17-勾股定理-第1-3课时-学案-数学八年级下册人教版

17.1勾股定理（1）学习目标1.了解勾股定理的文化历史背景，体验勾股定理的探索过程．2.会直接运用勾股定理进行简单的计算．重点：勾股定理的内容和证明．难点：探索和验证勾股定理的过程．预习导入1.如图1所示是格点图，每个小正方形的边长都为1，三个正方形P，Q，R的顶点都在格点上． （1）仔细观察图1中三个正方形，可以直接数出S正方形P=_________=AC2，S正方形Q=_________=BC2，S正方形R=_________=AB2，这三个面积之间的关系是S正方形R=________+________． （2）图1中的△ABC是____________三角形，直角边是AC和______，它的斜边是_______，由（1）知，AC2+BC2=（________）2．图1 2.根据1的结果猜想:在Rt△ABC中，∠C=90°，则直角边BC，AC和斜边AB满足关系式___________________．图2典例精讲图2典例1如图2，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽炫图”：四个全等的直角三角形围成一个大正方形．记其中一个直角三角形为Rt△ABC，其直角边长为a和b，斜边长为c，如图2所示．根据图2，回答下列问题：（1）以AB为边的正方形的面积为__________；（2）Rt△ABC的面积为____________；（3）内部小正方形的面积为_________；（4）请根据“四个直角三角形的面积的和+小正方形的面积=以AB为边的大正方形的面积”推导出a，b，c之间的关系．【变式延伸】1.如图3，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则Rt△ABC的面积是___________． 图3 图42.如图4，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为（）．A．75 B．45 C．35 D．5典例2在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则（1）如果a=6，b=8，那么c=_________；（2）如果b=4，c=5，那么a=_________．【变式延伸】1.直角三角形的两直角边长分别为4，5，则第三边长为（）．A．3 B． C．8 D．无法确定2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，则c=________．阶梯训练A组1.在Rt△ABC中，∠A=90°，则下列各式不成立的是（）．A．BC2=AB2+AC2B．AB2=AC2=BC2C．AB2=BC2-AC2D．AC2=BC2-AB22.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）．A.斜边长为25 B.三角形周长为25C.斜边长为5 D.三角形面积为123.在Rt△ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）．A．2 B．4 C．6 D．84.如图8，在下列横线上填上合适的值：图8m=______；n=________．5.如图9，三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为__________．图96.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c．若a∶b=3∶4，c=15，求a，b的长．7.如图10，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，CD⊥AB于点D，求（1）△ABC的面积；（2）CD的长。图10 B组8.如图11，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____________．图11 9.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学上率创奇迹，下面介绍辛普松证法。作边长是a+b的正方形ABCD，把正方形ABCD划分成如图12①的几个部分，则正方形ABCD的面积可表示为__________________________；把正方形ABCD划分成如图12②的几个部分，则正方形的面积可表示为_________________________。 ∵正方形ABCD的面积相等， ∴__________________=_____________________，即a2+b2=c2。① ②图12【参考答案】17.1勾股定理（1）预习导入1.（1）1,1,2，S正方形P+S正方形Q；（2）直角，BC，AB，AB。2.AC2+BC2=AB2.典例精讲【例1】（1）c2；（2）；（3）（b-a）2；（4）c2=a2+b2。1.9. 2.A.【例2】（1）10；（2）3。1.B. 2.。阶梯训练1.B.2.C.3.A.4.10;。5.169.6.a=9,b=12.7.（1）6；（2）。8.。9.a2+b2+2ab,2ab+c2;a2+b2+2ab,2ab+c2.17.1勾股定理（2）学习目标1.用勾股定理解决简单的实际问题．2.能根据实际情景建立数学模型，树立数形结合的思想．重点：勾股定理的实际应用．难点：灵活应用勾股定理解决实际问题．预习导入1.根据图1，写出勾股定理的表达式_____________________________．图1 图22.求出图2中各直角三角形中未知的边．典例精讲典例1如图3，长13m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5m，则梯子的顶端离地面的距离AB=__________m．图3【变式延伸】1.如图4，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B外移________m．图47.如图5，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是________m．图5典例2一个门框的尺寸如图6所示，一块长4m，宽3m的薄木板能否从门框内通过？请说明理由．图6 【变式延伸】1.小东拿着一根长竹竿进一个宽3米、高4米的长方形城门（假设把城门、竹竿置于同一个平面内），他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0.5米，那么小东能把竹竿拿进城门吗？为什么？2.有一根长70cm长的木棒要放在长、宽、高分别是50cm，40cm，30cm的木箱中，能放进去吗？请说明理由．阶梯训练A组1.小明在平地上以1.5米/秒的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒，这时他离开出发点（）．A.180米 B.150米 C.120米 D.100米2.如图7，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树头距离为4米，这棵大树原来的高度为（）．图7A.7米 B.9米 C.25米 D.8米3.钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．如图8，图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，图中网格单位长度为38千米，那么A，B相距（）．图8A．190千米 B．266千米 C．101千米 D．950千米4．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m高的墙头吗？________（填“能”或者“不能”）.5.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图9所示．可以算出旗杆高度是________米．图96.如图10，图中小方格边长代表1cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了C点，则蚂蚁一共爬行了________cm．图107.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达处200m，结果他在水中实际游了520m，你能根据上述情况求出河的宽度吗？说说你的理由.B组8.如图11，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道走的最近距离是________m．图1110.如图12，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多长的路？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.41）图12 【参考答案】17.1勾股定理（2）预习导入1.a2+b2=c2.①AC=8;②AC=1，BC=;③AB=。典例精讲【例1】12. 1.1. 2.。【例2】连接AC，则AC与AB，BC构成直角三角形。根据勾股定理得AC=。故薄木板不能从门框内通过．1.能，理由略。 2.能，理由略。阶梯训练1.B.2.D.3.A.4.不能。5.12.6.。7.河宽480m，理由略。8.9.340.10.3.4km。17.1勾股定理（3）学习目标1.会利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理——HL，能在数轴上表示出无理数；2.能运用勾股定理作出长度是无理数的线段，能在数轴上画出表示无理数的点．3.进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系．重点：HL定理的证明和在数轴上画出表示无理数的点．难点：探索在数轴上表示无理数的方法过程．预习导入1.如图1，在Rt△ABC和Rt△EDF中，BC=DF=2cm，AC=EF=7cm，则AB=_______cm，ED=________cm．由此可以得出结论：△__________≌△_________，判定的依据是________．图12.2=1+1，即，若以_______和________为直角三角形的两直角边长，则斜边长为；13=9+4，即，若以_______和________为直角三角形的两直角边长，则斜边长为；同理，以_______________（填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为．典例精讲典例1如图2，∠A=∠B=90°，点E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．图2 【变式延伸】1.如图3，AD∥BC，∠A=90°，点E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．证明：△DEC是等腰直角三角形．图3 2.如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证：DE=AD+BE．图4 典例2我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形解答下列问题：（1）A点表示的数是多少？（2）请类比上面的作法在数轴上画出表示的点B（请保留作图痕迹）． 图5 【变式延伸】1.在数轴上作出表示的对应点（提示：）．1.在数轴上作出表示的对应点（提示：，或者先作出的线段）．阶梯训练A组1．如图6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2,3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）．图6A．-4和-3之间 B．3和4之间 C．-5和-4之间 D．4和5之间2.等边三角形ABC中，AB=1，则AB所对应的高CD的值是（）．A． B． C．1 D．3.下列能使两个直角三角形全等的条件是（）．A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等4.如图7，数轴上点A表示的数是__________________．图75.如图8，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为_____________cm．图86.如图9，在数轴上画出表示及的点．图97.如图10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．图10 B组8．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（）．A．eq\r(,7) B．eq\r(,7)或eq\r(,41) C．4eq\r(,2) D．或eq\r(,7)9.如图11，在锐角ABC中，AB=15，AC=13，B