量子化学与群论习题

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?为厄米算符.1.证明Px?x?.??x?P2.验证Pxx?和P?可对易.3.证明Pxy4.试求在一维无限深势阱中运动的电子在基态时的x,Px,x2,Px2,?Px,?x,?x?Px.

*5.证明在一维深势阱中运动的质点的不同波函数相互正交.(证明??n?mdx?0)6.函数

?(x)?2?2asin?xa?3?2asin2?xa是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其

能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值.7.用变分函数??xL?x2,求一维势箱中(0?x?L,V(x)?0;x?0或x?L,V(x)??)粒子的基态能级.8.假定??c1(1?c2r)e9.推导??2?c3r是氢原子Schr?dinger方程的一个解,求出c1,c2,c3,E.

?22?x?2?22?y??22?z在球坐标系和柱坐标系中的表达式.

10.设??Ae能级E.

?cr为氢原子1s态波函数的试探函数,计算归一化常数A,确定变分参数c及

11.对一维势箱中的粒子用变分法求解.在?1?x?1时,V?0;其他状况下,V??.设

?1?1?x,?2?1?x,构造试探函数??c1?1?c2?2,求H11,H12,H21,H22,S11,S12,S21,S22以

24及能级E1,E2.

12.假定氢原子的1s波函数的特解为??Ne??r,用待定系数法求?,E1s,N.

13.一粒子在有一个小势坑的一维盒中运动,V??,x?0,x?L;V??b,0?x?L/2;“规则的〞刚性盒(V??,x?0,x?L;V?0,0?x?L)的V?0,L/2?x?L.将势坑视为一个

一个微扰,求出基态的第一级能级.VVEV0

V=0}bx=0x?L/2x=L0x

14.若粒子从左边入射，求上图所示一维阶梯势（E?V0）的反射系数和透射系数.15.上题这若V0?3E/4,计算在x?0处被反射的粒子的几率(反射系数为多少).16.设G一切不等于零的有理数集合,证明G对于数的乘法构成一个群.

17.设G?{?1,0,1},对于加法是否构成一个群?对于乘法是否构成一个群?为什么?18.构造C2V点群的乘法表.

19.验证点群C4?{E,C4,C42,C43}和U?{1,?1,i,?i}?及V?{?,?,?,?}?同构.(α为数的乘法,β为动作,↑立正,↓向后转,←向左转,→向右转)20.将以下C3V的可约表示Г分解为不可约表示.

C3V?E32C303σV121.将以下C2V的可约表示Г分解为不可约表示.

C2V?E5C2-1σV-3??V-122.以CH4分子中的4个氢原子的1s轨道为基,求该可约表示的特征标表,并将它分解为不可约表示.

23.将CH4分子中的4个氢原子的1s轨道组合成为对称性匹配函数.

?(z)??;b):C?(x)C?(y)?C?(z);c):??(z).?xy?i?yz??xz?C24.用对称操作的表示矩阵证明a):C2222225.求反式二氯乙烯分子中以2个氢原子的1s轨道为基的表示的特征标,并将其分解为不可约表示.

26.写出以下点群以(x,y,z)为基的表示矩阵a):C4;b):D2h;c):D4h;d):Td.27.氢