材料学院学术部大一下高数2讲义

第十二章无穷级数想法能否改变形式(分解)?(常数项)无穷级数一、问题的提出介绍二类无穷级数介绍无穷级数的作用表示函数常数项级数函数项级数(幂级数)数值计算二、本章主要内容常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节一、常数项级数的概念

1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和2.级数的收敛与发散:余项所以,级数发散所以,级数收敛解所以,级数发散解技巧:利用“拆项相消”求和例.判别下列级数的敛散性:解:

所以级数(1)发散;所以级数(2)收敛,其和为1.解:

解:

收敛

发散

发散

发散

结论:首项1-公比

收敛

发散

发散例判断敛散性例证明(调和级数)发散的证:所以发散问:收敛否?三、基本性质结论:

级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.

(发散)

(发散)

(发散)结论:

收敛级数可以逐项相加与逐项相减且仍收敛.

收敛

收敛

发散则级数发散；则级数可能收敛也可能发散。1，设收敛,发散证明在级数中减去有限多项不影响级数的敛散性.发散的

(发散)

(发散)结论:(或加上，或改变)证明注意:即：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.但:1,逆命题不一定成立

即:2,逆否命题成立

即:例

判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散

.四、收敛的必要条件证明eg其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.则级数发散若注意

级数收敛则级数可能收敛也可能发散级数发散

若五、小结1,常数项级数的基本概念2,基本审敛法不存在，

收敛

注意:若敛散性不定

发散五、小结3,常用结论2),调和级数发散首项1-公比练:p254/1,2,3,4练习题练习题答案第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法

二、交错项级数及其审敛法三、任意项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,

∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,

也收敛.证:“”“”有极限.有极限.证明即部分和数列有界3.比较审敛法（小于收敛的更收敛）（大于发散的更发散）反证即得比较审敛法的不便:须有参考级数.例:分析以下级数之敛散性解发散发散注意:没用解发散发散注意:没用解发散有界，所以收敛比较法重要参考级数:

几何(等比)级数,P-级数,调和级数.结论:一定发散进一步结论:敛散性以1为分界发散，收敛，发散收敛练：发散收敛发散收敛收敛练:例:之敛散性分析解:发散发散收敛收敛4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;

(2)当时，若收敛,则收敛;

(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;解故原级数发散.故原级数收敛.(1)解发散.解故原级数收敛.收敛.解（4）原级数收敛收敛,故原级数收敛.解收敛,（5）问:反之不成立.例如：收敛,发散.答:收敛的必要条件比值审敛法的优点:不必找参考级数.比值审敛法的缺点:解比值审敛法失效,改用比较审敛法解解例:之敛散性分析解(一):比较法故原级数收敛.(注意:不行)收敛,解(二):比较法极限形式故原级数收敛.收敛,解(三):比值法故级数收敛.例:之敛散性分析解(一):比较法解(二):比值法故级数收敛.故原级数收敛.(注意:不行)收敛,结论:通项中有阶乘和幂次时往往用比值法例:之敛散性分析解(一):比较法解(二):（性质）均收敛,故原级数收敛收敛,故原级数收敛的敛散性

.解:

级数收敛;级数发散;例:分析证明:证:对级数:收敛.例:收敛的必要条件:级数收敛.结论同比值判断法.例:之敛散性分析解:级数收敛.二、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.或证明满足收敛的两个条件,例:分析以下级数的敛散性解:所以级数收敛解令所以级数收敛解:

令即所以级数收敛收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛练:三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛证明解:

而收敛

,收敛所以原级数绝对收敛.例.讨论下列级数敛散性，若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛:因此原级数绝对收敛收敛,解:

发散

,收敛因此，原级数为条件收敛而解:

所以级数发散

解:

发散而对于条件收敛发散解:

绝对收敛发散收敛而条件收敛发散收敛为条件收敛.为绝对收敛.为绝对收敛.为发散为绝对收敛.为条件收敛

.练:

下列级数是否收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?考题发散收敛绝对收敛发散收敛解为绝对收敛.为发散为收敛.为发散注意!一般发散发散但若有比值或根值法得发散发散本页略内容小结1.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法(幂次/阶乘)根值审敛法(N次方)收敛发散不定

比较审敛法(极限形式)用它法判别部分和极限比较审敛法比较审敛法极限形式小于收敛的更收敛大于发散的更发散具有相同敛散性发散收敛收敛发散比较法重要参考级数:

几何(等比)级数,P-级数,调和级数.发散首项1-公比Leibniz判别法:则交错级数收敛2.交错项级数审敛法且3.任意项级数审敛法绝对收敛条件收敛为收敛级数,收敛结论:练习题一解:

敛散性?解:

发散敛散性?解:

故原级数发散发散敛散性?解:

故原级数收敛收敛敛散性?解:

收敛

对故原级数收敛敛散性?解:

故原级数绝对收敛收敛敛散性?解:

收敛发散解:

敛散性?收敛收敛(由题意得

必为正项级数)

敛散性?解:

收敛交错项级数收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解:

发散而

(条件)收敛发散视为任意项级数收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解:

发散对条件收敛敛散性?解:

绝对收敛敛散性?解:

绝对收敛发散收敛而条件收敛发散设收敛,问收敛?解:

收敛收敛收敛14,下列级数收敛的是()下列级数收敛的是()15,若收敛,16,下列级数不收敛的是()17,级数之和18,级数则级数19,下列级数收敛的是()20,级数级数均收敛均收敛收敛发散收敛发散21,级数正项,则下列命题错误的是()若则收敛若则发散若则收敛若则收敛22,用比较或比值法判敛散收敛收敛发散收敛收敛收敛或收敛或收敛发散发散收敛收敛收敛收敛)收敛绝对收敛绝对收敛发散23,下列级数中,绝对收敛的是()24,下列级数中,条件收敛的是()25,发散绝对收敛条件收敛敛散性与有关解:发散收敛选26,敛散性解:绝对收敛发散收敛发散27,敛散性解:收敛,收敛,收敛,时,收敛.28,正项数列单调减少,发散,问:收敛?解:正项数列单调减少,发散,所以收敛29,发散绝对收敛条件收敛敛散性与有关收敛,则解:由故绝对收敛30,敛散性?解:所以收敛所以(条件)收敛31,发散绝对收敛条件收敛敛散性与有关解:收敛绝对收敛选32,发散绝对收敛条件收敛敛散性与有关为常数,解:收敛发散发散33,以下级数收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解:发散对条件收敛解:发散条件收敛练习题二练习题答案第三节一、函数项级数的概念

函数项级数（幂级数）二、幂级数及其收敛性三、幂级数运算一、函数项级数的概念

1.定义:2.收敛点与收敛域:3.和函数:例如,

等比级数即它的收敛域是它的发散域是收敛到发散和函数

记:

二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:标准型关于原点对称证：（绝对收敛）由(1)结论时，级数发散即当结论几何说明收敛区域发散区域发散区域定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?此时，幂级数的收敛区域可能为说明:收敛区间往往不需讨论端点情况证明记忆方法:（比值判断法）由比值审敛法,级数绝对收敛定理证毕.的收敛半径为说明:据此定理得对标准型幂级数即:例

求下列幂级数的收敛区域:解该级数收敛该级数发散解解发散收敛故收敛区域为(0,1].的收敛半径及收敛域.例.求幂级数解（一）时发散非标准型发散收敛故收敛区域为(0,1].的收敛半径及收敛域.例.求幂级数解（二）(了解）对建议：对非标准型用解法一例.的收敛半径.(p274/eg4)解:时级数收敛时级数发散

故收敛半径为

非标准型解级数收敛,非标准型级数发散,原级数的收敛区域为发散发散解由比值判别法原级数绝对收敛.非标准型原级数发散.收敛;发散;的收敛半径,收敛域.例求解:收敛发散发散所以收敛域的收敛半径,收敛域.例求解:收敛;发散;收敛;发散故收敛域为:2，求幂级数收敛半径、收敛域的方法1)对标准型幂级数收敛半径小结再讨论端点的收敛性,得收敛域

.1，幂级数收敛性质:收敛绝对收敛发散发散2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)直接用比值法得收敛半径,(也可通过换元化为标准型再求).再讨论端点的收敛性,得收敛域

.1.

已知处绝对收敛,问该级数收敛半径为多少?答:由题意可知,级数在收敛,时发散

.故收敛半径为问：2.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径为多少?答:无法确定

已知处条件收敛,则该级数在在处（a)一定发散（b)可能收敛可能发散（c)一定绝对收敛（d)一定条件收敛3.

已知处条件收敛,则该级数收敛在半径R=1.代数运算:(1)加减法三、幂级数运算-----求和函数(2)*乘法(3)*除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.分析(求导和积分)运算:若则连续,(收敛半径不变,但收敛域有可能改变)(收敛半径不变,但收敛域有可能改变)微分运算作用：通过对已知级数的和函数作微分运算可以得到新的级数的和函数（收敛半径不变，但收敛区域可能有变）已知和函数解两边积分得两边求导得发散设例.

的和函数解:则级数均发散例.

的和函数解:

易求出发散例.

的和函数求幂级数（P276/例6)解:级数收敛级数发散解:

R＝+∞.例*.则故得的和函数.因此得设微分方程例.

收敛半径、收敛区域、和函数及之和解：即时收敛发散所以收敛区域为：设即时发散则设例*.

解：求

之和

考虑幂级数易得:收敛区域代入:解:原式=的和

.求级数例*

小结:1，幂级数运算(收敛半径不变,但收敛域有可能改变)2，求幂级数和函数的方法：----收敛区间内通过逐项求导或求逐项积分3*，求数项级数和的方法：1）直接求2）借助于函数项级数的和函数求练习题练习题答案求和展开第四节函数展开成幂级数

一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数

一、泰勒(Taylor)级数

其中(在x与x0

之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式

,该邻域内有:1、n阶泰勒(Taylor)公式

x0x0x其中(在x与0之间)称为麦克劳林余项.此式称为f(x)的n阶麦克劳林公式

,当x0=0

时,拉格朗日中值定理

abx0x为f(x)的泰勒级数

.则称当x0=0

时,若函数的某邻域内具有任意阶导数,为f(x)的麦克劳林级数

.2、n阶泰勒(Taylor)级数

f(x)的n阶泰勒公式

为f(x)的泰勒级数

二者关系：

问题：即：泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?证明必要性的泰勒级数收敛于充分性又二、函数展开成幂级数1.直接展开法(泰勒级数法)步骤:(1)写出泰勒公式（麦克劳林公式）若例解得对任何有限数x,其余项满足(在0与x之间)展开为麦克劳林级数对应的幂级数收敛由麦克劳林公式例解得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足例解两边积分得即牛顿二项式展开式注意:2.间接法利用已知展开式，通过变量代换、逐项求导、逐项积分等方法,求展开式.例：分别将展开为的幂级数解将展开为的幂级数例:(在进行泰勒展开)解:已有展开式：例.

将函数展开成x的幂级数.并求解:

又有展开式：例.

将展成解:

的幂级数.例将分别展开为的幂级数解：例.

将展成x－1的幂级数.解:

解例*（即展开为并求的幂级数），例：将展开为的幂级数解

将在x=0处展为幂级数.解:例(展开为的幂级数)例：将在点进行泰勒展开解展开为的幂级数)(即：例将展开为的幂级数解解:考题考题内容小结

1,f(x)的n阶泰勒公式

2,f(x)的泰勒级数

3.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式

;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开3.常用函数的幂级数展开式式的函数

.例*将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此练习题练习题答案习题课3、函数的幂级数展开1、数项级数的审敛法2、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法一、本章主要内容例将展开为的幂级数解二、典型例题1，幂级数展开例将分别展开为的幂级数解例将展开为的幂级数解例解将展开为麦克劳林级数（展开为的幂级数）例.

将展开为x的幂级数?解:例

将函数展开成x的幂级数.解:例将展开为的幂级数解级数发散,例展开为的幂级数解将并求级数之和例展开为的幂级数解将2，幂级数收敛半径、收敛区域及和函数例解设幂级数的收敛半径为求幂级数的收敛半径时收敛,例解若在处收敛,则此级数在处1)条件收敛2)绝对收敛3)发散4)收敛性不定收敛,时,绝对收敛,所以选2)例的收敛半径、收敛区域及和函数解求幂级数并求之和收敛所以收敛区域：收敛设例的收敛半径、收敛区域及和函数解求幂级数发散收敛所以收敛区域：设则例的收敛半径、收敛区域及和函数解求幂级数发散所以收敛区域：发散设或例*解两边逐项积分先求出收敛区间则设和函数为例*.

求