专题5.1解集为整数点的不等式组问题研究与拓展

xy 溯源】不等式组xy5,表示的平面区域内的整点个数 .y【问题提出y变式：在不等式组0x3所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的称为格点） y 93问题2ABC三边abc的长都是整数，且abc，如果bmmN*，则m(m样的三角形共 个2问题3：三边为整数，且最大边长为11的ABC的个数 .问题4：钝角三角形的三边为正整数，且组成公差为3的等差数列，这样的三角形 个.【拓展探究1Px|2xa0}Qx|3xb

，a,bN，且 的整数对(a,b)的个数 A＝x|2x53x15Bx|x32x2a,AB5个整数解，则a

.6

≤2探究2：若aZ，且不等式x26xa0的解集中有且只有三个整数，则所有满足条件的a值之和为 .213A＝x|2x53x15Bx|x32x2a,AB5个整数解，则a

.6

≤24x的不等式组xa1P2x2（1）若集合Qx2x3PQ，求实数a,0（2）P中有且只有两个整数，求实数a的取值范围5xax3a23个整数解，求实数a的取值范围.变式：设全集URf(xlg(x1a1)(a1Auu

2a6abf(x)axbx1(x

a,b2,2f(x在0,aOb若b0xf(x)02a的取值范围

2,12 2（数形结合变式1：已知函数f(x)2x2ax(xR)有最小值，则实常数a的取值范围是变式2：函数f(x)xax1在0,上有最大值，则实数a的取值范围是 探究7：（2009，）关于x的不等式(2x-1)2ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围.25a 解法1.1令gx2x12，hxax2 当 0时，不分别作出函数图象见图1.1要使gxhxyhxygx的图象上方．又

g()0，由图象得到，原不等式解集中的3 整数只能为2g(3)g(3)1，2，3

25a49 2x 12解法1.2当x=0时，对任意实数a，不等式2x1ax2不成立，则有a 22 x 1xgxafx2x

x0yfxy4当0x1yfxy0x1yfx 且0y41.23f(3af(425a49 解法1.3当a0时，原不等式的解集 空对不等式两

2x1

x．由x0

21．令axaafx21，gxax

a.由于函数h(x)21在 个单调区间内xfxh(x)1.3因此，当原不等式的解集中恰有3个整数时， 满足条a g(4，解得25a49a 1（2013合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围

[1,(25(25,3x2a

xx

，令tx20，则at

ta25,9x2时，同理可得a1,133 333个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为x2ax2．令g(x)ax2a0AA=．当a0时，首先，当0a8时，函数yyf(xyg(x

f(x) A2a8a8时，直线和抛物线相切于点(4,165a8x4A35525a93

3或5A6当a0时，由图象知0A，那么解集A另一个整 为1或中1

或1A解得1a1综上 满足条件的1

2 a的取值范围是1a125a9 2.2x2ax2

x2时，不A为A2x2a

x

x2a

．x再令tx2，则当t0at44；当t0at44 h(2)0，h(3)13A中整数为正整数时，则t23a25a93A中整数为负整数时，则t2和3a的取值范围为1a13a的取值范围为1a125a9 2xx2axa210AAa范围 解法3.1x21axa．令g(x)x21，h(x)axa．如图3.1，下对参数a进行 类讨论当a1时，A(1,0)，A中没有整数；则当0a1时 A中也没g(2)a1时，首先发现0A1，则有g(2)

成立，解得1a

61a1A0,1，A中没有整数；则当1a0时，Ag(2)a10A1，则有gg(2)解得61a1a的取值范围为

61a1或1a

613.2x(xa)a21f(x)x(xag(x)a21．a0A13.2.1a01.1a210时，即0a1A21.2a210a1.A201．因此有1A2A，即

，解得1a

6123.2.2a02.1a210时，即1a0A22.2a210a1A20和:1．因此有11aa26且2A，即6

，解得 a1．则有

61a1或1a

613.3axa2x21x0a21a1a11

1

1当x0时，ax 当x0时，ax 令g(x)x f(x)a 又当a21时，A(0,1)或A(1,0)，不合题意；下只要考虑a21时的 两种情01a21时，则有0Ax0情形1.1，如图3.3.1，当x00时，有1A，2A，即g(1)ag(2)， 1a61

x001A，2A

g(2ag(1 解61a12a213.3.3，得0AA1情形2.1，若两个整数大于0时，1A，则有a ，且g(2)ag(3)，计算得a11情形2.2，若两个整数小于0时，1A，则有a1g(3ag(2)，计算得a；即所求实数a的取值范围是61a1或1a61探究8：(市2014届高三年级12月阶段调研卷-14-inequality)若关于x的不等式ax2x2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为 ▲．1fxax2x2afx04个整数可知a02fxax22x，那么，对a0fx2

过定点

2,2

2,

2；1x1

1x21a+12a0aa12a那么1A2A3A，即4a22a0a，则1A9a32a2°由上分析可知1A2A3A4Aa12a4a22a9a32a

2a3 a2a3 解法2ax2x2a0ax22x；令fxax22gxx；fxgxfxgx的图像下方；1°当a02°当a02x10x21x31x4