两个重要极限试题

两个重要极限试题作者:

日期:、严谨规范求真铸魂、严谨规范求真铸魂1-7两个重要极限练习题教学过程:sinxx（弧度）0.500.100.050.040.030.02...sinxx0.95850.99830.99960.99970.99981-7两个重要极限练习题教学过程:sinxx（弧度）0.500.100.050.040.030.02...sinxx0.95850.99830.99960.99970.99980.9999...x问题1：观察当xf0时函数的变化趋势:当x取正值趋近于0时，sn%f1，即limsn%=1；引入：考察极限limxf0xf0+x当x取负值趋近于0时，-xf0,-x>0,sin（-x）>0.于是lim-xf0-综上所述，得sinx「sin(-x)

lim (―x)limsinx-1的特点:xf0x⑴它是“0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；0⑵在分式中同时出现三角函数和x的幂.推广如果lim虱x）=0,（a可以是有限数x0,±8或8），limxfasinsintp(x)1例1求limxf0tanxsinx例2例3例4limxf0tanx=limxf0cosx-limxf0sinx例2例3例4limxf0tanx=limxf0cosx-limxf0sinx1 x cosx-limxf0sinx- 1•lim 1•1-1.xf0cosx求lim型卫limxf0xf0sin3x=limxf03sin3x(令3x-1)3limsint-3.= tf0t求lim1-cosxxf0 x2limxf01-cosxx._x ・x2sm2— sin2 sin—=lim 2-lim 2-lim 2xf0 x2 xf0 2 xf02 x2・xsin— 12 1 ——.x 22求limarcs噂解令arcsinx=t,则x=sint且xf0时tf0.arcsin%t.所以lim =lim =1.%f0 % tf0sint例5求limtan%-sin%%f0 %3sin% ^ 1-cos%一sin% sin% tan%-sin% cos% cos%lim =lim-cos% =lim cos%%f0 %3 %f0 %3 %f0 %3TOC\o"1-5"\h\z「sin%「 1r 1-cos% 1=lim lim lim =一%f0% %f0c0s%%f0 %2 2考察极限lima+1)%=e%f8 %问题2：观察当xf+8时函数的变化趋势:x1210100010000100000100000...(1+ )%%22.252.5942.7172.71812.71822.71828...当x取正值并无限增大时，(1+1)%是逐渐增大的，但是不论x如何大，(1+1)%的值% %总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当xf+8时，可以验证(1+1)%是趋近于一个确%定的无理数e=2.718281828….当xf-8时，函数(1+1)%有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.%综上所述，得二 1 lim(1+)% '%f8%lim(1+1)% 的特点：%f8 %lim(1+无穷小)无穷大案；“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若lim中(x)=8,(a可以是有限数x0,±8或8),则U%falim(1+——--)叭%)=lim[1+——--Jp(%)=e；%fa P(%) pQ)f8 P(%)(2)若limp(x)=0,(a可以是有限数x0,±8或8),则U%fa11m[1+pQ)w%fa11m[1+pQ)w%fap(%)f0变形令1=t，则xf8时tf0,代入后得到 limG+1)=e变形% tf0如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果18,因此通常称之为18不定型.

例6例6求lim(1——)x.xT9令一2二t，则x当XT9时tTO,一D 2 2 1于是lim(1 )x=lim(1+t)，=[lim(1+t)t]-2=e-2.xT9x ttO ttO例7求lim(上土)x.xT92-x解令3sx=1+U，则X=2--.—x u当XT9时UTO,—x 1 1于是lim( )x=lim(1+u)—u-lim[(1+u)—u-(1+u)2]于是xT92-x utO utO1=[lim(1+u)u]-1•[lim(1+u)2]=e-1.u-tO u-tO例8 求lim(1+tanx)cotx.xtO设t=tanx,则U-=cotx.当xtO时tTO,1一于是 lim(1+tanx)cotx=lim(1+1)t=e.xtO ttO小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页§1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=1gt来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当At很小时，从1秒到1+At秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似.At(s)As(m)As—(m/s)At0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度—随着At变化而变化，当At越小时，上越接近于一个定值一At At9.8m/s.考察下列各式：As=1g-(1+At)2—1g-12=1g[2-At+(At)2],2 2 2A=1g-2At+(At)2=1g(2+At),At2 At 2思考：当At越来越接近于0时，丝越来越接近于1秒时的“速度”.现在取Atf0的极At限，得lim—二lim-g(2+At)=g=9.8(m/s)-Af0AtAf02为质点在t=1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规律是s=ft),在时刻t时时间有改变量At,s相应的改变量为As=f(t+At)-ft),在时间段t到t+At内的平均速度为AtAt-_Asf(t+At)-fC)v= = ,对平均速度取AtfAtAtAs f(t+At)-f(t)v(t)=lim—=lim2 ,Atf0AtAtf0 At称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线

设方程为y=fX)曲线为L其上一点A的坐标为(x0,式x0)).在曲线上点A设方程为y=fX)曲线为L其上一点A的坐标为(x0,式x0)).在曲线上点A附近另取一点B,它的坐标是(x0+Ax,fx0+Ax)).直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作。.由图中的RtAACB,可知割线AB的斜率，皿=.y在数量上，它表示当自变量从x变到x+Ax时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A,此时Axf0,过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置一一直线AT,我们就称L在点A处存在切线AT记AT的倾斜角为%则a为。的极限，若必90。，得切线AT的斜率为tana=limAxf0tan。=limA=limf(x0+^)一f(x0)Axf0A Axf0 A在数量上，它表示函数艮x)在x处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率..自变量x作微小变化Ax，求出函数在自变量这个段内的平均变化率j=包，作为点Ax处变化率的近似;.对y求Axf0的极限limA，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值.以f0A二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念定义设函数y=fx)在x0的某个邻域内有定义.对应于自变量x在x0处有改变量Ax,函数y=fx)相应的改变量为Ay=fx0+Ax)-fx0),若这两个改变量的比Ayf(x+Ax)-f(x) =0 0-AxAx当Axf0时存在极限，我们就称函数y=fx)在点x0处可导，在点x0处的导数(或变化率)，记作y'I 或f(x0)或dyl0 x=x0 0dxx==x，| Ay f(x+Ax)-f(x)y| =f(i)=lim——=lim o 0-x=x0 0Af0AxAf0 Ax并把这一极限称为函数y=fx)或df(x)

dx(2-1)比值等表示函数y=fx)在x0到x0+Ax之间的平均变化率导数y'I则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=fx)在点x0处的变化的快慢.如果当Axf0时限的极限不存在，我们就称函数y=fx)在点x0处不可导或导数不存在.(2-2)在定义中，若设x=x0+Ax,则(2-1)可写成f(x)-f(x)(2-2)TOC\o"1-5"\h\zf(x0)=lim 0-Lxfx x-x0 0根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下:第一步求函数的改变量Ay=fx0+Ax)-fx0)；

第二步求比值二二于(%0+以尸以X0)；Ax △%第三步求极限f(%)=limA.uA旬A例1求y=f%)=%2在点％=2处的导数.解Ay=及+A%)f(2)=(2+Ax)2-22=4A%+(A%)2；Ay4Ax+(A%) Ay—^—— =4+A%； lim—=lim(4+A%)=4.A A A旬AAf0所以y'L=4.TOC\o"1-5"\h\z当limf>0+以"fQ0)存在时，称其极限值为函数y=f%)在点％o处的左导数，记作a旬- Af(%)；当lim''。+人”于「0)存在时，称其极限值为函数y=f%)在点％。处的右导数，—0 A 0Af0+ 7记作f(%).+ 0据极限与左、右极限之间的关系f(%0)0存在4(%0),于+(%0)，且4(%0)=于+(%0)=f(%0).2.导函数的概念如果函数y=汽x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=汽x)在开区间(a,b)内可导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值%0都有对应着一个确定的导数f(%0),这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f%)的导函数，记作等f(%)或y，等.根据导数定义，就可得出导函数f(%)=y'=lim生—lim/Q+A%",♦) (2-3)以f0Aa%f0 A导函数也简称为导数.注意(1)f(%)是%的函数，而f(%0)是一个数值f(%)在点处的导数f(%0)就是导函数f(%)在点%0处的函数值.例2求y=C(C为常数)的导数.解因为Ay=C-C=0,—y—/-=0,所以y'=lim—y=0.AA Af0A即 (C)，=0常数的导数恒等于零).例3求y=%n(ngN,%eR)的导数.解因为八户(%+A%)n-%n=n%n-1Ax+C2%n2(A%)2+...+(A%)n,nAy=n%n-1+C2%n-2.A%+...+(A%)n-1,A n从而有y=lim—y=lim[n%n-1+C2%n2A%+...+(A%)n-1]=n%n-1.Af0A%Af0 n即 (%n)=n%n-1.可以证明，一般的幕函数y=%,(aeR,%>0)的导数为(%a)=a%a-1.

TOC\o"1-5"\h\zi- - 1 11 1例如("：x)'=(x2)'=1x-2=。；(上)'=(x-1)=-x-2=-—.2 2、-x x x2例4求y=sinx,(xeR)的导数.解电=sin(x+Ax)-sinx，在§1-7中已经求得Ax Ax「 Aylim-^-=cosx,A-0AxIP (sinx)，=cosx.用类似的方法可以求得y=cosx,(xeR)的导数为(cosx)'=-sinx.例5求y=logax的导数(a>0,aw1,x>0).解对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为(lnx)，=1.x对一般的a,只要先用换底公式得y=logax=电二，以下与§1-7完全相同推导，可得lna(logax)，=——.xlna三、导数的几何意义方程为y=ff(x)的曲线，在点A(x0f(x0))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f(x0),且AT的斜率k=ff(x0).导数的几何意义一一函数y=fx)在x0处的导数f(x0),是函数图象在点(x0,fx0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-fx0)=f(x0)(x-x0) (2-4)过切点A(x0,fx0))且垂直于切线的直线，称为曲线y=fx)在点A(x0,fx0))处的法线，则当切线非水平(即/(x0)w0)时的法线方程为1y-fx0)=-士(x-x0) (2-5)0例6求曲线y=sinx在点(-,1)处的切线和法线方程.62I—解 (sinx)' =cosx =^-3.TOC\o"1-5"\h\zx=- x=- 26 6 _所求的切线和法线方程为 y—1=三3(x—-),2 2 6法线方程 y—1=-2-3-(x——).2 3 6例7求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程.解设切点为A(x0,y0),则曲线在点A处的切线的斜率为y'(x0), 1y(x0)=(lnx)' =—,x=x0x0因为切线平行于直线y=2x,,所以-1=2,即x『1；又切点位于曲线上，因而y『ln1=-ln2.x 02 0 20故所求的切线方程为

即即y=2x-1-ln2.四、可导和连续的关系如果函数y=fx)在点x0处可导，则存在极限limAxflimAxf0A=f(xn)，则包=f(xn)A0A0+a(lima=0)，或Ay=f(x0)Ax+a-Ax(lima=0)，Axf0所以limAy=lim[f(x0)Ax+a-Ax]=0.Axf0 Axf0这表明函数y=fx)在点x0处连续.但y=fx)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的.例如：(1)y=1xl在x=0处都连续但却不可导.直的.学生思考：设函数fx)=Jxy=3屋在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂x-0，讨论函数fx)在y=3屋在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。作业：见首页

§4—2换元积分法教学过程复习引入i不定积分的概念；.不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法in为了应用这个公式，可进行例如：Jcos2%d%,积分基本公式中只有：Jcosin为了应用这个公式，可进行如下变换：Jcos2xdx=Jcos2%•令xu因为—2定理x,如下变换：Jcos2xdx=Jcos2%•令xu因为—2定理x,所以Jcos%d%n2是正确的.设fu具有原函数Fu,pJf[P(%)W(%)dxFpxCx是连续函数，那么证明思路因为Fu是fu的一个原函数，由复合函数的微分法得：dFpxFu•p'xdxfpx]'(dx,所以 Jf[p(%)]p'(%)d%Fpx C.基本思想：作变量代换u(px dpxp'xdx,变原积分为Jf(u)du利用已知/u的原函数是Fu的原函数是Fu得到积分，

例 求J(ax+b)10d%称为第一类换元积分法.解因为dx—daxb,所以aJ(a%+b)10d%=—J(a%+b)10d(a%+b) 令ox+b旦Ju10du=-^—u11a a- 11auax+b回代J_axbC.

11a例 求Jln%d%.%解因为1dxdx,所以%

TOC\o"1-5"\h\z原式Jlnxd(lnx)令nuJudu=—uCux回代1 1C.2 2求Jxex2dx.解因为idi1d1，所以2原式1 Jex2d(x2)令x u1Jeudu 1 eCux回代1ex2 C2 2 2 2例求Jxdx.aa2一x2解因为idi1d1—1dai，所以2 2令axu]r1-J-=du2、u一uuC原式—令axu]r1-J-=du2、u一uuC2aa2-x2a-u回代.、--073x7c.学生思考：求Jsinxdx.1+cOS2x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d9i，另一部分为甲（的函数f9i，且fu的原函数易于求得.因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法.常用微分式：di-1dax；adi-1dax；a1—didn；x-1di-d1，x2 x.1didi，v1一x2idi—do，ididi，iidid