x＋h）2＝k（h、k为常数k≥0）的方程时，可把看成整体，然后直接开平方。

（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，

2

（3）如果变形后形如xhk中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。

xh2kx,x

（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根12相等。

五、巩固复习

1、方程x2360的解为__________；方程(x4)220的解为__________。

2、用直接开平方法解方程(x2)2m4，方程必须满足的条件是____________。

x23

3、当x________时，分式的值为0.

x3

4、若最简二次根式m228与7m24是同类二次根式，则m________。

5、关于x的方程2x23ax2a0有一根是2，则关于y的方程y2a7的解为________。

6、若x212y20，则x∶y=________。

7、某小店今年七月份营业额为500元，九月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_____。

8、解下列方程：

（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）4x2+16＝0；

1

（5）(2x1)230（6）(3x1)2150（7）4(x3)225(x2)2

4

9、已知yx0，xy2xy2，求xy的值。

配方法

一、知识回顾，复习导入

1、请写出完全平方公式：（a＋b）2=（a-b）2=

2、用直接开平方法解下列方程：（1）(x3)25（2）(x5)2413

3、将下列各式进行配方：

(1)x22x_____(x___)2

(2)x28x_____(x___)2

22

(3)y5y_____(y___)

1

(4)y2y____(y___)2

2

（5）x2+bx＋____＝（x＋___）2

二、提出问题，探索归纳

思考：想一想如何解方程x26x95?

想一想如何解方程x26x40?

两个方程之间有什么联系？

提示：能否将方程x26x40转化为（x＋h）2=k的形式呢？

定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫

做配方法.

目的：把左边转化成（）2=k的形式，右边的k是一个非负数。

思考：观察方程x22x80和2x24x160，请比较这两个方程的区别与联系。

提示：对于二次项系数不为1的一元二次议程，可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法将方程

2x24x160转化为（x＋h）2=k的形式。

归纳总结：将关于x的方程ax2bxc0(a0)化为(xk)2h的形式，再利用直接开平方法求解,

这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤:

①把原方程化为的形式；

②移项:把常数项移到方程的右边；

③二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

④配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

⑤把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑥开方:根据平方根意义,若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，

则判定此方程无实数解。

注意：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式a22abb2(ab)2．

例1、解下列方程：

11

（1）x24x30（2）x23x1（3）x2x0

63

口答：

（1）x22x_____(x___)2（2）x28x_____(x___)2

3

（3）x25x_____(x___)2（4）x2x_____(x___)2

2

板演练习：

（1）x22x30（2）x210x200（3）x2x1（4）x222x40

例2、（1）利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式x22x2恒为负；

（2）根据（1）中配方结果，二次三项式x22x2有最大值还是最小值？最值是多少？

练习：求代数式x26x10的最值。

例3、用配方法解方程：

（1）2x25x20（2）3x24x10

小结：二次项系数不为1的一元二次方程的解法步骤为：（1）__________（2）__________

（3）________________（4）__________________（5）____________________

板演练习：

1

（1）2x28x10（2）x22x10（3）2x23x0（4）3x216x

2

1

例4、体会转化思想：解方程x(x2)5

2

例5、你能用配方法求代数式3x26x5的最小值吗？

三、拓展与延伸

1、如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠A=36°，BD平分∠ABC，求BC的长。

A

D

BC

2、把关于x的方程ax2bxc0(a0)化为(xk)2h的形式，当a、b、c满足什么关系时，方

程有实数根？你能解出这个方程吗？

三、课堂小结

用配方法解一元二次方程的一般步骤

四、巩固复习

1、填空：（1）x26x（）＝（）2（2）x2－8x＋（）＝（）2

（3）x2＋x＋（）＝（）2（4）4x2－6x＋（）＝4（）2

2、用配方法解下列方程：

（1）x2＋2x＝5；（2）x2－4x＋3＝0；（3）x2＋8x－2＝0；

（4）x276x；（5）x2-x=1；（6）x2-7x+12=0

（7）2x25x20（8）3x24x10（9）2x28x10

1

（10）x22x10（11）2x23x0（12）3x216x

2

3、若代数式M10a2b27a8，Na2b25a1，则MN的值（）

Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数

4、用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

5.已知直角三角形的三边a、b、c，且两直角边a、b满足等式(a2b2)22(a2b2)150，求

斜边c的值。

1

6.把方程x23xp0配方，得到xm2。

2

（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。

公式法

一、知识回顾，复习导入

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程（1）2x27x20（2）2x24x50

二、提出问题，探索归纳

请尝试用配方法解一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

示范：ax2＋bx＋c＝0

因为a≠0，所以方程两边都除以a，得

bc

x2＋x＋＝0

aa

移项，得

bc

x2＋x＝－

aa

配方，得

bbcb

x2＋x＋（）2＝－＋（）2

a2aa2a

bb24ac

（x＋）2＝

2a4a

因为a≠0，所以4a2>0

当b2-4ac≥0时，

bb24ac

x＋＝±

2a2a

bb24ac

∴x＝

2a

归纳总结：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根是由方程的各项系数a，b，c确定的，

当时，它的实数根是。这个公式叫做一元二次方程的，利用

这个公式解一元二次方程的方法叫做。

三、例题讲解

例1、请你利用求根公式解下列方程：

x2＋3x＋2=0⑵2x2－7x=4（3）0.2x21.2x0.550

板演练习：

（1）2x2x10（2）x(x6)6（3）2x23x40

例2、用公式法解关于x的方程：x23mx(2m2mnn2)0。

拓展延伸：

用公式法解关于x的方程：x2pxq0(p24ac0)。设此方程的两根为x、x，

12

试求：（1）x+x；（2）xx。你有什么发现？

1212

四、课堂小结

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？

3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？

五、巩固复习

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为，b2-4ac=

2、把关于x的方程(2x1)(x3)x21化成ax2bxc0的形式，b24ac_______，

方程的根是_________________。

3、关于x的方程x24xm0的一个根是52，则m_____________，方程的另一个根是

___________。

1xx2x1

4、当x_____________时，与相等。

324

5、根据“拓展于延伸”中你探究的结论，方程x2x10的两根之积为_________，两根之和为

_________。

6、用公式法解下列方程：

（1）x2-2x-8=0（2）x2+2x-4=0（3）2x2-3x-2=0

（4）3x(3x-2)+1=0（5）2x2x60（6）x24x2

7、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x210x240的一个根，求这个三角形的周长。

8.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。

9.用公式法解关于x的方程mnx2(m2n2)xmn0(mn0,m2n2)

根的判别式

一、知识回顾，复习导入

1、运用公式法解下例方程：

（1）x2-4x+4=0（2）2x2-3x-4=0(3)x2+3x+5=0

一、提出问题，探究新知

bb24ac

思考：对于ax2＋bx＋c＝0的根＝中，若出现b24ac＜0怎么办呢？

2a

例如：解方程3x2-4x+4=0

举例:判断下列方程根的情况（1）3x2-4x+1=0（2）x2－4x＋4=0（3）3x2-4x＋7=0

解：（1）∵b24ac＝16－12＝4＞0

∴此方程有两个不相等的实数根

（2）∵b24ac＝16－16＝0

∴此方程有两个相等的实数根

（3）∵b24ac＝16－84＝－68＜0

∴此方程没有实数根

归纳总结：

（1）一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

（2）用公式法解x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方

程无实根.

注意：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选

择.

bb24ac

（2）一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法将其变形为：(x)2

2a4a2.

bb24ac

①当b24ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x

1,22a.

b

②当b24ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x

1,22a.

③当b24ac0时，右端是负数．因此，方程没有实根.

三、课堂小结

如何利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况？

例1、不解方程，判别方程根的情况：

（1）x23x10（2）x26x90（3）2y23y40（4）x2525x

变式：求证：不论x取何值时，关于x的一元二次方程x2kx10总有两个不相等的实数根。

例2、k取什么值时，关于x的方程2x2(k2)x2k20有两个相等的实数根？有两个不等的实

数根？无实数根？

变式1：已知关于x23xk20有实数根，求k的取值范围。

例3、已知关于x的方程kx21kx20有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k的取值范围。

四、拓展延伸

关于x的方程．．(k2)x22(k1)xk10有实数根，求k的取值范围。

（友情提示：此方程不一定是一元二次方程哦！）

四、巩固复习

1、不解方程，判断方程根的情况

x2＋3x-4=02x2-6x＋7=05x2-6x-4=0x2-25x＋5=0

2、已知方程x2＋kx-4=0有两个相等的实数根，求k的值。

变式1、有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

变式2、没有实数根，求k的取值范围；

变式3、有实数根，求k的取值范围；

变式4、若方程变为kx2＋3x-4=0有实数根，求k的取值范围。

提公因式法

一、知识回顾，复习导入

到目前为此，我们已经学习了一元二次方程的几种解法？

1、直接开平方法x2=a(a≥0)

2、配方法(x+h)2=k(k≥0)

bb24ac

3、公式法xb24ac0

2a

练习：解方程x23x.

解法1：配方法解法2：公式法

二、探求新知，归纳总结

（建模）我们知道，若a×b＝0，则有a＝0或b＝0

（应用）解方程：x23x.

由x23x.可知，x（x－3）＝0

∴x=0或x－3=0

∴x＝0或x＝3.

12

（拓展延伸）用上面的方法解下列方程

5x2＋3x＝0x2-25＝0（x＋2）（x－5）＝02（x－4）＋x（x－4）＝0

归纳总结：

（1）当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元

二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

（2）用因式分解法解一元二次方程的步骤：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（3）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

注意：

①能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因

式的积；

②用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等

于0；

③用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以

含有未知数的代数式.

三、例题讲解

用因式分解法解下列方程：

（1）x24x（2）x3x(x3)0（3）(2x1)2x20

板演练习：

（1）(x2)(x1)0（2）3x2x（3）4x(2x1)3(2x1)（4）(2x1)2(3x2)2

3、观察与思考:

小明解方程(x2)24(x2)方程两边都除以(x2)，得x24，于是解得x2。小明的解法

正确吗？为什么？

4、思考：

请你观察下列方程的特征，说出用什么方法解方程比较简便，并解答。

（1）2x125（2）x22x0（3）x(x3)4

（4）x(x4)165（5）(2x1)x2

注：在选用适当的方法解一元二次方程时，先观察方程的特征，看能否用因式分解法或用直接开平方法

求解，若不能再考虑用公式法或配方法求解。

板演练习：用适当的方法解下列方程

（1）x25x60（2）(x2)23x6（3）x(x3)10

（4）2(x2)2x24（5）(2x1)(x3)4（6）x242x80

四、课堂小结

什么情况下会选择因式分解法来解一元二次方程？

五、巩固复习

1、解下列一元二次方程：

（1）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0（2）(3x1)(x1)(4x1)(x1)

（3）（x+8）2-5(x+8)+6=0（4）3x(2x1)4x2

2、探究下表中的奥秘，并完成填空：

一元二次方程两个根二次三项式因式分解

x2﹣2x+1=0x=1，x=1x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）

12

x2﹣3x+2=0x=1，x=2x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）

12

3x2+x﹣2=0

x=，x=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）

12

2x2+5x+2=0

x=﹣，x=﹣22x2+5x+2=2（x+）（x+2）

12

4x2+13x+3=0x=，x=4x2+13x+3=4（x+）（x+）

12

将你发现的结论一般化，并写出来．

1.3一元二次方程的根与系数的关系

一、探索发现

探索发现：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？

xx

ax2bxc012

12

x23x20

－1－2

x23x20

23

x25x60

－2－3

x25x60

03

x23x0

解释规律：你能解释刚才的发现吗？一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若b2－4ac≥0，它的两个根

分别是x、x．

12

总结发现：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x、x．则有

12

bc

xx，xx．

12a12a

二、例题讲解

例1、求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1．需要解方程吗？

例2、小明在一本课外读物中读到如下一段文字：

“一元二次方程的两根是23和23”，你能写出这个方程中被墨

迹污染的一次项系数和常数项吗？

三、归纳总结

（1）一元二次方程的根与系数的关系：

bc

如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x，x，那么xx，xx.

1212a12a

注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于

方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的

商.

（2）一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x、x的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重

12

要变形；如：

11xx

①x2x2(xx)22xx；②12；③xx2x2xxx(xx)；

121212xxxx12121212

1212

xxx2x2(xx)22xx

④21121212；⑤(xx)2(xx)24xx；

xxxxxx121212

121212

⑥(xk)(xk)xxk(xx)k2；⑦|xx|(xx)2(xx)24xx；

12121212121212

11x2x2(xx)22xx

⑧121212；⑨xx(xx)2(xx)24xx；

x2x2x2x2(xx)212121212

121212

⑩|x||x|(|x||x|)2x2x2+2|xx|(xx)22xx2|xx|．

12121212121212

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是

.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x、x，则

12

①当△≥0且xx0时，两根同号．

12

当△≥0且xx0，xx0时，两根同为正数；

1212

当△≥0且xx0，xx0时，两根同为负数．

1212

②当△＞0且xx0时，两根异号．

12

当△＞0且xx0，xx0时，两根异号且正根的绝对值较大；

1212

当△＞0且xx0，xx0时，两根异号且负根的绝对值较大．

1212

注意：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往

利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）．

四、课堂小结

1．一元二次方程根与系数的关系是什么？

2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0

时，才能应用根与系数的关系．

五、巩固复习

1、不解方程，判别方程根的情况：x2axa210

2、不解方程，求方程2x23x10的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．

3、已知方程5x2kx60的一个根是2，求另一个根及k的值．

4、已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

1.4用一元二次方程解决问题

一、复习

二、知识点梳理

1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:

⑴与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等;

⑵有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低两次得到新数据,常见的

等量关系是a(1±x2=b,其中a表示增长(降低前的数据,x表示增长率(降低率,b表示

后来的数据。注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超过1。

⑶经济利润问题:总利润=(单件销售额-单件成本³销售数量;或者,总利润=总销售额-总成本。

题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获

得利润n元．

①若设售价x元，则列式为②若设提(降)价x元，则列式为：

⑷动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线

段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

5）用列一元二次方程的方法解决有关赠贺卡、握手问题．

握手总次数、单循环赛的场次＝n(n－1)/2；送礼物总份数＝n(n－1)．

★2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对

方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.

三、典型例题（重点）

考点一、与几何图形有关的应用

例1某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人

均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费

用不得低于500元，甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，

问这次旅游可以安排多少人参加？

变式训练：某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，

人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游

费用不得低于500元，甲公司组织员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元。求该公司第二批

参加旅游的员工人数。

例2如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的

无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

变式训练1：一块边长为10㎝的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的

长方体盒子，若要求长方体的底面积为81㎝2，则剪去的正方形边长为多少？

变式训练2：一块正方形铁皮的4个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒

子的容积是400㎝3，求原铁皮的边长。

练习：（1）一块长方形菜地的面积是150㎝2。如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形，求原菜地的

长和宽。

（2）在一块长70m、宽50m的长方形绿地的四周有一条宽度相等的人行道，这条人行道的面积是1300m2,

求这条人行道的宽度。

考点二：列一元二次方程解“数字问题”和“平均增长率”

例1一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这

个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，求这个三位数。

练习：（1）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6，把这个两位数个位数字与十位数字对调，

再与原数相乘，积为3627，求这个两位数。

（2）一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三边长。

例2某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？

练习：（1）两个数的和为16，积为48。求这两个数。

（2）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与

原数相乘，积为3627，求这个两位数。

（3）一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三边长。

考点三：列一元二次方程解“动态”问题

例1、一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

并说明理由。

分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。

根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，可以列出方程求解。

解：

DC

Q

例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点

A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点AAB

P

以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值

时，△QAP的面积等于2cm2?

练习：1、用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600cm2？能制成

面积是800cm2的矩形框子吗？

2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，

点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

DC

Q

AB

P

考点四：用列方程的方法解决有关商品的销售问题

例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，

商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多

售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月

能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销

售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）

练习：1、某种服装，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600

元，每件应降价多少元？

2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减

少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每

天多售出300张。商场要想平均每天盈利