2020年内蒙古包头高考数学一模试卷文科

2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）只有一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的.只有TOC\o"1-5"\h\z（5分）设集合A={0,1,2},B={%11<%„2}，则AIB=（ ）A.{2}B.{1,2}C.{0}D.{0，1，2}2.(5分)已知i是虚数单位，若—=i,1-i则Iz1=( )A.我B.2C.百D.33.(5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若a=5,S=81,则a=( )nn4 910A.23B.25‘%.”C.28D.294.（5分）已知实数％,y满足<％+y-1„0，则z=%+2y的最大值为（ ）TOC\o"1-5"\h\z、丁…-1A.2 B.3 C.1 D.02（5分）已知角a的终边与单位圆％2+y2=1交于点P（3,y0），则cos2a等于（A.1 B.-- C.-- D.19 9 3 3（5分）下列说法正确的是（ ）A.“若a>1,则a2〉1”的否命题是“若a>1,则a2„1B.在AABC中，"A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件C.“若tana丰1,则aw王”是真命题4D.存在%0e（-8,0），使得2%0<3%0成立则异（5分）在直三棱柱ABC-A/1cl中，已知AB±BC,AB=BC=2,Cq=2近,面直线AR与A/1所成的角为（ ）则异A.30。 B.45。 C.60。 D.90。（5分）当a>0时，函数f（%）=（%2-a%）e%的图象大致是（ ）第1页（共20页）

分）小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-分）小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小9.(5张离开家去工作的时间在早上7.00-8:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸“，设送报人到达的时间为x，小张离开家的时间为yn（x,y）看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（ ）B.-5.（5分）已知直线l过抛物线C:y2=2px的焦点F,且直线l与C的对称轴垂直，与C交于A,B两点，IAB1=4,P为C的准线上的一点，则AABP的面积为（ ）A.1BA.1B.2C.4D.8uuur乙uuur乙BAC二120。，则IAD1=(.(5分)在AABC中，D为BC边上的中点，且IAB1=1,IACI=2.（5分）设y=f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递增，a=10go肚.3,b=10g20.3，则( )ff(a+b)>f(ab)>f(0)f(a+b)>f(0)>f(ab)f(f(ab)>f(a+b)>f(0)f(ab)>f(0)>f(a+b)过直线00过直线00的平面截该圆柱所得a3成等差数列，则二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..（5分）已知点（1,2）是双曲线x2-里=1（a>0）渐近线上的一点，则双曲线的离心率为a2 4.（5分）已知圆柱的上下底面的中心分别为01,02的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为.（5分）正项等比数列｛a｝满足a1+a3（aa）gaa）g.&aa）取得最小值时的n值为nn+1第2页（共20页）.（5分）已知函数f（x）=x-mIlnxI恰好有3个不同的零点，则实数m的取值范围为—.三、解答题：本大题共5小题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分..12分）在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2<3sin2-+sinA—v3=0.2（I）求角A的大小；（II）已知AABC外接圆半径R=<3,AC=33，求AABC的周长.（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.如表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温（单位：。C）与网上预约出租车订单数（单位：份）;日平均气温（°C）642-2-5网上预约订单数100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温x（。C）与该出租车公司网约订单数y（份）成线性相关关系，试建立y关于x的回归方程，并预测日平均气温为-7℃时该出租车公司的网约订单数；（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5℃,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：ii/Xb=f/XA- 7一,a=yii/Xb=f/XA- 7一,a=y一bx.E Xx^X2-nx2ii=1i=i=1（12分）如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A、B的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE//BC,DC±BC,DE=1BC=2,AC=CD=3.2（1）证明：EO//平面ACD；（2）求点E到平面ABD的距离.第3页（共20页）

ab 2 4(12分)已知函数f(x)=alnx+—的图象在x=1处的切线万程是y=(1--)x+——1.ex e e(1)求a,b的值；(2)若函数g(x)=xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值；(3)证明：f(x)>—.ex(12分)已知椭圆C:a2+—2=1(a>b>0)的右焦点为勺，过点勺且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为v2，且F与短轴两端点的连线相互垂直.1(1)求椭圆C的方程；(2)若圆0:x2+y2=a2上存在两点M,N，椭圆C上存在两个点P,Q满足：M,N,umruuurF三点共线，P,Q,F三点共线，且PQgMN=0，求四边形PMQN面积的取值范围.11(二)选考题：共10分.请考生在第22-23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题记分.［选修4-4：坐标系与参数方程］V2TV2T(t为参数).直(10分)在平面直角坐标系x0y中，以0为极点，V2TV2T(t为参数).直%=-2+已知曲线C:pC0S20=4asin6(a>0)，直线l的参数方程为<y=T+线l与曲线C交于M,N两点.(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1)，若IPMI,IMNI,IPNI成等比数列，求a的值.［选修4-5：不等式选讲］已知函数f(x)=Ix-a2I+1x-2a+3I,g(x)=x2+ax+3.第4页(共20页)(1)当a=1时，解关于％的不等式f(x)6；(2)若对任意qeR，都存在x2eR，使得不等式f(xj〉g(x2)成立，求实数a的取值范围.第5页(共20页)

2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(5分)设集合A={0,1,2},B={%11<%„2}，则AIB=(A.{2} B.{1,2} C.{0} D.{0,1,2}【解答】解：Q集合A={0,1,2},B={%11<%„2},AIB={2}.故选：A.(5分)已知i是虚数单位，若上3•，则Iz1=( )-iA.<2 B.2 C.v3 D.3【解答】解：因为i是虚数单位，且—=i,1—iS9=81,则Ua10=(A.23 B.25C.S9=81,则Ua10=(A.23 B.25C.28 D.29【解答】解：由S9=%爱=9a5=81Qa=5,:.d=a—a=9—5=4,・..a10=a4+(10—4)d=5+6x4=29,故选：C.%.”(5分)已知实数％,y满足卜+y—1„0，则z=%+2y的最大值为( )、y..-1A.2 B.（5分）设等差数列｛aj的前（5分）设等差数列｛aj的前n项和为Sn,若a4=5,2第6页（共20页）

%.”【解答】解：作出实数X,y满足约束条件卜+y-1„0对应的平面区域，y…一1平移直线y=--x+-z，由图象可知当直线y=--x+-z经过点A时，2 2 2 2直线y=-2x+2z的截距最大，此时z最大.由［X+y--=0，得A(1,-),Ix-y=0 2 2此时z的最大值为z=—+2x—=—,故选：B故选：B.（5分）已知角a的终边与单位圆X2+y2=1交于点P（3,y0），则cos2a等于（A.B.A.B.C.D.y。）,【解答】解：Q角a的终边与单位圆x2+y2=1交于y。）,可得：r=1,cosa=-,3-7/.cos2a=2cos2a-1=2x-1=—.（5分）下列说法正确的是（ ）A.“若a>1,则a2〉1”的否命题是“若a>1,则a2„1B.在AABC中，"A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件第7页（共20页）C.“若tanaw1,则aw王”是真命题4D.存在%0e(—8,0)，使得2%o<3%o成立【解答】解：“若a>1,则a2〉1”的否命题是“若a>1,则a2<1"，不满足否命题的形式，所以A不正确；在AABC中，"A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件，所以B不正确；若tanaw1，则awk兀+巴”所以C正确，是真命题;4任意％e(-8,0)，使得2%0>3%0成立，如图:所以D不正确；故选：C.(5分)在直三棱柱ABC—A/1cl中，已知AB±BC，AB=BC=2，CQ=2挺，则异面直线AC与AB所成的角为( )1 11A.30。 B.45。 C.60。 D.90。【解答】解：连接AC1，BCj可知ZBAC1为异面直线AR与AR所成的角.QAABQ为直角三角形，且AB±BC，AB=2，BC「J(2*5)2+22=2出，.•.tanZBAC1=<3，得ZBAC=60°.即异面直线AR与A/1所成的角为60°.故选：C.第8页(共20页)8.(5分)当a>0时，函数f(%)=(%2-ax)口的图象大致是( )【解答】解：由f(x)=0，解得％2-2ax=0，即％=0或%=2a,Qa>0，二函数f(x)有两个零点，二.A,C不正确.设a-1,贝Uf(x)=(x2-2x)ex,二.f'(x)=(x2-2)ex,由f(x)=(x2-2)ex>0，解得x>或x<-、.2.由f(x)=(x2-2)ex<0，解得，-、、2<x<22即x--五是函数的一个极大值点，・•.D不成立，排除D.故选：B.(5分)小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.00-8:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸“，设送报人到达的时间为x，小张离开家的时间为yn(x,y)看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于( )第9页(共20页)

【解答】解：设送报人到达的时间为X，小张离家去工作的时间为yn,以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，小张在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图:由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小张在离开家前能得到报纸，即事件A发生，1-所以P1-所以P(A)=—111X-Xr222_7A的报他送到时间（5分）已知直线l过抛物线C:山=2px的焦点F,且直线l与C的对称轴垂直，与C交于A,B两点，IAB1=4,P为C的准线上的一点，则AABP的面积为（ ）A.1B.2C.4D.8【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F宁,A.1B.2C.4D.8【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F宁,0）,准线方程为：x=-f，有题意可得直线l的方程为x=P，代入抛物线的方程可得:2因为弦长IAB1=4，所以2p=4，可得：p=2,所以抛物线的方程为：y2=4x,所以P(-1,b),S=11AB域1+1)=4,AABP 2uur11.（5分）在AABC中，D为BC边上的中点，且IAB1=1uurIAC1=2uuir/BAC=120°，则IAD1=(aTD.立unr1uuruur【解答】解：由题意可得，AD=2（AB+AC）,第10页（共20页）TOC\o"1-5"\h\zunr i uurunr uurumr1 1 3所以14。I2=(AB2+AC2+2ABgAC)=[1+4+2x1x2x(—)]=-,4 4 2 4uuir 芥则IADI=—.2故选：A.(5分)设y=f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+s)单调递增，a=10go肚.3,b=1og20.3，贝U( )A.f(a+b)>f(ab)>f(0) B.f(a+b)>f(0)>f(ab)C.f(ab)>f(a+b)>f(0) D.f(ab)>f(0)>f(a+b)【解答】解：根据题意，a=10go20.3>0,b=1og20.3<0,1+1=log0.2+log2=log0.4g(0,1),ab0.3 0.3 0.3即0<空b<1,abQa>0,b<0,」.ab<0,「.ab<a+b<0,Qy=f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+s)单调递增，根据偶函数的对称性，函数在(-8,0)上单调递减，：.f(ab)>f(a+b)>f(0).故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(5分)已知点(1,2)是双曲线x2-g=1(a>0)渐近线上的一点，则双曲线的离心率为a2 4而一【解答】解：双曲线上-"=1(a>0)渐近线：y=-x,a2 4 aQ点(1,2)是双曲线渐近线上一点，所以2=2,a「.a=1.c=x:a2+c2=<5,则双曲线的离心率为c=v5,a故答案为：<5.(5分)已知圆柱的上下底面的中心分别为q,O2，过直线qq的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为—54九_.第11页(共20页)【解答】解：圆柱的上下底面的中心分别为q,q,过直线qq的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，•••该圆柱的底面半径为3,高为6，•••该圆柱的体积丫=kx32x6=54兀.故答案为：54兀.TOC\o"1-5"\h\z15.(5分)正项等比数列｛a｝满足a+a=5，且2a,1a,a成等差数列，则n 1 3 4 2 24 3(aa)gaa)g..gaa)取得最小值时的n值为2.【解答】解：正项等比数列｛a｝的公比设为q,a+a=5,且2a,1a,a成等差数列，n 1 3 4 2 24可得aaaq2=—,a=2a+a，即q2=2+q，解得q=2,a=—,1 1 4 4 2 3 1 4c则a=—g2n-1=2n-3,aa=2n-3g2n-2=22n-5,n4 nn+1n(2n-8)贝U(aa)gaa)g.息aa)=2-3织-1…22n-5=2-3-2+...+2n-5=22 =2n2-4n=2(n-2)2-4,当n=2时，(aa)g(aa)g.&aa取得最小值，故答案为：2.(5分)已知函数f(x)=x-mIlnxI恰好有3个不同的零点，则实数m的取值范围为(e,+8)—.【解答】解：令f(x)=0，可得x=mIlnxI,显然x=1时方程不成立，故m=x,xG(0,1)D(1,+8),IlnxIx„一 ,0<x<1令g(x)=—=]lnx ，则条件等价于y=m与g(x)的图象有3个不同的交点，IlnxIx,1,x>1Ilnx当0<x<1时，g(x)=-—,g6)=-蛆二1>0,g(x)在(0,1)上单调递增，lnx ln2x当x>1时，g(x)=—,g，(x)=蛆_-=0,x=e,则g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+8)上lnx ln2x单调递增，作出函数f(x)的图象如图：第12页(共20页)

则需m>e,故m的取值范围是(e,+8).三、解答题：本大题共5小题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.(12分)在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2<3sin2A+sinA-<3=0.2(I)求角A的大小；(II)已知AABC外接圆半径R='<3,AC=<3，求AABC的周长.【解答】(本小题满分12分)解：(I)Q2丫3sin2A+sinA—J3=0,TOC\o"1-5"\h\z二2、汽*1-c0sA+sinA—<3=0, （1分）2」.tanA=、=3, （4分）又0<A」.tanA=、=3, （4分）又0<A<冗, （5分）/.A=— （6分）3a（II）Q--=2R, （7分）sinA:.a=2RsinA=2\3sin—=3, （8分）3QAC="3,:由a2=b2+c2-2bccosA, （9分）第13页(共20页)

/.c2-<3c-6=0, （10分）Qc>0，所以得：c=2<3 （11分）.•・周长a+b+c=3+3y3. （12分）（12分）每年的寒冷天气都会带热”御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.如表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温（单位：。C）与网上预约出租车订单数（单位：份）;日平均气温（°C）642-2-5网上预约订单数100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温%（。C）与该出租车公司网约订单数y（份）成线性相关关系，试建立y关于％的回归方程，并预测日平均气温为-7℃时该出租车公司的网约订单数；（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5℃,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附：回归直线y=b%+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：Z(%iZ(%ib=-=1—-%)(y-y) ^n^%y-n%gyZ(%-%)2

ii=1ii=-7=1 ,a=y一b%.Z%2-n%2ii=1【解答】解：（1）由表中数据可计算，_ 6+_ 6+4+2+(-2)+(-5)।%==1,

5100+135+150+185+210=156,Z%2iZ%2ii=1Z(%-%)(y-y)所以b=飞 i一Z(%-%)2iv乙％y-n%gyii=-r=t Z-4％2-n%2i20-5x1x15685-5x12Z%y=6x100+4x135+2x150+(-2)x185+(-5)x210=20,iii=1=62+42+22+(-2)2+(-5)2=85i=1ii=1/Xa=y-b%=156-(-9.5)x1=165.5,第14页（共20页）所以y关于x的回归方程为2-9.5%+165.5.当％=-7时，y=-9.5X(-7)+165.5=232,故预测日平均气温为-7℃时该出租车公司的网约订单数为232份.(2)因为5天有3天日平均气温不高于-5。。，所以这3天的网约订单数均不低于210份，设事件A为“恰有1天网约订单数不低于210份”，则P(A)=CC=-，C2 55故恰有1天网约订单数不低于210份的概率为3.5(12分)如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A、B的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE//BC，DC±BC，DE=1BC=2，AC=CD=3.2(1)证明：EO//平面ACD；(2)求点E到平面ABD的距离.A【解答】(1)证明：如图，取BC的中点M，连接OM、ME.在三角形ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，:.OM//AC，QOM,平面ACD，ACu平面ACD，/.OM//平面ACD；在直角梯形BCDE中，DE//BC，且DE=CM，.•・四边形MCDE是平行四边形，/.EM//CD，QEMU平面ACD，CDu平面ACD，/.EM//平面ACD，又EMIOM=M，且EM、OMu平面EOM，面EMO//面ACD，又QEOu面EMO，/.EO//面ACD；(2)解：由直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且交于BC，而AC±BC，「.AC±平面ABDE，可得AC是三棱锥A-BDE的高线，在ABDE中，S =1DExCD=1x2x3=3.ABDE2 2第15页(共20页)

因此J.=匕一bde'设点E到平面ABD的距离为h，则1S XAC=1S xh,3ABDE 3^ABD由AC二CD=3,BC=4，可得AB=5,AD=3、；2,BD=5,则S则SAABD"2x3Gx'；25-受)2=U•由1X3X3=1X亘Xh,得h二亘3 3 2 41故点E故点E到平面ABD的距离为色省.41b 2 4eeex(12分)已知函数f(x)=alnx+—的图象在x=1处的切线万程是y=(1--)x+—-1.eeex(1)求a,b的值；(2)若函数g(x)=xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值;(3)证明：f(x)>—.ex【解答】解：(1)f(x)=a--,xex2fa=1由题意可知：(Textranslationfailed)，解得《 ，Ib=2，a的值为1,b的值为2；(2)由(1)可知f(x)=Inx+—,ex/.g(x)=xlnx+—,xg(0,+8),e/.g'(x)=Inx+1,令g'(x)=0得，x=—,e・•・当xg(0,1)时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减；当xG(L+8)时，g'(x)>0，函数g(x)单ee调递增，第16页(共20页)・•・函数g(%)的极小值为g(1)=1,eeTOC\o"1-5"\h\z函数g(%)在d，+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；e e2(3)由(1)可知f(%)=ln%+ ,e%一，，1 2 1不等式f(%)> ，即为ln%+—>',e% e%e%即证不等式%ln%+—>%-，ee%%设①(%)=，%>0，e%即证g(%)>甲(%)，由(2)可知函数g(%)在(0,+8)上的最小值为1，e—%Q甲'(%)=-%，令^(%)=0得，%=1，e%二•函数^(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，二•函数3%)在(0,+8)上的最大值为①(1)=Le又Q函数g(%)的最小值与函数^(%)的最小值不能同时取到,/.g(%)>①(%)在(0,+8)上恒成立，即f(%)>-得证.e%(12分)已知椭圆C:%-+y=1(a>b>0)的右焦点为q,过点勺且与%轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。2，且F与短轴两端点的连线相互垂直.1(1)求椭圆C的方程；(2)若圆O:%2+y2=a2上存在两点M,N，椭圆C上存在两个点P,Q满足：M,N,umruuurF三点共线，P，Q，F1三点共线，且PQgMN=0，求四边形PMQN面积的取值范围.【解答】解：(1)设右焦点为F(c,0),令%=c,可得y=±b、；1-空=±b,可得当一力,1 aa2 a a由F与短轴两端点的连线相互垂直，可得b=c,1且a2-b2=c2,解得a=2,b=c=1,则椭圆方程为上+y2=1；2第17页(共20页)

umruuur(2)圆O的方程为％2+y2=2,PQgMN=0，即PQ1NM,当MN的斜率不存在时，PQ的斜率为0,此时IMNI=2,IPQI=2<2，四边形PMQN的面积为1x2x2<2=2<2；2当MN的斜率为0时，IMNI=2V2,IPQI=22,四边形PMQN的面积为|x22x2v2=2；当MN的斜率存在且不为0时，MN的方程设为y=k（%-1）,k丰0,由O到直线MN的距离为d=।kI,IMNI=2\；2-d2= 生,4+k2 、'1+k2PQ1MN,可设PQ:y=-1(%-1),联立椭圆方程％2+2y2=2,可得k(2+k2(2+k2)%2-4%+2-2k2=0,(△