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§3.6向量空间一、向量空间的概念二、向量空间的基与维数三、基变换与坐标变换,过渡矩阵一、向量空间的概念定义3.8设V为n维向量的集合,若V非空且对加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为向量空间．说明:1.集合V对加法及数乘两种运算封闭是指:1)若,V,则+V.2)若V,kR,则kV.2．n维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.例1

齐次线性方程组Ax=的解集S={x|Ax=}是一个向量空间.例2

非齐次线性方程组Ax=b的解集S={x|Ax=b}不是一个向量空间.例3

判别下列集合是否为向量空间.解设a,b为两个已知的n维向量,则集合V={x

=

a+b|,R}是向量空间.称为由向量

a,b所生成的向量空间.一般地:称为由向量组

1,2,,m所生成的向量空间.二、向量空间的基与维数定义3.9

设V

是向量空间,若V中有r个向量1,

2,,r

满足:(1)1,2,,r线性无关,(2)V中任一向量都可由1,2,,r线性表示,则向量组

1,2,,r就称为向量空间V的一个基,

r

称为向量空间V的维数,并称V为r

维向量空间．几点说明:

(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,它没有基．(2)若把向量空间V

看作向量组,那么V

的基就是向量组的最大无关组,V

的维数就是向量组的秩.(3)若1,2,,r是向量空间V的一个基,则V

可表为:(4)任意n个线性无关的n维向量都是的Rn一个基.

由此可知Rn的维数为n,

所以我们把Rn称为n维向量空间

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