第五章 连续系统s域分析

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第五章连续系统s域分析1、求信号(1?e?2t)?(t)的拉式变换。

t1解：由于?tf(t)?dF(s)ds

1s?1s?2而?tf(t)??(1?e?2t)?(t)??所以

dF(s)ds?1s?2?1sRe[s]?0

2s)?c,Re[s]?0

F(s)?ln(s?2)?ln(s)?c?ln(1?2、求信号

2sintt122?(t)的拉式变换。

解：sint?F[sin2[1?cos(2t)],t?012s?t?(t)]?f(t)t]??12s2s?4?11s(?2)2ss?4由于F[所以

F[???sF(s)ds（s域积分性质）

sintt[lns2?(t)]??s?4s21?2?s(1s?ss?4s]?142)ds?2122[??1ss???2ss?4sds]121412)ln(s?4)2?lns?4s

ln(1?3、求拉式变换F(s)?s?1s?5s?62Re[s]??2的逆变换f(t)。

解：此为因果信号，且F(s)?s?1s?5s?62?s?1(s?2)(s?3)?3t?2s?3?1s?2?eRe[s]??2

求逆变换得f(t)?2e?(t)?es?1?2t?(t)?(2e?3t?2t)?(t)

4、求拉式变换F(s)?s?5s?62Re[s]??3的逆变换f(t)。

解：：此为因果信号，且F(s)?s?1s?5s?62?s?1(s?2)(s?3)?3t?2s?3?1s?2Re[s]??3

求逆变换得f(t)??2e?(?t)?e?2t?(t)

5、求拉式变换F(s)?s?s?1s(s?1)220?Re[s]?1的逆变换f(t)。

解：此为双边信号，且F(s)?s?s?1s(s?1)22?1s?1?1s20?Re[s]?1

求逆变换得f(t)??et?(t)?t?(t)

6、求函数f(t)?1?e?t的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。解：F[1?e?t]?F[1]?F[e?t]?1s?1s?1,Re[s]?0

7、求函数f(t)?3sint?2cost的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。

F[3sint?2cost]?F[3sint]?F[2cost]?3s?12解：

?2ss?12?2s?3s?12,Re[s]?0

8、求函数f(t)?et?e?t的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。解：F[e?e]?F[e]?F[e]?t?tt?t1s?1?1s?1?2ss?12,Re[s]?1

9、求函数f(t)?te?2t的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。解：F[t]?1s2，则根据复频移特性，有F[e?2tt]?1(s?2)2,Re[s]??2

10、利用常用函数[例如?(t),e?t???(t),sin(?t)?(t),cos(?t)?(t)等]的象函数及拉普拉斯变

?(t?2)换的性质，求函数f(t)?e?(t)?e解：由e?(t)??t?(t?2)的拉普拉斯变换F(s)。

?t?(t?2)1s?1及时移特性，有e?(t)?e???(t?2)?1s?1(1?e?2s)

11、利用常用函数[例如?(t),e2?(t),sin(?t)?(t),cos(?t)?(t)等]的象函数及拉普拉斯变

换的性质，求函数f(t)?tcost?(t)的拉普拉斯变换F(s)。

ss?12解：由于cost?(t)?2。由复频域微分特性，得(?t)cost?(t)?2dds22[ss?12]

即tcost?(t)?22s?6s(s?1)23

1s?s?12?t12、如已知因果函数f(t)的象函数F(s)?，求函数y(t)?etf()的象函数2Y(s)

解：已知因果函数f(t)?F(s)?t1s?s?122

2由尺度变换特性，有f()?2F(2s)?24s?2s?1

再应用复频移特性，得y(t)?e?tt22f()???Y(s)2224(s?1)?2(s?1)?14s?6s?31a?bas13、设f(t)?(t)?F(s),且有实常数a?0,b?0，试证f(at?b)?(at?b)?esF()a证明：由于f(t)?(t)?F(s)，则当b?0时，由时移特性可知f(t?b)?(t?b)?e?bsF(s)

1a?bas再根据尺度变换特性(a?0)，得f(at?b)?(at?b)?2s?3(s?1)2esF()a14、求象函数F(s)?原函数的初值f(0?)和终值f(?)。

解：因象函数F(s)为真分式，故其原函数f(t)中不含?(t)及其各阶导数，由初值定理，可

2s?3(s?1)2得f(0?)?limsF(s)?limss??s???lim2?3s?12s??(1?s)?1?2

由于F(s)的极点s??1位于左平面，故终值存在。由终值定理，得

2s?3(s?1)1(s?2)(s?4)112f(?)?limsF(s)?limss?0s?0?0

15、求象函数F(s)?的拉普拉斯逆变换f(t)。

解：F(s)?1(s?2)(s?4)12(e?2s?2?e?4t(?1s?4)

取逆变换，得f(t)??2t)?(t)

16、求象函数F(s)?2s?4s(s?4)2的拉普拉斯逆变换f(t)。

解：对象函数进行部分分式展开，有F(s)?2s?4s(s?4)2?k1s?k2s?j2?k2s?j2

上式中，k1?2s?4s?4s?01s22e2?1,k2?j2s?4s(s?j2)s?j2ej?j4?4j2?j4ej??22jej?4

?4?4?4?4所以有F(s)???s?j2?22?s?j2)]?(t)

?1s?22(s?j2?es?j2)

求逆变换得f(t)?[1?2cos(2t??417、求象函数F(s)?s?4(s?4)d222的拉普拉斯逆变换f(t)。

解：F(s)?s?4(s?4)222??ss2dss?4

由于cos(2t)?(t)?tcos(2t)?(t)??ds?4s22，则根据复频域微分特性，有

?F(s)dss?4

即F(s)的拉普拉斯逆变换为f(t)?tcos(2t)?(t)

1?e?Ts18、求象函数F(s)?s?11的拉普拉斯逆变换f(t)，并粗略画出其波形图。

解：由于e?(t)??ts?1，则根据时移特性，有e?(t?T)?(t?T)?e?Tss?1

故F(s)??t1?e?Tss?1?1s?1?1s?1e?Ts的拉普拉斯逆变换为

f(t)?e?(t)?e?(t?T)?(t?T)

其波形如下图所示

19、象函数F(s)?11?e?s的原函数f(t)是t?0接入的有始周期信号，求周期T并写出第

一个周期(0?t?T)的时间函数表达式f0(t)。

11?e?s解：F(s)??1?e1?e?s?2s

根据周期信号象函数的形式，可得信号的周期为T=2，并且F0(s)?1?e?s求逆变换可得f0(t)?F?1[F0(s)]??(t)??(t?1)

20、已知f(t)??(t),y(0?)?1,y'(0?)?2。用拉普拉斯变换法解微分方程

y''(t)?5y'(t)?6y(t)?3f(t)的零输入响应和零状态响应。

解：对微分方程离岸边去拉普拉斯变换，则根据微分特性，可得

sY(s)?sy(0?)?y'(0?)?5sY(s)?5y(0?)?6Y(s)?3F(s)

2解得Y(s)?sy(0?)?y'(0?)?5y(0?)s?5s?6s?5s?622?3F(s)s?5s?6,Yzs(s)?2?Yzi(s)?Yzs(s)3F(s)s?5s?62上式中Yzi(s)?sy(0?)?y'(0?)?5y(0?)1s

当f(t)??(t)时，F(s)?F[f(t)]?s?7s?5s?6122，又有y(0?)?1,y'(0?)?2则有

Yzi(s)?Yzs(s)???35s?2??4s?3s?5s?6s11311????2s2s?2s?3

对以上两式分别求逆变换，则可得零输入、零状态响应分别为yzi(t)?(5eyzs(t)?(12?2t?4ee?2t?3t)?(t)?3t?32?e?t)?(t)

21、已知f(t)?e?(t),y(0?)?0,y'(0?)?1。用拉普拉斯变换法解微分方程

y''(t)?5y'(t)?6y(t