结构动力学3课件

结构动力学多自由度体系的自由振动在工程实际中，很多问题可以简化成单自由度体系进行计算，但是也有一些问题不能这样处理。例如多层房屋的侧向振动、不等高排架的振动等都要当成多自由度体系进行计算。按照建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解的方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解；柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。刚度法（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:............弹性力分析y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程展开是ω2的二次方程，解得ω2

两个根为：可以证明这两个根都是正根。与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：

为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。一般解：在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。例题：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k2例题：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111k22k1211)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型要点：刚度系数

kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).层间侧移刚度振型结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.

振型和频率相对应.

频率多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出.

每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式.

自振频率和主振型是体系本身的固有特性.鞭梢效应

上部结构质量、刚度相对下部很小，容易产生.——结构的刚度系数，即节点j产生单位位移时在节点i所需施加的力。n自由度结构的自由振动微分方程可以表示为：上式可以用矩阵形势表示如下为：或简写为：位移和速度可以表示为：其中，M和K分别为质量矩阵和刚度矩阵。对角矩阵对称矩阵解方程：设其解为：其中Y为位移幅值向量：即为了得到Y的非零解，应该使系数行列式为零，即把全部自振频率按照由小到大的顺序排列而成的向量称为频率向量，其中最小的频率称为基本频率或第一频率。令Y(i)表示与频率相应的主振型向量：例题质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。解：1）求自振频率m2mmk刚架刚度矩阵和质量矩阵分别为：因此：其中频率方程为：其展开式为：因此3个自振频率为：2）求主振型3个标准主振型中，规定第3个主振型Y31=1。首先求第1主振型：带入下式：保留后面两个方程，可以得到：由于规定Y31=1，故第一主振型的解为：同理，第二、三主振型为：求振型、频率可列幅值方程.振型方程频率方程按振型振动时m1m2振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移柔度法位移幅值方程：

频率方程：

其中[δ]刚度矩阵，为n×n的对称矩阵；[I]为n阶单位矩阵；λ=1/ω2

两个自由度体系的位移幅值方程：

频率方程：

柔度法

n个自由度的体系首先，利用刚度矩阵可以推导出如下方程：刚度矩阵和柔度矩阵之间有如下关系：频率方程如下：展开形式如下：该方程可以解出n个根及n个频率：则，可以得出主振型的计算公式：令，可以得出n个向量方程，由此可以得出n个对应的主振型。例题质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展开得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

2）求频率：解得：同理可得第二、第三振型Y21=2.3029Y11=1Y22=－1.3028Y12=1结构动力学多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵多自由度体系主振型的正交性多自由度体系主振型矩阵l/3l/3l/3mml/3l/3l/3mm多自由度体系主振型的正交性该图为第一主振型，频率为，振幅为，其值正好等于相应的惯性力所产生的静位移。该图为第二主振型，频率为，振幅为，其值正好等于相应的惯性力所产生的静位移。上述两种静力平衡状态应用功的互等定理，可得：上述正交关系可以表示为：设体系具有n个自由度，和为两个不同的自振频率，相应的两个主振型向量分别为：体系的质量矩阵为：（a）第一个正交关系为：[K]{Y（i）}=ω2[M]{Y（i）}{Y（l）}T[K]{Y（k）}=ω2k{Y（l）}T

[M]{Y（k）}（d）[K]{Y（j）}=ω2[M]{Y（j）}{Y（k）}T[K]{Y（l）}=ω2l{Y（k）}T

[M]{Y（l）}（e）[K]{Y（k）}=ω2k

[M]{Y（k）}[K]{Y（l）}=ω2l

[M]{Y（l）}{Y（l）}T[K]T{Y（k）}=ω2l{Y（l）}T[M]T{Y（k）}（f）（d）－（f）（b）（c）把第一个正交关系带入式(d)，可以得到：

第一正交关系：相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;第二正交关系：相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;如同一主振型定义：Mj广义质量Kj广义刚度所以：由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。例题

质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图，验算主振型的正交性。求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度，并求频率。m2mmk(1)验算正交关系同理，可得：(2)验算正交关系同理，(3)求广义质量(4)求广义刚度(5)求频率多自由度体系主振型矩阵在具有n个自由度的体系当中，可以将n个彼此正交的主振型向量组成方阵：