53.高考数学专题26平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题平面向量(知识梳理)一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。(2)向量的表示方法：①具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作AB,AB的长度记作IABI。用有向线段AB表示向量，读作向量AB；②用小写字母表示：a、b。(3)向量与有向线段的区别和联系：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。2、向量的模：向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作IABI。3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作0。a4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量a=±二。IaI1 tf5、平行向量：(1)若非零向量a、b的方向相同或相反，则a//b，又叫共线向量；(2)规定0与任一向量平行。6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。7、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等，则向量a、b是相等向量。⑴相等向量：a=bo模相等，方向相同；(2)相反向量：a=-bo模相等，方向相反。二、向量的加法1、三角形法则原理已知向量a、b，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和(或和向量)，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

aaV队6止b.图示(1)w+bb c⑵C Ab⑶2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a、b，作AB=a，作平行四边形，则对角线上的向量Ac=aBC=b，则a、b、d三点不共线，以AB、Ad为邻边+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。/□aC图示a3、多边形法则原理已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示dg04、向量加法的运算律运算律交换律a+b=b+a结合律T f T — —(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法1、相反向量：与。长度相等、方向相反的向量，叫做。的相反向量，记作-。。(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；一(—a)=a；a+(一a)二(一a)+a=0；(4)若a与b互为相反向量，则a=—b，b=—a，a+b=0。——to I 2、向量的减法：已知向量a与b(如图)，作OA=a，OB=b，则b+BA=a，向量BA叫做向量a与b的差，并记作a—b，即BA=a—b=OA—OB，由定义可知:(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB，或简记为“终点向量减始点向量”；⑶从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。四、数乘向量1、数乘向量的定义：实数1和向量a的乘积是一个向量，记作九a。⑴长度：IAaI=IAI-IaI，(2)方向：九a(a丰0)的方向：当入〉0时，与a同方向；当X<0时，与a反方向。特别地，当X=0或a=0时，0•a=0或Q0=0，九a中的实数入叫做向量a的系数。⑶几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。(4)运算律：设入、四£R，则①(入+日)a='a+日a，②入(日a)=(Ap)a；@1(a+b)=1a+入b。2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。3、两个非零向量a、b的夹角：已知非零向量a与b，记04=a、OB=b，则ZAOB=0(0<0<k)叫做a与b的夹角。4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是0，则数量IaI.IbI.cos0叫a与-+ ff ff f -frb的数量积，记作a-b，即有a-b=laI-IbI-cos0(0<0<k)。规定0与任何向量的数量积为0。5、向量b在a方向上的投影：设0为a、b的夹角，则IbI.cos0为b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量。当0为锐角时投影为正值；当0为钝角时投影为负值；当0为直角时投影为0；当0=0。时投影为IbI；当0=180。时投影为-1bl。6、向量的数量积的几何意义：数量积a.b等于a的长度与b在a方向上投影IbI.cos0的乘积。7、向量的运算:运算向量形式坐标形式：T fa=(%，止b=(%2，y2)加法求两个向量和的运算/1平行四边形法则： 为1迎/'起点相同，3角线为向量和， 口记：AB+Ad=ac。 熬/!三角形加法法则： 产卜首尾相连，记：AB+BC=AC。 母f —fc-a+b=(%+%,y+y)1 2 1 2减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形减法法则： 八工—I*- fa-b=(%-%,y-y)1 2 1 2

起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：OA-OB=BA终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记：BA-CA=BC运算律：①交换律：a+b=b+a；②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；@a+0=0+a=a+0。数乘实数X与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作Xa,Xa是一个向量，IXaI=IXI-IaI。方向：X〉0时，Xa与a同向；X<0时，Xa与a反向；X=0时，—►一Xa=0。fXa=（Xx/Xyj运算律：①a-b=b-a•，②入（四a）=（如）四a，（入a）b=X（a-b）=a（入b）；—► ——► —F f —■ T T f — —»f Tf③（X+日）a=Xa+日a,X（a+b）=Xa+Xb,（a+b）-c=a-c+b-c。数量积ff f f ffa-b=IaI-IbI-cos<a,b〉fTa•b=x•x+y•y12 12五、向量的坐标运算1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、平面向量的坐标表示：⑴在平面直角坐标系中，分别取与％轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数％、y，使a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设4x1,y1)、B(x2,y2)， f j则AB=(x2—x1，y2-y1)，IAB1=v1(x2-x1)2+(y2-y1)2。⑶若O是坐标原点，设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若OA=(x,y)，则A点坐标为(x,y)，反之亦成立。3、线段的定比分点及入：设［、［是直线/上的两点，P是I上不同于I、1的任一点，则一定存在实数入，使pp八PP；，入叫做点P分PP所成的比。有三种情况:P]九〉0(九〉0(内分)（外分）X<0（入<-1）（外分）X<0（-1<X<0）(1)定比分点坐标公式：若点P1(x,yj，P2(x2,y2)，入为实数，且(1)定比分点坐标公式：若点P1(x,yj，(小/，空空)，我们称入为点P分PP所成的比。1+入1+入 12(2)点P的位置与九的范围的关系:12①当九〉0时，PP与PP同向共线，这时称点P为PP的内分点；

12②当X<0(入w-1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为电的外分点。TOC\o"1-5"\h\zMP+为MP⑶若P分有向线段P1q所成的比为入,点M为平面内的任一点，则MP=叱；产一， ，，， .MP+MP特别地P为PP的中点OMP=—P1 2。12 24、向量的重要定理、公式、结论：⑴一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。—► —* T T f T(2)三角形不等式：IIaI-1b11<1a±b1<1aI+1bI。⑶重要结论：若Ia+bI=Ia-bI，则a±b。T J(4)向量的模：IaI=aa-a=*：'x2+y2；a-b xx+yy非零向量a与b的夹角：cos<a,b>= = 12 F2IaIxIbIvx2+y2X\：x2+y2

v1 1t2 2(5)非零向量a=(%/yj、b=(x2,y2)共线或垂直的坐标表示:①向量共线：a//boa=Xboxy=xy；12 21)±(理-£)。

)±(理-£)。

IABIIACI②向量垂直：a±bOa-b=0Ox-x+y-y=0。特别地( -+ 12 12 IABIIACITOC\o"1-5"\h\z■ H f — T(6)两个向量的数量积的性质：设a、b、c为两个非零向量，e是与a同向的单位向量。①a•e-e•a=IaIcos0；特别的a2-a•a-IaI2特别的a2-a•a-IaI2或②当a与b同向时，a•b-IaI•IbI；当a与b反向时，a•b--1aI•IbI。IaI-aa•a；③(a+b)(a-b)-IaI2-1bI2-a2-b2；2 2(a+b)2=Ia+bI2=a+2a•b+b=IaI2+2a•b+1bI2；，一7、 ，- 7.一2一一丁丁2 ，一,一-7 .r.(a-b)2-Ia—bI2-a—2a•b+b-IaI2-2a•b+1bI2。④Ia•bI<IaI•IbI。(7)向量共线定理和向量基本定理①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数X，使得b-Xa。变形形式：已知直线l上三点A、B、P，O为直线/外任一点，有且只有一个实数X，使得：OP-(1-X)•OA+!•OB。

②平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）：若［、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数％、九2，使.61一%e2（8）线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线l上三点P1、P2、P外任取一点。，设。户=g,OP^b，可得OP=a+入＞=—a+1 2 1+入1+入贝UOP60Pl+日OP2o入+尸1。重要结论：若直线贝UOP60Pl+日OP2o入+尸1。(9)在AABC中:重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；垂心——高线的交点：高线与对应边垂直;内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。①若A(x, y)、B(x ,y)、C(x,y)，重心坐标为P(xi+x2+x3 , yi+ y2 +y3)。11 22 33 3 3PAPA+PB+PC=0。②若P为AABC重心，则AP=3(AB+AC)，BP=3(BA+BC)，CP=3(CA+CB)③PA-PB=PB-PC=PC•PAoP为AABC垂心；_ ABAC ④向量M―-+—-）（，中0）所在直线过AABC内心（是/BAC角平分线所在直线）;IABIIACI⑤IABI义PC+1BCI*PA+1CAI义PB=0oP为^ABC内心；⑥IPAI=IPBI=IPCIoP为AABC外心；⑦⑦P为AABC内一点，axPA