北航机械考研971972动力学课后答案概10

本文格式为Word版，下载可任意编辑——北航机械考研971972动力学课后答案概10质点动力学

质点动力学研究的是作用于质点上的力与其运动之间的一般规律。牛顿三定律是质点动力学的基础，也是质点系动力学和刚体动力学的理论基础。

一、质点运动微分方程

牛顿其次定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即：（6－1）

其中：m,a,F分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程

?m????Fxx??

???Fyy?m??

???Fzz??m?

ma??F

（6－2）

假使已知质点的运动轨迹，则利用牛顿其次定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程

???Ft?mat?m?s??2s??man?m??Fn???ma?0??Fb?b

（6－3）

对于自由质点，应用质点运动微分方程寻常可研究动力学的两类问题。

第一类问题：已知质点的运动规律，求作用在质点上的力；其次类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。对于非自由质点，有些问题属于上述两类问题之一。当质点的运动规律未知，作用在质点上的约束力也未知时，这种状况就不属于上述两类问题。在研究这类问题时，首先建立质点运动微分方程；然后消去方程中的未知约束力，得到主动力与质点位置、速度和加速度的关系式，寻常这个关系式以常微分方程（组）的形式给出，再通过求解微分方程（组）得到质点的运动规律；最终在利用质点运动微分方程求出未知的约束力。

二、质点相对运动微分方程

当研究质点在非惯性参考系下的运动与其受力之间的关系时，可选取一个惯性参考系为定系，非惯性参考系为动系，应用点的复合运动加速度合成定理和牛顿其次定律，就可得到质点在非惯性参考系下的运动微分方程（简称质点相对运动微分方程），即：（6－4）

mar??F?Fe?FC

其中：Fe??mae称为牵连惯性力、FC??maC称为科氏惯性力，m为质点的质量，ar为质点在非惯性参考系中的加速度、ae和aC分别为质点的牵连加速度和科氏加速度。

在某些特别状况下的质点相对运动微分方程有如下形式1、当动系作平移时，??0,aC?0,FC?0，质点相对运动微分方程为（6－5）

mar??F?Fe

2、当质点相对动参考系静止时，ar?0,vr?0，FC?0，质点相对运动微分方程为（6－6）

?F?F?0e

3、当质点相对动参考系作匀速直线运动时，ar?0，质点相对运动微分方程为

（6－7）

4、当动参考系相对惯性参考系作匀速直线平移时，牵连惯性力和科氏惯性力均为零，质点相对运动微分方程为（6－8）

在研究质点动力学问题时，首先进行受力分析和运动分析，然后建立矢量形式的质点运动微分方程，然后将矢量形式的运动微分方程在坐标轴上投影，当运动轨迹已知时，选取自然坐标轴。

?F?F?FeC?0

mar??F

2-1解：当摩擦系数f足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力F?fFN

取整体为研究对象，受力如图，

系统的动量：p?m2vr

将其在x轴上投影可得：px?m2vr?m2bt

根据动量定理有：

vrv

m2g

F

FN

m1g

x

dpx?m2b?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b即：当摩擦系数f?时，平台AB的加速度为零。

(m1?m2)g

当摩擦系数f?

m2b时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：

(m1?m2)g

将上式在x轴投影有：

根据动量定理有：

p?m2(v?vr)?m1v

px?m2(?v?vr)?m1(?v)?m2bt?(m1?m2)v

dpx?m2b?(m1?m2)a?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b由此解得平台的加速度为：a??fg（方向向左）

m1?m2

2-2取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如下图,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

xFNp?mv?m1v1?mv?m1(v?vr)

v

将上式在x轴投影：

F

vrmg??m1(x??l?cos?)px?mx根据动量定理有：m1g

dpx2dt

??m1l?sin???F??kx?(m?m1)?x

系统的运动微分方程为：

2－4取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为m??vt，提起部分

的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为vr，方向向下，大小为v（如图a所示）。

F(t)

y

mg

vr(a)(b)FN

根据变质量质点动力学方程有：

??kx?m1l?2sin?t(m?m1)?xvm将上式在y轴上投影有：

dvdm?F(t)?mg?vr?F(t)?(?vt)g?vr?vdtdtdv?F(t)?(?vt)g?vr?v?F(t)??(vgt?v2)dt

m由于

再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：FN?(l?vt)?g

2－5将船视为变质量质点，取其为研究对象，

FN

受力如图。根据变质量质点动力学方程有：v

dvdmm?F?mg?FN?vrdtdtmg

x船的质量为：m?m0?qt，水的阻力为F??fv

将其代入上式可得：

dv(m0?qt)??fv?mg?FN?qvrdt

将上式在x轴投影：(m0?qt)

dv?0，所以由上式可求得：F(t)??(vgt?v2)。dtdv??fv?q(?vr)。应用分开变量法可求得dtln(qvr?fv)?fln(m0?qt)?cq

由初始条件确定积分常数：c?ln(qvr)?

f?m0?qtq?)??1?(m0????

flnm0，并代入上式可得：vv?rf

2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为m的质点沿

半径为R的圆周运动，其相对方

板的速度大小为u（常量）。圆盘中心到转轴的距离为l。质点在方板上的位置由?确定。初始时，??0，方板的角速度为零，求方板的角速度与?角的关系。

z

vevrguM?r?o?

oRl

l图a图b

解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计

算方板和质点对转轴的动量矩。

设方板对转轴的动量矩为L1，其角速度为?，于是有

L1?J?

设质点M