南通市如皋2019年中考数学二模试卷含答案解析+【五套中考模拟卷】

南通市如皋2019年中考数学二模试卷含答案解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要

求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.在-1,0,2,-3这四个数中，最小的数是()

A.-1B.0C.2D.-3

2.据国家统计局公布，2019年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为()

A.6.767X1()3亿元B.6.767X1()4亿元

C.6.767X1()5亿元口.6.767X106亿元

3.下列计算正确的是()

A.a2*a3=a6B.(b2)3=b6C.(3m)2=6m2D.x34-x3=x

4.如图所示的工件的主视图是()

F而

5.某鞋店一天中卖出运动鞋ii双，其中各种尺码的鞋的销售量如表：则这n双鞋的尺码组成的一组数据中,

众数和中位数分别是()

尺码(cm)23.52424.52525.5

销售量(双)12251

A.24.5,24.5B.24.5,25C.25,24.5D.25,25

6.圆锥的底面半径为4,母线长为10,则该圆锥的侧面积为（）

A.80nB.40nC.20nD.10n

9.小南骑自行车从A地向B地出发，1小时后小通步行从B地向A地出发.如图，两条线段1卜L分别表示小

南、小通离B地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：h）之间的函数图象，根据图中的信息，则小南、

小通的速度分别是（）

A.12km/h,3km/hB.15km/h,3km/h

C.12km/h,6km/hD.15km/h,6km/h

10.如图，ZiABC内接于（DO,AD±BC,BE_LAC,AD,BE相交于点M,若AC=8,BM=4,则。。的半径等于（）

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位

置上.

11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是—.

12.分解因式：3a2-12ab+12b2=.

13.一个多边形的内角和为900°,则这个多边形的边数为一.

14.设m,n是方程xZ-2x-2019=0的两个实数根，则才+布的值为—.

15.若关于x的一元一次不等式组,“有解，则a的取值范围是.

2x-2<1-X

16.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFLAE于F,AB=5,AC=3,则DF的长为.

A

F

BDEC

17.如图，已知点ArAz,…，A”均在直线y=x-1上，点B“B2,B”均在双曲线y=-上上，并且满足：AB

x

J_x轴，BiAz_Ly轴，AzB2_Lx轴，BA)J_y轴，…，AJBnJ_x轴，BA+i_Ly轴，…，记点4的横坐标为①(n为正整

数).若ai=-1,则a2ois=.

18.已知n是关于x的一元二次方程/^、-2!0=0(m为实数)的一个实数根，则n的最大值是

三、解答题：本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

19.⑴计算弓)/ll-6I-(n-3)沈;

a-1a2-41

(2)化简22

a+2a-2a+l'1-a'

20.2019年3月28日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次“安

全知识竞赛”.为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列两幅统计图(说

明：A级：90〜100分；B级：75〜89分；C级：60〜74分：D级：60分以下).请结合图中提供的信息，解答

下列问题：

(1)求扇形统计图2中C级所在的扇形的圆心角度数；

(2)请把条形统计图1补充完整并写出计算过程；

(3)若该校共有2000名学生，请你估计安全知识竞赛中A级和B级的学生一共有多少人？

21.如图，在。ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.

(1)求证：△AEBgACFD；

(2)若四边形EBFD是菱形，求NABD的度数.

AED

BFC

22.如图，管中放置着三根同样的绳子AAi、BBi、CC1；

(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AAi的概率是多少？

(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A、Bi、G三个绳头中随机选两个打一

个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.

念a-

ca

23.如图，AB是。。的直径，D为。。上一点，过加上一点T作。0的切线TC,且TC_LAD于点C.

(1)若NDAB=50°,求NATC的度数；

(2)若。0半径为2,CT=E，求AD的长.

24.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构

成的NBAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE

是多少cm?

25.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数yi=2x?-4mx+21n?+1,和y2=x?+bx+c,其中yi的图象经过点A(1,1),若yi+y?为

门为“同簇二次函数”，求函数y。的表达式，并求当0WxW3时，yz的取值范围.

26.“城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成

后将大大提升二环路的通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米/时)是车流密

度x(单位：辆/千米)的函数，且当0VxW28时，V=80；当28VxW188时，V是x的一次函数.函数关系如

图所示.

(1)求当28VxW188时，V关于x的函数表达式；

(2)若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆/时)达到最大，并求出

这一最大值.

(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度X车流密度)

27.如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=4,点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C,D两点).连

接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图).

设CP=x,DE=y.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围；

(3)当m=8时，是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在,

请说明理由.

28.如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴相交于M,N两点，并且与双曲线(k>0)相交于A,B两点，

X

过点A作ACJ_y轴于点3过点B作BD，x轴于点D,AC与BD的延长线交于点E(m,n).

(1)求证：—图;

EAEB

(2)若暮斗，求X>2x-2的x的取值范围；

BM2X

(3)在(2)的条件下，P为双曲线上一点，以OB,0P为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第

四个顶点Q的坐标.

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要

求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.在-1,0,2,-3这四个数中，最小的数是()

A.-1B.0C.2D.-3

【考点】有理数大小比较.

【分析】根据有理数大小比较的法则可求解.

【解答】解：•••-1,-3是负数，

.•.它们小于0,2,

又-3|=3,

:.-3最小.

故选D.

【点评】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握正数都大于0,负数都小于0,

正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则.

2.据国家统计局公布，2019年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为()

A.6.767X1()3亿元B.6.767X10,亿元

C.6.767X1(/亿元口.6.767X1(/亿元

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1这|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数

的绝对值VI时，n是负数.

【解答】解：将676700亿用科学记数法表示为：676700亿=6.767X105亿.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.下列计算正确的是()

A.a2,a3=a6B.(b2)3=b6C.(3m)2=6m2D.x3-?x3=x

【考点】同底数塞的除法；同底数塞的乘法；幕的乘方与积的乘方.

【分析】分别利用幕的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数塞的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解：A、a2«a3=a5,故此选项错误；

B、（b2）3=b6,正确；

C、（3m）2=9m2,故此选项错误；

D、X34-X3=L故此选项错误；

故选：B.

【点评】此题主要考查了塞的乘方运算、积的乘方运算、同底数■的乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解

题关键.

4.如图所示的工件的主视图是（）

lEffi

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得

到的图形即可.

【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形.

故选B.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错

误的选其它选项，难度适中.

5.某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中,

众数和中位数分别是（）

尺码（cm）23.52424.52525.5

销售量（双）12251

A.24.5,24.5B.24.5,25C.25,24.5D.25,25

【考点】众数；中位数.

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众

数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【解答】解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26,

数据25出现了五次最多为众数.

25处在第6位为中位数.所以中位数是25,众数是25.

故选D.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺

序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则

找中间两位数的平均数.

6.圆锥的底面半径为4,母线长为10,则该圆锥的侧面积为（）

A.80nB.40nC.20nD.10n

【考点】圆锥的计算.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2,把相应数值代入即可求解.

【解答】解：圆锥的侧面积=2nX4X104-2=40Ji.

故选B.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆

锥的侧面扇形的弧长.

7.若△ABCS/\DEF,相似比为1：3,则△ABC与4DEF的面积比为（）

A.1：9B.1：3C.1：2D.1：V3

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可.

【解答】解：•.•△ABCS4DEF,相似比为1；3,

/.△ABC与4DEF的面积比为1：9,

故选：A.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键.

8.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【专题】网格型.

【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答.

【解答】解：如图：在B点正上方找一点D,使BD=BC,连接CD交AB于0,

根据网格的特点，CD±AB,

在Rt4AOC中，

CO力1。1；

AC=Vl2+32=V105

贝（jsinA-oc_佟在

AC7105

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键.

9.小南骑自行车从A地向B地出发，1小时后小通步行从B地向A地出发.如图，两条线段L、b分别表示小

南、小通离B地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：h）之间的函数图象，根据图中的信息，则小南、

小通的速度分别是（）

A.12km/h,3km/hB.15km/h,3km/h

C.12km/h,6km/hD.15km/h,6km/h

【考点】一次函数的应用.

【分析】小通的速度=行走的路程6km+所用的时间1；小南的速度=相遇后行走的路程6km+相遇后用的时间0.5

小时，把相关数值代入计算即可.

【解答】解：小通的速度=6km+l=6km/h；

小南的速度=6km+（2.5-2）=12km/h.

故选：C.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及函数图象的运用；得到每个人走的路程以及相应的时间是解决本

题的易错点.

10.如图，△ABC内接于。0,AD±BC,BE±AC,AD,BE相交于点M,若AC=8,BM=4,则。0的半径等于（

A.2在B.2-73C.4^/2D.6

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理.

【分析】作直径AH,连接HB、HC,作OFLAC于F,连接CM,延长CM交AB于点N,则CNJ_AB,推出NHCA=N

HBA=90°,证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC,根据垂径定理求出AF,根据中位线得出OF,再根据勾股

定理求出0A即可.

【解答】解：作直径AH,连接HB、HC,作OF_LAC于F,连接CM,延长CM交AB于点N,则CNLAB,如图所示:

VAH为直径，

AZHCA=ZHBA=90°,

VCN±AB,BE±AC,

:.ZCNA=ZBEA=90°

ZHBA=ZCNA,NHCA=NBEA,

AHB//CN,HC/7BE,

四边形HBMC为平行四边形，

.♦.BM=HC=4,

VOF±CC,OF过0,

...根据垂径定理：CF=FA」AC=4,

2

VA0=0H,

，0F为△ACH的中位线，

，0F,HC=2,

2

:.在RtAAOF中，0A2=0F2+AF2=22+42=20,

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、垂心定理、三角形中位线

定理等知识；通过作辅助线构建平行四边形是解决问题的关键.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位

置上.

11.若J3-X在实数范围内有意义,则x的取值范围是x近3.

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】直接利用二次根式的定义得出3-x，0,进而求出答案.

【解答】解：•••若斤］在实数范围内有意义，

.•.3-x2O,

解得：xW3.

故答案为：xW3.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出3-x的取值范围是解题关键.

12.分解因式：3a2-12ab+12b2=3(a-2b)2.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.

【解答】解：3a2-12ab+l2b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.

故答案为：3(a-2b)2.

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后

再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底.

13.一个多边形的内角和为900。，则这个多边形的边数为7.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】方程思想.

【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°,列出方程，解出即可.

【解答】解：设这个多边形的边数为n,则有

(n-2)X180°=900°,

解得：n=7,

...这个多边形的边数为7.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题.

14.设m,n是方程x?-2x-2019=0的两个实数根，则舟1?的值为4036.

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据根与系数关系可得m+n=2,mn=-2019,然后即可求得答案.

【解答】解：..F，n是方程x?-2x-2019=0的两个实数根，

Am+n=2,mn=-2019,

.,.m2+n2=(m+n)2-2nlm=4-2(-2019)=4036,

故答案为：4036.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是求出m+n=2,mn=-2019,此题难度不大.

x-a>0

15.若关于x的一元一次不等式组1°有解，则a的取值范围是a<l.

2x-2<1-x

【考点】不等式的解集.

【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用.

【分析】不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出a的范围即可.

%>a

【解答】解：不等式整理得：.：J

由不等式有解，得到aVL

则a的范围是a<L

故答案为：a<l

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.

16.如图，ZkABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFLAE于F,AB=5,AC=3,则DF的长为1.

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.

【分析】延长CF交AB于G,由对称性判断出aAGC是等腰三角形，求出AG=AC,CF=GF,再求出BG,然后根据

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=-1-BG.

【解答】解：如图，延长CF交AB于G,

•••AE是角平分线，CF±AE,

.•.△AGC是等腰三角形，

AAG=AC=3,CF=GF,

ABG=AB-AG=5-3=2,

TAD是中线，

ABD=CD,

ADF是ABCG的中位线,

.\DF=-7-BG=4X2=1.

22

故答案为：1.

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助

线构造成等腰三角形和DF是中位线的三角形是解题的关键.

17.如图，已知点A”A2,…，A”均在直线y=x-1上，点B“B2,B.均在双曲线y=-工上，并且满足：AB

x

JLx轴，BiAzJLy轴，A2B2±xtt，BA-Ly轴，…，AnBnJLx轴，BA”J_y轴，…，记点人的横坐标为3n(n为正整

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】规律型.

【分析】首先根据ai=-1,求出a?=2,a3=g，4=-1，a$=2,…，所以a”a2,a3,出，a$,…，每3个数一个循

环，分别是-1、2、1；然后用2019除以3,根据商和余数的情况，判断出azM是第几个循环的第几个数，进

2

而求出它的值是多少即可.

【解答】解：•••如=-1,

；.Bi的坐标是(-1,1),

...Az的坐标是(2,1),

即a2=2,

Va2=2,

.♦.Bz的坐标是（2,-y）,

.♦.As的坐标是（',-,

即8a考■'

•'4，

；.B3的坐标是（',-2）,

；・4的坐标是（-1,-2）,

即为二-L

Va4=-1,

・・・B4的坐标是（-1,1）,

•••As的坐标是（2,1）,

即8.5=2,

9

Aai,a2,a3,孔，a5,…，每3个数一个循环，分别是-1、2、y,

V20194-3=672,

・・・a刈9是第672个循环的第3个数，

32019=~»

2

故答案为：费.

【点评】（1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①

图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关

于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定

值|k|.

（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数丫=1«+人

（k#0,且k,b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-4,0）；与y轴的交点坐标是（0,

k

b）.直线上任意一点的坐标都满足函数关系式尸kx+b.

18.已知n是关于x的一元二次方程x'+m、-2m=0（m为实数）的一个实数根，则n的最大值是1.

【考点】一元二次方程的解.

【分析】由n是方程的根可得nm2-2m+n2=0且4=（-2）2-4n-n2^0,继而可得n的取值范围，即可知n的最

大值.

【解答】解：•••!!是方程x2+m2x-2m=0(m为实数)的一个实数根，

Anm2-2m+n2=0,且4=(-2)2-4n«n2^0,

即4-4「20,

.♦.nWl,

贝IJn《L

.♦.n的最大值为1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查一元二次方程的解与根的判别式，根据题意得出关于n的不等式是解题的关键.

三、解答题：本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

19.⑴计算弓)F1-b|-(-3)我；

【考点】分式的乘除法；实数的运算；零指数幕；负整数指数塞.

【专题】计算题；分式.

【分析】(1)原式利用零指数幕、负整数指数嘉法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可得到结果;

(2)原式利用除法法则变形，约分即可得到结果.

【解答】解：⑴原式=2+百-1-1-2=6-2；

«—I(a+2)(a-2)

(2)原式=------•-；-------5--,(a+1)(a-1)=-(a-2)(a+1)=-a+a+2.

a+2(a-1)2

【点评】此题考查了分式的乘除法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.2019年3月28日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次“安

全知识竞赛”.为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列两幅统计图(说

明：A级：90〜100分；B级：75〜89分；C级：60〜74分；D级：60分以下).请结合图中提供的信息，解答

下列问题：

(1)求扇形统计图2中C级所在的扇形的圆心角度数；

(2)请把条形统计图1补充完整并写出计算过程；

(3)若该校共有2000名学生，请你估计安全知识竞赛中A级和B级的学生一共有多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.

【分析】(1)利用C级所在的扇形的圆心角度数=C级的百分比X360°求解即可，

(2)先求出抽样总人数，现求出C级的学生数即可作图.

(3)利用安全知识竞赛中A级和B级的学生数=总人数X(A级的百分比+B级的百分比)求解即可.

【解答】解：(1)C级所在的扇形的圆心角度数为(1-49%-36%-5%)X360°=36°,

(2)抽样总人数为49・49%=100人，C级的学生数为100义10%=10人；作图，

(3)安全知识竞赛中A级和B级的学生数为2000X(49%+36%)=1700人.

【点评】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从条形统计图及扇形统计图中

得到准的信息.

21.如图，在QABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.

(1)求证：△AEB@Z\CFD；

(2)若四边形EBFD是菱形，求NABD的度数.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；

(2)由菱形的性质可得：8£=»£,因为/£8»+/£»8+/人+/他£=180°,所以/皿》=/g£+/£8»=1-乂180°=90°,

问题得解.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

.♦.NA=NC,AD=BC,AB=CD.

:点E、F分别是AD、BC的中点,

.♦.AEWAD,FC=-J-BC.

22

，AE=CF.

在AAEB与ACFD中，

rAE=CF

，ZA=ZC.

,AB=CD

/.△AEB^ACFD(SAS).

(2)解：•.•四边形EBFD是菱形，

/.BE=DE.

NEBD=NEDB.

VAE=DE,

.\BE=AE.

:.NA=NABE.

VZEBD+ZEDB+ZA+ZABE=180°,

/.ZABD=ZABE+ZEBD=~X180°=90°.

2

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、等腰三角形的判断和性质,

题目的综合性较强，难度中等.

22.如图，管中放置着三根同样的绳子AAi、BBi、CG；

(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AAi的概率是多少？

(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端4、Bi、G三个绳头中随机选两个打一

个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】计算题；分类讨论.

【分析】(1)三根绳子选择一根，求出所求概率即可；

(2)列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率.

【解答】解：(1)三种等可能的情况数，

则恰好选中绳子AAi的概率是a;

(2)列表如下:

ABACBC

ABXVV

A£VXV

B£VVX

所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种,

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，AB是。。的直径，D为。0上一点，过加上一点T作。0的切线TC,且TCJ_AD于点C.

(1)若NDAB=50°,求NATC的度数;

(2)若。0半径为2,CT=V3»求AD的长•

【考点】切线的性质.

【分析】(1)连接0T,根据同角的余角相等得出NCAD=NATO,进而得出NDAB=2CAT,解答即可;

(2)过0作OEJ_AC于E,连接OT、0D,得出矩形OECT,求出OT=CE,根据垂径定理求出DE,根据矩形性质求

出OT=CT,根据勾股定理求出即可.

【解答】解：(1)连接0T,如图1：

VTCXAD,。0的切线TC,

NACT=N0TC=90°,

二NCAT+NCTA=NCTA+NATO,

，ZCAT=ZATO,

VOA=OT,

NOAT=NATO,

AZDAB=2ZCAT=50°,

；.NCAT=25°,

...NATC=90°-25°=65°；

(2)过0作OEJ_AC于E,连接OT、OD,如图2：

VAC±CT,CT切00于T,

N0EC=NECT=N0TC=90°,

四边形OECT是矩形,

；.0T=CE=0D=2,

V0E±AC,OE过圆心0,

.,.AE=DE=-AD,

2

・"T=0E=6,

2

在RtZ\OED中，由勾股定理得：ED-7OD-0E2=722~（V3）2=1,

；.AD=2.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的运

用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，具有一定的代表性.

24.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构

成的NBAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE

是多少cm?

(结果精确到0.1cm,参考数据：Q41.732)

【考点】解直角三角形的应用.

【分析】根据sin30°金，求出CM的长，根据sin60°罂，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长.

BCBA

【解答】解：由题意得：AD1CE,过点B作BM_LCE,BF±EA,

•.•灯罩BC长为30cm,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,

VCMXMB,即三角形CMB为直角三角形,

.•.sin30。圣,

BC30

.*.CM=15cm,

在直角三角形ABF中，sin60°二F震.F,

BA

.V3_BF

解得：BF=20代,

XZADC=ZBMD=ZBFD=90°,

...四边形BFDM为矩形,

...MD=BF,

二CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20J?2451.6cm.

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm.

【点评】这个题运用几何知识，和现实较为好的联系起来.

25.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数yi=2x?-4mx+2m和y2=x，bx+c,其中yi的图象经过点A(1,1),若yi+y2为

X为“同簇二次函数”，求函数yz的表达式，并求当04xW3时，yz的取值范围.

【考点】二次函数的性质.

【专题】新定义.

【分析】(1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”

的函数表达式即可.

(2)由1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值，然后根据以+yz与外为“同簇二次函数''就可以求出函数

月的表达式，然后将函数yz的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题.

【解答】解：(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,

当a=2,h=3,k=4时，

二次函数的关系式为y=2(x-3)2+4.

V2>0,

.•.该二次函数图象的开口向上.

当a=3,h=3,k=4时，

二次函数的关系式为y=3(x-3)，4.

V3>0,

...该二次函数图象的开口向上.

1•两个函数y=2(x-3)与y=3(x-3)红4顶点相同，开口都向上，

...两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)是“同簇二次函数”.

.♦.符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.

(2)•••力的图象经过点A(1,1),

.,.2Xl2-4XmXl+2m2+l=l.

整理得：m2_2m+l=0.

解得：mi=m2=l.

yi=2x2-4x+3=2(x-1)2+l,

.*•yi+y2=2x2-4x+3+x2+bx+c=3x2+(b-4)x+(c+3),

•••yi+yz与4为“同簇二次函数”，

yi+Y2=3(x-1)2+1=3X2-6x+4，

2

，函数y2的表达式为：y2=x-2X+1.

Ay2=x2-2x+l=(x-1)②，

函数为的图象的对称轴为x=l.

Vl>0,

函数yz的图象开口向上.

当0WxW3时，•.•函数yz的图象开口向上，

...yz的取值范围为0WyzW4.

【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质(开

口方向、增减性)，考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解是解决第二小题的关键.

26.(2019•成都)“城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道

建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米

/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，且当0VxW28时，V=80；当28VxW188时，V是x的一次函数.函

数关系如图所示.

(1)求当28VxW188时，V关于x的函数表达式；

(2)若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆/时)达到最大，并求出

这一最大值.

(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度火车流密度)

v(千米时)

x(辆千米)

【考点】一次函数的应用.

【专题】数形结合.

【分析】(D设函数解析式为y=kx+b,将点(28,80),(188,0)代入即可得出答案.

(2)先有车流速度V不低于50千米/时得出x的范围，然后求出P的表达式，继而根据二次函数的最值求解方

法可得出答案.

【解答】解：(1)设函数解析式为丫=1«+1),

则(28k+b=80,

(188k+b=0

fk-

解得：2,

lb=94

故V关于X的函数表达式为：V=-/x+94(28VxW188)；

(2)当V，50时，包含V=80,由函数图象可知，

当V=80时，0VxW28,此时P=80x,P是x的增函数，

当x=28时，P最大=2240,

由题意得，V=--x+94^50,

2

解得:xW88,

又P=Vx=(x+94)x=--X2+94X,

22

当28<xW88时，函数为增函数，即当x=88时，P取得最大值，

故Pmax=--X882+94X88=4400,

2

V2240<4400,

所以，当x=88时，P取得最大为4400,

答:当车流密度达到88辆/千米时，车流量P达到最大，最大值为4400辆/时.

【点评】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值

的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式.

27.如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=4,点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C,D两点).连

接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图).

设CP=x,DE=y.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围；

(3)当m=8时，是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在,

请说明理由.

【考点】四边形综合题.

【分析】(1)由△CPMs—EP得冷瞿由此即可解决问题.

(2)y=-£x2+2mx,根据函数的最大值是4,列出不等式即可解决问题.

(3)存在，过P作PH垂直于AB,由对称的性质得到：PD'=PD=8-x,ED'=ED=y=-》+4*,EA=AD-ED=3x?

-4x+4,NPD'E=ZI>90°,在RtZM)'PH中，PH=4,D'P=DP=8-x,根据勾股定理表示出D'H,再由aED'A

PH,由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意

的x的值.

【解答】解：(1)：(1)VPE±PM,.-.ZEPM=90°,

二NDPE+NCPM=90°,

又矩形ABCD,/.ZD=90°,

AZDPE+ZDEP=90",

AZCPM=ZDEP,又NC=ND=90°,

/.△CPM^ADEP,

.CP_CM

“DEDP'

又CP=x,DE=y,AB=DC=m,.*.DP=m-x,

又M为BC中点,BCM,ACM=2,

•.•x_2,

yID-X

I2I

•・y=1-x+—inx・

22

.,.m2^32,

Vm>0

.W4M.

(3)存在，过P作PHJ_AB于点H,

•••点D关于直线PE的对称点D'落在边AB上，

，PD'=PD=8-x,ED'=ED=y=-1+4x,EA=AD-ED=ix2-4x+4,NPD'E=ZD=90°,

在RtZJTPH中，PH=4,D'P=DP=8-x,

根据勾股定理得：D'H=J(8_x)2-4建Jx?-16x+48,

VZED7A=180°-90°-NPD'H=90°-ZPDZH=ND'PH,NPD'E=ZPHD,=90°,

.'.△ED'AS/\D'PH,

12

骷普即,-5x+4x=?x-4x+4,

8-xVX2-16X+48

整理得:x2-4x+2=0,

解得：x=2±>/2-

当x=2+亚时，y=5+2近>4,

此时，点E在边DA的延长线上，D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，所以舍去.

当x=2-a时，尸5-2近V4,此时，点E在边AD上，符合题意.

所以当x=2-、月时，点D关于直线PE的对称点6落在边AB上.

【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及

一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

28.如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴相交于M,N两点，并且与双曲线y=K(k>0)相交于A,B两点,

x

过点A作ACJ_y轴于点C,过点B作BD_Lx轴于点D,AC与BD的延长线交于点E(m,n).

(1)求证:EC国

EA/

(2)若铛=，求K>2x-2的x的取值范围；

DM2X

(3)在(2)的条件下，P为双曲线上一点，以OB,0P为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第

四个顶点Q的坐标.

【考点】反比例函数综合题.

【分析】(1)设A(xi,*-),B(X2,，则有AE=XI-X2,EC=-x2,ED=~^~,首先证明碑■

X[x2X]X?X]BE

萼，由此即可解决问题.

(2))由DM〃AE,得设A(m,n)贝!)B(-警，-2n)，把A、B代入y=2x-2得到，"一”，

BDBM22-2n=4m-2

解得"2,求出A、B两点坐标即可解决问题.

{DP2

(3)因为点B是定点，0B是定长，所以要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出0P的最小值即可，由

P在y」上，设P(a,—),因为。出/+工!"(n-9)2+8,所以当n-亘=0时，0P。的值最小，由此即可解决

xannn

问题.

kkkkk

【解答】(1)证明：设A(xi,---),B(x2,---),则有AE=Xi-Xz,BE=-----,EC=-x2,ED=~,

X[^2*2x1

.AEEC

^BEED

.EC_ED

,,EA'EB

(2)VDM/7AE,

.DEAM1

*'BDBM2'

.*.A(m,n)则B(一g-2n),

2

n=2m-2

把A、B代入y=2x-2得到J

-2n=4m-2'

ITF2

解得

n=2

r.A(2,2),B(-1,-4),

由图象可知，K>2x-2时，xV-1或0VxV2.

(3)由(2)可知反比例函数解析式为y.，A(2,2),B(1,-4),

x

V四边形OBPQ是平行四边形，

.\OB=PQ,PO=BQ,

,•,点B是定点，...OB是定长，

...要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出0P的最小值即可，

：P在y=9上，设P(a,—),

xa

16,4x9

A0P29=n29+—7=(n--)+8,

nn

.,.当n-9=0时，OP?的值最小，

n

.1n=±2时，0P有最小值，

，P(2,2)或(-2,-2),Q(1,-2)或(-3,-6).

【点评】本题考查反比例函数综合题、坐标与图象的性质.相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和