动力学优秀公开课

2.3体系运动方程的一般形式

在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到n个自由度体系的情况。在记[M]—质量阵、[C]—阻尼阵、[K]—刚度阵、[P]eq—等效荷载阵；[d]、[v]、[a]—为位移、速度、加速度阵；[f]—柔度阵；[]P—荷载位移阵情况下刚度法列式结果

[M][a]+[C][v]+[K][d]=[P]eq柔度法列式结果[d]=[f](-[M][a]-[C][v])+[]P由此可见，两种列式间的关系为[K]=[f]-1；[P]eq=[K][]P在集中质量时[M]为对角阵，由互等定理可知[K]和[f]为对称矩阵。2.4应注意的几个问题1）在单自由度情况下，刚度（反力）系数和柔度系数互为倒数。2）在两和多自由度情况下，刚度（反力）矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵，但其元素之间不存在倒数关系。3）[P]eq并不一定等于外荷载排成的列阵。在动外荷下它由各自由度均被约束时，动荷引起的约束反力所组成。或者由[P]eq=[K][]P=[f]-1[]P来计算。4）具体结构究竟用什麽方法列运动方程，要对比求什麽系数工作量少来定。一般静定结构用柔度法、由无穷刚梁的剪切型结构用刚度法。5）虽然从原理上[C]=[Cij]，但实际两和多自由度分析时阻尼矩阵并非由阻尼系数组成，这将在第四章多自由度分析中再讨论。2.5刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法（无阻尼）1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立（集中）质量矩阵[M]。2）加约束限制全部质点自由度方向的位移，求动力外荷载引起的支座约束反力。按自由度顺序排列这些反力，得到等效荷载矩阵[P]eq。3）对全部质点自由度方向的位移被约束的结构，令j自由度发生单位位移，求第i个约束的反力，它就是刚度系数Kij。由此建立刚度矩阵[K]。4）由上述结果即可建立运动方程

[M][a]+[K][d]=[P]eq2.6运动方程建立总结根据达朗泊尔原理和所假定的阻尼理论，确定自由度後可确定惯性力和阻尼力。由具体结构情况，视那类系数求取方便，确定列方程的方法。所有问题都可用两种方法建立方程，两种方程间可以相互转换。外界“荷载”是支座（例如地震时的地面运动）运动时，支座为牵连运动，惯性力对应绝对加速度，弹性恢复力对应相对位移。经推导得[P]eq=-[M][1]ag。其中[1]为元素均为1的向量。请自行验证。三、单自由度体系振动分析3.1单自由度体系自由振动3.2单自由度体系受迫振动3.3非线性反应分析3.4几点结论和讨论3.1单自由度体系自由振动本章部分内容在理论力学振动这一章学过，但除回顾外，也有所扩展。它是后面分析的基础，请下功夫学好！3.1.1自由振动方程的通解上一章已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方程，单自由度体系最终运动方程均可写为自由振动分析时，P(t)=0。上式可改为3.1单自由度体系自由振动式中由此可得3)<1，特征方程有一对共轭复根，称作小阻尼情况。此时积分常数C1、C2由初始位移、速度确定，可得有阻尼频率3.1单自由度体系自由振动可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随、增大而加快。如果记振幅为A，初相位为，也即则运动方程解答也可写为3.1.2无阻尼自由振动它可作为特例，令上述结果中等于零得到。它是由初位移、初速度引起的简谐运动，运动全过程能量守恒。3.1单自由度体系自由振动3.1.3结构阻尼比的一种确定方法设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记录如教材的图2-9。由此可量测得t时刻和n周后的振幅（一般测峰值位移，记T为有阻尼周期）分别为ut和ut+nT。记ut/ut+nT的自然对数为n（1称为对数衰减率），由阻尼振动解答可得由于<<1，由此可得一般钢混结构0.05，钢结构(0.02~0.03)。3.2单自由度体系受迫振动3.2.1单自由度受迫振动的通解有任意荷载作用的单自由度运动方程为可见关键在如何求得特解。对线性体系可通过叠加原理来获得。设t=之前体系静止，在t=到+时间间隔内受到冲量I=P(t)的作用，根据冲量定理有由微分方程理论可知，u=u1+u2。u1为齐次方程（自由振动）通解，u2为非齐次方程的一个特解。这说明冲量作用结果体系所产生的位移u是2量级的量。因此t>之后为仅有初速度I/m的自由振动。3.2单自由度体系受迫振动根据上一节可得仅初位移引起的解答u2为记u2/I=h(t-)，称作单位脉冲函数（单位冲量引起的位移）。则上式可改写作再将任意荷载看成一系列独立的冲量（脉冲），则由叠加原理可得3.2单自由度体系受迫振动或者上式是运动方程特解（可代入运动微分方程证明），也可看成零初始条件的解答（因为u2(0)=0）。将其和齐次方程解合在一起，即可得通解为上式也可由代入单位脉冲函数来改写，这里从略。称作Duhamel积分3.2单自由度体系受迫振动3.2单自由度体系受迫振动这解答中的第一项为初始条件引起的自由振动，第二项为荷载（干扰）引起的自由振动（称作伴随振动）。它们的频率都是d，都按指数规律衰减。因此一段时间后，都将逐渐消失。自由振动消失前的运动称瞬态阶段。第三项是以干扰频率进行的等幅振动，称“纯受迫振动（或稳态阶段）”，工程中只关心它记3.2单自由度体系受迫振动则纯受迫振动的解可写为ust为荷载幅值作用下的静位移，称位移放大系数（也称动力系数）。无阻尼情况可令=0得到（当然也可类似地直接推得）。动力系数取决于、/（频率比），各种下-曲线如P.23的图示意。可见对影响十分显著，增大将使减小，也即使反应减小。在1时1/2，当无阻尼共振时趋于无穷，可见阻尼对共振影响显著，必须考虑。3.2单自由度体系受迫振动其u-dt曲线如(龙P.21)图，可见开始时接近2，也即突加荷载所产生的最大位移接近静位移的2倍。无阻尼情况等于2。3)周期荷载P(t)（设周期为TP）下的稳态反应周期荷载的Fourier展开为3.2单自由度体系受迫振动这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。在a0作用下产生ust=a0/k的静位移。在aicosit和bisinit简谐荷载下（稳态解）3.2单自由度体系受迫振动由此两部分综合即可得周期荷载下的稳态解答。无阻尼情况可令=0得到（当然也可类似地直接推得）。教材上还介绍了矩形脉冲、三角形脉冲等荷载下的反应，这里只说明以下几点：1)这种荷载都是短时作用荷载。2)用Duhamel积分求t时刻反应时，应该区分t在无荷载阶段荷还是有荷载阶段。3)动力系数和“持续作用时间t1和体系周期的比值有关”。其结果可看教材上的表。4)其他解析荷载，均可由Duhamel积分获得位移反应。当荷载规律用一系列离散数据表示时，可经编程用数值积分来求Duhamel积分。有关内容可参考RayW.Clough等的教材。3.2单自由度体系受迫振动在荷载幅值作用下的弯矩图如图所示，杆端弯矩Mst值为0.25Fh，由于静位移被放大倍，由此得因此，最大动弯矩为0.389Fh。

作业题：如果本例中荷载作用在左柱h/2处，试求：1）最大静位移等于多少？2）最大动位移等于多少？3）最大静弯矩等于多少？4）最大动弯矩等于多少？由此能总结什麽结论？hmF(t)EI=常数；=0.053.3非线性反应分析当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时，运动方程是非线性的，这时Duhamel积分不再适用。但不管线性还是非线性，“动平衡”方程都是úfd(t)ú(t)úfdúú(t+t)3.3.1非线性问题的增量方程设阻尼力、弹性恢复力和荷载曲线如图所示。fs(t)uu(t)u(t+t)ufsP(t)ttt+ttP3.3非线性反应分析将上述ü、ú代回增量方程整理后可得等效刚度等效荷载3.3非线性反应分析如果已知t时刻c(t)、k(t)、状态向量，则可求得等效刚度、等效荷载，从而求得位移增量。将位移增量代回速度(、加速度)增量的公式，由位移增量和t时刻状态向量可求得速度(、加速度)增量。将t时刻状态向量和位移、速度增量相加，即可求得t+t时刻位移、速度。(也可求加速度)由t+t时刻位移、速度求fd(t+t)和fs(t+t)。最后，由t+t时刻的“动平衡”方程求t+t时刻加速度，即可得到t+t时刻状态向量。重复这一过程即可求得非线性问题的数值解答。

上述即为逐步积分的步骤。计算和理论分析表明，为使计算有足够的精度，积分步长应小于系统周期的十分之一。3.3非线性反应分析根据上述逐步积分步骤，编制计算程序即可用于计算非线性结构的动力反应。由于它是求每一时刻的反应，因此通常称作时程分析。弹塑性分析演示程序查看计算结果3.4几点结论与讨论单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由实验测得，一般结构阻尼比为0.05。由于阻尼的存在，自由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）是减少振动的有效措施。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。对于线性体系，利用叠加原理可用Duh