泛函分析讲义02

本文格式为Word版，下载可任意编辑——泛函分析讲义02泛函分析讲义其次讲：距离空间中的点集

关键词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的

主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义

一、开集与闭集

本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。定义1.设x0?(X,?)，r?0，以x0为中心，以r为半径的开球S(x0,r)称为x0的一个球形邻域，简称为邻域。

设G?X,x?G,若存在x的一个邻域S(x0,r)?G,则称x是G的一个内点。若G中每一个点都是它的内点，则称G为开集。

例1．开球都是开集。

证明：设S(x0,r)为开球。任取x?S(x0,r),即?(x,x0)?r,令??r??(x,x0),

?y?S(x,?),即?(x,y)??,则

?(x0,y)??(x0,x)??(x,y)?r?????r

∴S(x,?)?S(x0,r).即S(x0,r)为开集.

定理1设(X,?)为距离空间,则(1)空集?全空间X是开集.(2)任意多个开集之并是开集.(3)有限个开集之交是开集.

证明：设{Ga}a?I是一族开集，证明?G?为开集。

??I对?x??G?，??0，使x?G?0，由G?0是开集，则存在x的一个邻域S(x,r)?

??IG?0，从而S(x,r)???IG?.???I∴x是?G?的一个内点，从而?G?为开集。

??I(3).设Gi是开集，i?1,2,...,n，证明?Gi是开集。

i?1n对?x??Gi，则x?Gii?1,2,...,n，由Gi是开集，则存在x的一个邻域

i?1nr1,r2,...,rn}，则从而S(x,r)?S(x,ri)，i?1,2,...,n.从而S(x,ri)?Gi，令r?min{S(x,r)??Gi，所以?Gi为开集。

i?1i?1nn定义2设X?(X,?)，A?X，x0?X，若x0的任何??邻域S(x0,?)满足

则称x0是A的一个聚点。其等价条件为：(2)x0的任何??(S(x0,?)?{x0}?A??,，

邻域S(x0,?)都含有A的无穷多个点；(3)?xn?A，xn?x0，但xn?x0.

任丽伟

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证明：(1)?(2)：若存在x0的一个邻域S(x0,?),里面只含有A的有限个点

x1,x2,xn.不妨认为它们都异于x0.取??min{?(x1,x0),?(x2,x0)?(xn,x0)}。则{S(x0,?)?{x0}}?A??.这与x0是A的聚点相矛盾。

(2)?(1)：显然。

1(1)?(3)：设x0是A的聚点，取?n?，则x0的邻域S(x0,?n)中必含有A的点

n1xn?x0，所以?(xn,x0)??n?，令n??，则有limxn?x0.

n(3)?(1)：设S(x0,?),为x0的一个邻域，由xn?x0，xn?x0，知存在N，当n?N时，?(xn,x0)??，即xn?S(x0,?),因此x0是A的一个聚点。

设A?={x|x为A的聚点}，若A??A，则称A为闭集。A闭??xn?A,xn?x0，则x0?A。

证明：?)，设xn?A，xn?x0.要证明x0?A。若存在某xn?x0，则自然有x0?A。否则不妨认为xn?x0，则x0?A?，又A??A，则x0?A。

?)，证明：A??A。?x?A?，在A中存在xn?x，xn?x。由已知x?A，得A??A。

令A?A??A为A的闭包。

x?A????0，S(x,?)?A????{xn}?A，xn?x定义3设A?(X,?)，x0?A，若??0?0，使S(x0,?0)?A?{x0}或S(x0,?0)?(A?{x0})??，则称x0是A的一个孤立点。

定理2设X?(X,?)，A?X，则以下两条等价：(1).A是闭集；(2).AC是开集。

证明：(1)?(2)：由A是闭集，则A??A，则A??AC??。任取x?AC，则x不是A的聚点。则存在x的一个邻域S(x,?)?A??，则S(x,?)?AC，所以x是AC的一个内点。所以AC是开集。

(2)?(1)：已知AC是开集，要证A??A，即AC?(A?)C，对?x?AC，由AC是开集，存在x的一个邻域S(x,?)?AC，即S(x,?)中不含A中的点，所以x?A?，即x?(A?)C，所以A是闭集。

定理3X?(X,?)中，A是闭集?A?A.定理4给定X?(X,?)，则

(1)空集?和全空间X是闭集；(2)有限多个闭集之并是闭集；(3)任意多个闭集之交是闭集。

证明：利用定理2，以及德摩根公式，假使?Fi,Fi是闭集，C(?Fi)??Fic,Fici?1i?1i?1nnn,是开集。由开集性质，?Fi是开集，∴?Fi是闭集。

ci?1i?1nn定理5设A?(X,?),则A?和A都是闭集。

证明：先证A?是闭集。需证A???A?.设A????。任取x0?A??,对?r?0，

(S(x0,r)?{x0})?A???。设y?(S(x0,r)?{x0})?A?，取??min{r??(x0,y),

任丽伟

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????(x0,y)}>0。可知S(y,)?S(x0,r)，事实上，对?z?S(y,)，即?(y,z)?，则

222有

?(z,x0)??(z,y)??(y,x0)r?(x0,y)r1rr????(x0,y)???(x0,y)???r222222??且x0?S(y,)（或?(x0,y)???）。

22??又y?A?，故S(y,)?A??，设x?S(y,)?A，则x?(S(x0,r),x?x0.

22所以A?(S(x0,r)?{x0})??.因此x0?A?,即A???A?,则A?为闭。

下面证A为闭集。

?设x0?(A)?,则对???0,S(x0,)中含有A中不同于x0的点x1.由于

2?x1?A?A?A?.所以x1?A?或x1?A..若x1?A?,则S(x1,)中含有A的不同于x02的点x2.而

???(x0,x2)??(x0,x1)??(x1,x2)????.

22?所以x2?A,x2?S(x0,?)。若x1?A也有x1?S(x0,)?S(x0,?).总之S(x0,?)2中含有A的不同于x0的点。故x0?A??A,即(A)??A,所以A为闭集。

定理6给定(X,?),则(1)A?B，则A?B；

(2)若A、B?X，则A?B?A?B；

(3)?A??A。

二、离空间的稠密集

定义4给定(X,?)，A、B?X，若B?A，则称A在B中稠密。若A在X中稠密，即A?X，称A是X的稠密子集。

定义5给定(X,?)，若X中存在可数的稠密子集，则称X是可分的。例2．n维欧氏空间Rn是可分的。

证明：Qn为n个坐标全为有理数的点组成的集合，则Qn可数，现在证明

Qn=Rn。

???0，对于?y?(y1,y2,...,yn)?Rn，由于Q在R中稠密（Q?R），对yi?R???)，即|xi?yi|?及，?xi?Q，使xi?S(yi,，i?1,2,...,n.nnn令x?(x1,x2,...,xn)，则x?Qn，

∴?(x,y)??(xi?1ni?yi)?2?i?1n?2n??

任丽伟第3页泛函分析讲义--2

∴x?S(y,?)

∴Qn=Rn，即Qn在Rn中稠密，Rn是可分的。例2．C[a,b]是可分的。

证明：对于?x(t)?C[a,b]，???0，由维尔斯特拉斯一致迫近定理（设f(t)是

[a,b]上定义的连续函数，那么对???0，存在多项式p(t)，使|f(t)?p(t)|??在

，存在一个多项式p(t)，使得[a,b]上一致成立）

2另一方面，又有一个有理系数多项式p0(t)，使得

t?[a,b]t?[a,b]maxx(t)?p(t)??

maxp(t)?p0(t)??2

所以有

?(x,p0)??(x,p)??(p