公共课标准课程加强阶段测试卷（数一答案）

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2023届全国硕士研究生入学统一考试（公共课标准课程加强阶段测试卷）

数一答案

答题本卷须知

1．本试卷考试时间180分钟，总分值150分。

2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。

针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨1

一、选择题(此题共8小题,每题4分,总分值32分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

1D2A3B4C5A6C7B8D(1)设数列?xn?与?yn?满足limxnyn?0，则以下说法正确的是（）

n??(A)若?xn?发散，则?yn?必发散．(B)若?xn?无界，则?yn?必有界．(C)若?x?1?n?有界，则?yn?必为无穷小．(D)若??x?为无穷小，则?yn?必为无穷小．n?D.

举反例：若取yn?0，则可排除A；若取xn?0，则?yn?可为任意数列，可排除C；取x?n,n为奇数n???0,n为偶数,y?0,n为奇数n??，则可排除B；故正确答案为D.?n,n为偶数(2)设f?x?为连续函数，且F?x???lnx1f?t?dt，则F??x?为x(A)

1xf?lnx??1?1?x2f??x??．(B)f?lnx??f??1??x??．(C)

11xf?lnx???1?x2f??x??．(D)f?lnx??f??1??x??．A.

F??x???lnx????11f?t?dt??f?lnx??f??1???x?????1?x??1xf?lnx??1?1??2?x?x?x2f??x??.

(3)函数u?ln?x2?y2?z2?在点M?1,2,?2?处的梯度graduM为(A)?1,2,?2?．(B)29?1,2,?2?．(C)19?1,2,?2?．(D)29?1,?2,2?．

B.由于

?u2x??x?u2y?u2zx2?y2?z2,?y?x2?y2?z2,?z?x2?y2?z2,于是有gradu2442M?9i?9j?9k?9?1,2,?2?.

(4)微分方程y?4??2y???y?0的通解是

针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨（）

（）

（）2(A)C1ex?C2x?C3e?x?C4.(B)C1ex?C2sinx?C3e?x?C4cosx.(C)?C1?C2x?ex??C3?C4x?e?x.(D)?C1?C2x?sinx??C3?C4x?cosx.C.

特征方程：r?2r?1?r?142?2?2?0，特征根r1?r2?1,r3?r4??1，应选项C是正确的.

(5)设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B?E?AB,C?A?CA，则B?C为（）(A)E.(B)?E.(C)A．(D)?A．A.

B?BA.由B?E?AB，知?E?A?可见E?A与B互为逆矩阵，于是有B?E?A??E，故AB?E，

从而有B?C?E?AB?A?CA?E?BA?A?CA?E??A?，即，而B?CA?B?C??E?A???E?AE?A可逆，故B?C?E，应选A.

(6)已知三阶矩阵A的特征值为1,?2,2，则A?2A的正特征值的个数为（）(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．

C.

由于A的特征值为1,?2,2，则A?2A的特征值为

2212?2?1?3,??2??2???2??0,22?2?2?8,

显然有两个正特征值，应选C.

(7)设随机变量X与Y相互独立，且均听从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1为（）

(A)0.(B)B.

由于X与Y相互独立，所以

11111P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1??P?Y?1???0dx??0dy?.

3392??121.(C)．(D).993(8)若X和Y满足D?X?Y??D?X?Y?，且D?X??0,D?Y??0，则必有（）

(A)X与Y相互独立．(B)D?X??D?Y??0．(C)D?XY??D?X?D?Y?．(D)X和Y不相关.D.根据题设有

D?X?Y??D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y?，

针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨3因此Cov?X,Y??0，故?XY?0，X与Y不相关.

二、填空题（此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上.）

910x211121314y?etany?21x?35[?1,1)8??a?b?c?R33x?0?1,3?(9)微分方程y?sinx?ylny满足初始条件yx???e的特解是.

2y?etanx2.

tanx2分开变量后积分得通解y?Ce，再由yx???e得C?1，则特解为y?e2tanx2.

(10)曲线?5y?2???2x?1?在点?0,??处的切线方程为.y?35??1?5?21x?.3524由原方程得3?5y?2??5y??5?2x?1??2，将x?0,y??12代入其中得y??，故所求切线方程为53y?21x?.35(11)幂级数

?n?0?xn的收敛域是.n?1[?1,1).

???1??1an?11n?1,lim当x?1时?发散，当x??1时?收?lim?1,R?1，

n???n?1n?1n???ann?1n?2n?0n?0nan?敛，故收敛域为[?1,1).

2(12)设?是?:?x?a???y?b???z?c??R的外侧，则I?222????x2dydz?y2dzdx?z2dxdy?.??a?b?c?R.

383由高斯公式知I?2????x?y?z?dv?2?x?y?z?V?V为?的体积?

?48=2?a?b?c???R3???a?b?c?R3.

33?001???(13)已知三阶矩阵A??x10?有三个线性无关的特征向量，则参数x?.

?100???x?0.

针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨4??E?A=?x0?10????1????1?，由A有三个线性无关的特征向量知对于??1，A有两

2??10?1?个线性无关的特征向量，所以r?E?A??1.

?10?1??10?1?????E?A???x00???00?x?，故x?0.

??101??000??????11,?3,x??0,??2?2??3,6,k使得P?X?k(14)设随机变量X的概率密度为f?x???,x?若??，则k的取值范围

3?9?0,其他.??是.?1,3?.由P?X?k?????kf?x?dx，易知

??22dx?；?k393??3622当k??1,3?时，P?X?k???f?x?dx??0dx??dx?；

kk393622当k??3,???时，P?X?k???dx?；

k932故要使得P?X?k??，则k的取值范围是?1,3?.

3当k????,1?时，P?X?k??f?x?dx??6三、解答题(此题共9小题,总分值94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(此题总分值9分)

1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.

3??????方法1：原式?limx?0e?2?cosx?xln??3??x3?2?cosx?ln??