新高考数学一轮复习《简单的三角恒等变换》课时练习(含详解)

新高考数学一轮复习《简单的三角恒等变换》课时练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3计算：SKIPIF1<0等于()A.﹣sinαB.﹣cosαC.sinαD.cosαLISTNUMOutlineDefault\l3已知α∈(0,eq\f(π,2))，2sin2α﹣1＝cos2α，则cosα等于()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)LISTNUMOutlineDefault\l3若sin(α＋eq\f(3π,2))＝eq\f(2,5)，则eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))等于()A.eq\f(17,10)B.eq\f(10,17)C.﹣eq\f(17,10)D.﹣eq\f(10,17)LISTNUMOutlineDefault\l3已知tanα＝2，则sin2α＋cos2α等于()A.eq\f(3,5)B.﹣eq\f(3,5)C.﹣eq\f(3,5)或1D.1LISTNUMOutlineDefault\l3已知sinθ﹣cosθ＝eq\f(1,2)，则cos2(θ﹣eq\f(π,4))等于()A.eq\f(7,16)B.eq\f(7,8)C.eq\f(\r(5),4)D.eq\f(\r(7),4)LISTNUMOutlineDefault\l3已知角α，β满足eq\f(π,2)＜α﹣β＜eq\f(3π,2)，0＜α＋β＜π，且sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝﹣eq\f(1,3)，则cos2β的值为()A.﹣eq\f(\r(2),9)B.eq\f(\r(2),9)C.﹣eq\f(4\r(2),9)D.eq\f(4\r(2),9)LISTNUMOutlineDefault\l3已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m＞0；若tan2α＝﹣eq\f(12,5)，则cos(2α＋mπ)等于()A.﹣eq\f(6,13)B.﹣eq\f(12,13)C.eq\f(6,13)D.eq\f(12,13)LISTNUMOutlineDefault\l3已知tan2θ﹣4tanθ＋1＝0，则cos2(θ＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)LISTNUMOutlineDefault\l3曲线y＝f(x)＝lnx﹣eq\f(2,x)在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin(2α＋eq\f(π,2))等于()A.eq\f(4,5)B.﹣eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.﹣eq\f(3,5)LISTNUMOutlineDefault\l3若α∈(0,eq\f(π,2))，且cos2α＝eq\f(\r(2),5)sin(α＋eq\f(π,4))，则tanα等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)LISTNUMOutlineDefault\l3设α∈(0,eq\f(π,2))，β∈(0，π)，若eq\f(1＋sinα,1－sinα)＝eq\f(1－cosβ,1＋cosβ)，则()A.α＋β＝eq\f(π,2)B.α＋β＝πC.α﹣β＝eq\f(π,2)D.β﹣α＝eq\f(π,2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知A，B均为钝角，sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f(π,3))＝eq\f(5－\r(15),10)，且sinB＝eq\f(\r(10),10)，则A＋B等于()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4)D.eq\f(7π,6)二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)下列各式的值等于eq\f(\r(3),2)的是()A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos2eq\f(π,12)﹣1C.1﹣2sin215°D.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2C＝tanAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin2C＋cosC－2))，则下列结论中错误的是()A.△ABC可能是直角三角形B.角B可能是钝角C.必有A＝2BD.可能有a＝2b三 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3设a=eq\f(1,2)cos6°-eq\f(\r(3),2)sin6°，b=eq\f(2tan13°,1－tan213°)，c=eq\r(\f(1－cos50°,2))，将a，b，c用“＜”号连接起来为________．LISTNUMOutlineDefault\l3设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ=1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：原式＝eq\f(－sin2α·cos2α,2cos2α·－sinα)＝eq\f(－2sinαcosα·cos2α,2cos2α－sinα)＝cosα.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D.解析：∵2sin2α﹣1＝cos2α，∴4sinαcosα＝1＋cos2α＝2cos2α，∵α∈(0,eq\f(π,2))，∴cosα＞0，∴2sinα＝cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq\f(2\r(5),5).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：∵sin(α＋eq\f(3π,2))＝﹣cosα＝eq\f(2,5)，∴cosα＝﹣eq\f(2,5)，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×(﹣eq\f(2,5))2﹣1＝﹣eq\f(17,25)，∴eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(cos2α,cosα)＝eq\f(－\f(17,25),－\f(2,5))＝eq\f(17,10).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：∵sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα＋1,tan2α＋1)＝1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：由sinθ﹣cosθ＝eq\f(1,2)两边平方得，sin2θ﹣2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,4)，所以2sinθcosθ＝eq\f(3,4)，即sin2θ＝eq\f(3,4)，所以cos2(θ﹣eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2θ,2)＝eq\f(7,8).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：∵eq\f(π,2)＜α﹣β＜eq\f(3π,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，∴cos(α﹣β)＝﹣eq\f(2\r(2),3)，∵0＜α＋β＜π，cos(α＋β)＝﹣eq\f(1,3)，∴sin(α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，cos2β＝cos[(α＋β)﹣(α﹣β)]＝cos(α＋β)cos(α﹣β)＋sin(α＋β)sin(α﹣β)＝eq\f(4\r(2),9).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：依题意，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝﹣eq\f(12,5)，解得tanα＝﹣eq\f(2,3)或tanα＝eq\f(3,2).因为m＞0，由三角函数的定义，可得tanα＝m＝eq\f(3,2)，则sinα＝eq\f(m,\r(1＋m2))＝eq\f(3,\r(13))，cosα＝eq\f(1,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(13))，故coss(2α＋mπ)＝cos(2α＋eq\f(3π,2))＝sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(12,13).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：由tan2θ﹣4tanπ＋1＝0，易知tanθ≠0，可得tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，所以eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，则eq\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ·sinθ)＝4，即cosθ·sinθ＝eq\f(1,4)，所以cos2(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2θ,2)＝eq\f(1－2sinθcosθ,2)＝eq\f(1,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝lnx﹣eq\f(2,x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)，∵y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝1处的切线的倾斜角为α，f′(1)＝3，∴tanα＝3,0＜α＜eq\f(π,2)，又sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，∴sin(2α＋eq\f(π,2))＝cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣eq\f(4,5).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：因为α∈(0,eq\f(π,2))，所以sinα＋cosα＞0.因为cos2α＝eq\f(\r(2),5)sinα＋eq\f(π,4))，所以(cosα＋sinα)(cosα﹣sinα)＝eq\f(1,5)(sinα＋cosα)，所以cosα﹣sinα＝eq\f(1,5)，所以cosα＞sinα，则α∈(0,eq\f(π,4))，tanα＜1.将cosα﹣sinα＝eq\f(1,5)两边平方可得1﹣2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以sinαcosα＝eq\f(12,25)，所以eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(12,25)，分子、分母同时除以cos2α可得eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(12,25)，解得tanα＝eq\f(3,4)或eq\f(4,3)(舍)，即tanα＝eq\f(3,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：由eq\f(1＋sinα,1－sinα)＝eq\f(1－cosβ,1＋cosβ)，得(1＋sinα)(1＋cosβ)＝(1﹣cosβ)(1﹣sinα)，化简得sinα＋cosβ＝0，∴sinα＝﹣cosβ＝﹣sin(eq\f(π,2)﹣β)＝sin(β﹣eq\f(π,2))，∵0＜β＜π，∴﹣eq\f(π,2)＜β﹣eq\f(π,2)＜eq\f(π,2)，又0＜α＜eq\f(π,2)，∴α＝β﹣eq\f(π,2)，∴β﹣α＝eq\f(π,2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：因为sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f(π,3))＝eq\f(5－\r(15),10)，所以eq\f(1－cosA,2)＋eq\f(1,2)cosA﹣eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，即eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，解得sinA＝eq\f(\r(5),5)，因为A为钝角，所以cosA＝﹣eq\r(1－sin2A)＝﹣eq\f(2\r(5),5).由sinB＝eq\f(\r(10),10)，且B为钝角，可得cosB＝﹣eq\r(1－sin2B)＝﹣eq\f(3\r(10),10).所以cos(A＋B)＝cosAcosB﹣sinAsinB＝eq\f(\r(2),2).又A，B都为钝角，即A，B∈(eq\f(π,2),π).所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝eq\f(7π,4).二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：BC.解析：2sin67.5°cos67.5°＝sin135°＝eq\f(\r(2),2)，故A不符合；2cos2eq\f(π,12)﹣1＝cos

eq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，故B符合；1﹣2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故C符合；eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，故D不符合.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：BC解析：依题意得2sinCcosC＝eq\f(sinA,cosA)(2﹣eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2C＋cosC－2))＝eq\f(sinA,cosA)·cosC·(1﹣2cosC)，整理得cosC·[2(sinAcosC＋cosAsinC)﹣sinA]＝0，即cosC·(2sinB﹣sinA)＝0，所以cosC＝0或sinA＝2sinB.因此当cosC＝0时，△ABC是直角三角形，故A选项正确；而当sinA＝2sinB时，由正弦定理可得a＝2b，因此选项D正确；选项C错误；无论是cosC＝0还是sinA＝2sinB，均可得角B为锐角