精选江西省吉安市遂川县于田三中2023年中考数学模拟试卷(四)(解析版)

江西省吉安市遂川县于田三中2023年中考数学模拟试卷(四)(解析版)第米．【点评】此题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．18．某小区为了绿化环境，方案分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元〔两次购进的A、B两种花草价格均分别相同〕．〔1〕A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？〔2〕假设购置A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你设计一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】〔1〕设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元；列出方程组，即可解答．〔2〕设A种花草的数量为m棵，那么B种花草的数量为〔31﹣m〕棵，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：〔1〕设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．〔2〕设A种花草的数量为m棵，那么B种花草的数量为〔31﹣m〕棵，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴31﹣m＜2m，解得：m＞，∵m是正整数，∴m最小值=11，设购置树苗总费用为W=20m+5〔31﹣m〕=15m+155，∵k＞0，∴W随x的减小而减小，当m=11时，W最小值=15×11+155=320〔元〕．答：购进A种花草的数量为11棵、B种20棵，费用最省；最省费用是320元．【点评】此题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．〔1〕求证：△ABF≌△CDE；〔2〕当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】〔1〕由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF≌△CDE即可；〔2〕先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】〔1〕证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE〔AAS〕；〔2〕解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如以以下图：由〔1〕得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考查了平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．“低碳环保，你我同行〞．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．〔1〕求AD的长；〔2〕求点E到AB的距离．〔参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73〕【考点】解直角三角形的应用．【分析】〔1〕根据勾股定理求出AD的长；〔2〕作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：〔1〕在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===15〔cm；〔2〕AE=AD+CD+EC=15+30+15=60〔cm〕，如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH=，那么EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2〔cm〕．答：点E到AB的距离为58.2cm．【点评】此题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．〔1〕求证：AF是⊙O的切线；〔2〕⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】〔1〕连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；〔2〕先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．【解答】〔1〕证明：连接OC，如以以下图：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF〔SAS〕，∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；〔2〕∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．22．如图，点A〔1，6〕和点M〔m，n〕都在反比例函数y=〔x＞0〕的图象上，〔1〕k的值为6；〔2〕当m=3，求直线AM的解析式；〔3〕当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】〔1〕将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；〔2〕由k的值确定出反比例解析式，将x=3代入反比例解析式求出y的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=ax+b，将A与M坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线AM解析式；〔3〕由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，A与B纵坐标相同，表示出B与P坐标，分别求出直线AM与直线BP斜率，由两直线斜率相等，得到两直线平行．【解答】解：〔1〕将A〔1，6〕代入反比例解析式得：k=6；故答案为：6；〔2〕将x=3代入反比例解析式y=得：y=2，即M〔3，2〕，设直线AM解析式为y=ax+b，把A与M代入得：，解得：a=﹣2，b=8，∴直线AM解析式为y=﹣2x+8；〔3〕直线BP与直线AM的位置关系为平行，理由为：当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，∵A〔1，6〕，M〔m，n〕，且mn=6，即n=，∴B〔0，6〕，P〔m，0〕，∴k直线AM====﹣=﹣，k直线BP==﹣，即k直线AM=k直线BP，那么BP∥AM．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及两直线平行与斜率之间的关系，熟练掌握待定系数法是解此题第二问的关键．23．E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究以下问题：〔1〕如图1，假设点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？〔请直接答复“成立〞或“不成立〞〕，不需要证明〕〔2〕如图2，假设点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？假设成立，请写出证明过程，假设不成立，请说明理由；〔3〕如图3，在〔2〕的根底上，连接AE和EF，假设点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形〞中的哪一种，并证明你的结论．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】〔1〕由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE〔SAS〕，即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；〔2〕由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE〔SAS〕，即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；〔3〕首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．【解答】解：〔1〕上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE〔SAS〕，∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；〔2〕上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE〔SAS〕，∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；〔3〕四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为A