等离子体物理基础期末考试（含答案）

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中文版低温等离子体作业

一.氩等离子体密度n?2?10cm,电子温度Te?1.0eV,离子温度Ti?0.026eV,存

在恒定均匀磁场B=800Gauss,求

（1）德拜半径；

（2）电子等离子体频率和离子等离子体频率；（3）电子旋绕频率和离子旋绕频率；（4）电子旋绕半径和离子旋绕半径。解：1、?D?(10?3?0TeTi(Te?Ti)ne1/2?3)?8.3?10mm，22、氩原子量为40，

ne21/2ne21/2?pe?()?8.0GHz,?pi?()?29MHz，

?0me?0mi3、?e?eBeB?14GHz,?i??0.19MHzmemi4、设粒子运动与磁场垂直

2meTe2mTmevemiviii?2rce???4.2?10mm,rci???1.3mm

qBeBqBeB二、一个长度为2L的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为B(z)?B0(1?z2/L2)，并满足空间缓变条件。

求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。（2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。

解：1、由B(z)分布，可以求出Bm?2B0，由磁矩守恒得

1212mv0?mvm?2?22，即v0??vm?（1）B0Bm2当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有vm??v0，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足v0??2v022?12、逃逸粒子百分比P?2?

??d??sin?d??1?002?29.3%（2）21

三、在高频电场E?E0cos?t中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率

ttt正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当????ea时，?ea?v/?ea电子遵守麦克斯韦尔分布。

解：课件6.6节。

电子分布函数满足

Ta?f01???f0eE0cos?t?2t2?(vf)?(??v(vf?))(1.1)1ea022??t3mev?v2v?vma?v??

??f1?eE0cos?t?f0???tf(1.2)ea1?me?v??t由于f0的弛豫时间远远大于f1的弛豫时间，因此近似认为f0不随时间改变，f1具有?的频率，即

??f0?0(2.1)???t

??f1(v,t)?f11(v)cos?t?f12(v)sin?t(2.2)(2.2)代入(1.2)中，得

(?f11??eaf12)cos?t?(?f11??eaf12)sin?t?对比cos?t和sin?t的系数，(3)解得

teE0?eadf0eE0?df0f11?（4）,f?12t2t2me(?2??ea)dvme(?2??ea)dvtteE0df0cos?t（3）

medv(4)代入(1.1)得

2t2e2E0vdf0d?ead?v2df0?((1?cos2?t)(2)?sin2?t(2))22t2t26mevdv???eadvdv???eadv?Ta?f01?t2(??v(vf?))（5）ea022v?vma?v对(5)求时间平均得

2t2e2E0vdf0Ta?f0d?ea1?t2?()?(??v(vf?))（6）ea0222t226mevdv???eadv2v?vma?vt2?ea引入有效电场E?E代入(6)得t22(?2??ea)2eff20232T?fdeEeffvdf0?1t2?(2t)?(??eav(vf0?a0))（7）

dv3me?eadv?v2ma?v2

对(7)两端积分，得

22e2Eeffdf0Ta?f0?vf??0（8）02t23me?ea?dvma?v所以电子分布函数为f0?Aexp(?mevdv)（9）222t2?T?eE0/3me?(???ea)0av其中A为归一化系数，电子动能为

?Ke?2?mef0(v)v4dv（10）

?0t当????ea时，

f0?Aexp(?mevdv)222t2?T?eE0/3me?(???ea)0amevdv)222T?eE/3m??0e0avv?Aexp(??2me3/2?mev2/2Tee2E0?(（11）)e,Te?Ta?22?Te3me??为麦克斯韦分布。

四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：

（1）径向双极性电场和双极扩散系数；

（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件；（3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。解：课件8.5节。

1、粒子定向速度u满足u???E??D?其中?c?eB/m，????n（1）n1T1e，。D??221?(?c/?m)m?m1?(?c/?m)m?m双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向

方向上有?i?nui???inE?i?D?i?n????enE?e?D?e?n?nue??e（2）解方程(2)得径向双极性电场

3E?代入(2)得到

D?i?D?e?n（3）

??i???en?????eD?i???iD?e?n（4）

??i???e因此径向双极扩散系数为D??eD?i???iD?e?a??。

?i???e2、电子和离子扩散系数分别为DTi1?i?m1?(eB/m2i?ii?i)?Te1m?/m?D?eee1?(eBe?e)2解方程(5)得e2B2?mi?ime?e(Temi?i?Time?e)m?iiTi?me?eTe注意到m2mi?ime?eTei??me，因此磁场满足B?e2T。

i3、双极性电场指向柱轴等价于

Timi?iTeme?eE?i?D?e?n??D??i???n?m2?e2B2?i?2im2e?2e?e2B2?neem?0i?ieme?enm2?2i?2i?e2B2me?2e?e2B2当考虑mi??me,Te??Ti,Tmii??Teme时，(7)简化为

m22i?2ime?eTe?eB2Tmii?i(8)成马上双极性电场指向柱轴的条件是B2?mi?ime?eTee2T。

i五、假使温度梯度效应不能忽略,推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。解：粒子运动方程qnE??p?mn?mu?0若等离子体温度有梯度，即?p?T?n?n?T，有

4

（5）

（6）

7）

8）（1）（（u?即

qT?nT?T（2）E??m?mm?mnm?mT??nu??nE?D?n?Dn?T/T（3）其中??qT。,D?m?mm?m双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，因此有

?i??inE?Di?n?Dni?T/T???enE?De?n?Den?T/T??e（4）由方程（4）解得双极性电场满足E?Di?De?nDi?De?T（5）??i??en?i??eT将（5）带入（4），得?i??e???eDi??iDe?D??iDe?n?ein?T/T（6）

?i??e?i??e?eDi??iDe。

?i??e因此双极性扩散系数为Da?六、推导出无碰撞鞘层Child定律和玻姆鞘层判据。解：课件9.1节。

在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K；等离子体-鞘层边界处坐标为0，电场电势为0，此处电子离子密度相等，离子速度为us。

根据粒子能量守恒得

11Mu2?Mus2?e?（1）22根据粒子通量守恒得

niu?nsus（2）解得，ni?ns(1?2e??1/2)。电子满足玻尔兹曼分布ne?nse?/Te，带入泊松方程得2Musd2?ens?/T1?1/2?(e?(1??/?)),eE?Mus2（3）ss2dx?02上式两端乘

d?d?|x?0?0，得并对x积分，注意有?|x?0?0,dxdx

ensd??/Td?dd?()dx?(e?(1??/?s)?1/2)dx?dxdxdx??0dx5

同理有Y(y)?cosZ(z)?cos?by,?y??b，(3.2)

?cz,?z??c（3.3）

注意到ne(0,0,0)?n0，由(3.1)(3.2)(3.3)得ne(x,y,z)?n0cos由(2.4)得电离平衡条件

?axcos?bycos?cz（4）

?i111（5）???a2b2c2?2Da8-1、Calculatetheelectricpotentialandfieldandtheiondensitydistributionsinchildlawsheath.

解：Child鞘层中，根据粒子能量守恒和电流守恒得

1Mu2??e?，J0?enu（1）2J02e??1/2(?)（2）eM由(1)解得粒子密度n满足n?代入泊松方程得

J02e??1/2d2???(?)（3）2dx?0M(3)式两端乘

d?d?|x?0?0，得并对x积分，注意有?|x?0?0,dxdx

J2e1d?2()?20()?1/2(??)1/2（4）2dx?0Md?|x?0?0得dx(4)两边开方再积分，注意边界条件?|x?0?0,(??)3/43J2e?(0)1/2()?1/4x（5）2?0M(5)中带入边界条件?(s)??V0，化简得无碰撞鞘层Child定律

42e1/2V03/2J0??0()（6）

9Ms2将(6)代入(5)，化简得鞘层电势分布???V0()对(7)求导得鞘层电场分布

xs4/3（7）

16E??d?4V0x1/3?()（8）dx3ss将(6)(7)代入(2)，得粒子密度分布n?4?0V0x?2/3()（9）29ess*8-2、Forahigh-pressure,high-voltage,collisionalsheath,theiondriftvelocitycanbewrittenasvi??iE,where?i?e/m?iistheconstantionmobility,with

?iaconstant