函数的单调性与导数

§1.3.1函数的单调性与导数（第1二．11.3-1（1）h随时间th(t4.9t26.5t101.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t的函数v(tht9.8t6.5h随时间t的增加而增加，即h(t是增v(t)ht)0．从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是v(t)ht0001.3-3fxf(x在点(x0,y0处的切线的斜率．00x

fx0f(xx0xxfx0 f(xx1附近单调递减．在某个区间(a,b)内，如果fx)0yf(x)fx0yf(x（1）fx0yf(xyf(xyf(xy'fxfx0fx01fx的下列信息：当1x4时，fx)0；x4x1fx0；x4x1时，fx)0yf(x解：当1x4fx)0yf(x)在此区间内单调递增；x4x1fx0yf(x在此区间内单调递减；x4x1fx0yf(x1.3-4所示．2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）f(x)x33x （2）f(x)x22x（3）f(x)sinxxx(0,)；（4）f(x)2x33x224x（1）f'(x)3x233(x21)f(xx33xR1.3-5（1）

（2）f(x)x22x3

f'(x)2x22xfx)0x1f(x)x22x3单调递增；fx0x1f(xx22x3单调递减；函数f(x)x22x31.3-5（2）所示．（3）f(x)sinxxx(0fx)cosx1

f(xsinx

在(0)单调递减

（4）因为f(x)2x33x224x1，所 当f'(x)0， 时，函数f(x)x22x 当f'(x)0， 时，函数f(x)x22x f(x)2x33x224x1的图像如图所示．例31.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同h与时间t的函数关系图像．（A）解1B2A3D4C1.3-7yf(x在0b或a0在b,或,a 求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．证明：因为y'6x26x126x2x26x1x2x2,1即2x1时，y'0y2x33x212x1在区间2,1内是说明：证明可导函数fx在ab内的单调性步骤求导fx判断fx在ab内的符号做出结论fx0为增函数，fx0为减函数 值范围

f(x4xax22x3(xR在区间1,1a3解：fx42ax2x2

fx在区间1,1上是增

fx0x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立 ：1a所以实数a的取值范围为1,1求下列函数的单调区 2.f(x)=1 3.f(x)=sinx,x[0,2x

练习yf(x证明可导函数fx在ab内的单调性

§1.3.2函数的极值与导数（第2放大tah(t1.3-9．可以看出h(a；在ta，当ta时，h(th(t)0；当tah(th(t)0；这就说明，在ta附近，函数值先增（tah(t)0）后减（tah(t)0．这样，当ta的ah(t)h(t)h(a)0．yfx二．1．问题：图13-1（1）h随时间th(t4.9t26.5t101.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t的函数v(tht9.8t6.5h随时间t的增加而增加，即h(t是增v(t)ht)0．从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是v(t)ht0如图1.3-3，导数fx)表示函数f(x)(xy)xx处， fx0f(xx 在某个区间(a,b)内，如果fx)0yf(x)fx0yf(x（1）fx0yf(xyf(xyf(xy'fxfx0fx0，解集在定义域内的部分为减区间．1fx的下列信息：当1x4时，fx)0；x4x1fx0；x4x1时，fx)0yf(x解：当1x4fx)0yf(x)在此区间内单调递增；x4x1fx0yf(x在此区间内单调递减；x4x1fx0yf(x1.3-4所示．2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）f(x)x33x （2）f(x)x22x（3）f(x)sinxxx(0,)；（4）f(x)2x33x224x（1）f(xx33x，所以，fx3x233(x21f(xx33xR1.3-5（1）（2）f(x)x22x3

f'(x)2x22xfx0x1f(xx22x3单调递增；fx0x1f(xx22x3单调递减；函数f(x)x22x31.3-5（2）所示．f(x)sinxxx(0fx)cosx1f(xsinxx在(01.3-5（3）因为f(x)2x33x224x1，所 当f'(x)0， 时，函数f(x)x22x 当f'(x)0， 时，函数f(x)x22x f(x)2x33x224x13.3-5（4）例61.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同h与时间t的函数关系图像．（A）解1B2A3D4Cyf在0,b或a,0内的图像“陡峭在b,或,a内的图像“平缓． 求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．证明：因为y'6x26x126x2x26x1xx2,1即2x1时，y'0y2x33x212x1在区间2,1内是说明：证明可导函数fx在ab内的单调性步骤（1）求导fx（2）fx在ab内的符号（3）做出结论：f'x0为增函数，f'x0为减函数 值范围

f(x4xax22x3(xR在区间1,1a3解：fx42ax2x2

fx