2023年全国高中数学青年教师展评课基本不等式教学设计宁夏北

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《基本不等式》教学设计

授课教师：宁夏北方民族大学附属中学袁红

教材：人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4基本不等式（第一课时）课时：1课时一.教学内容分析

《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲求从直观性上学习，重视每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都表达出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a2?b2?2ab(a,b?R).在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有规律推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.

因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度摸索基本不等式的证明过程.

二．教学目标设置

《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①摸索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：

（1）通过观测图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和规律推理能力；

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（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.

（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.

三．学生学情分析

学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，把握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.

在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简单结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需细心观测，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想简单忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的规律推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度摸索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.

四．教学策略分析

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明〞为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、探讨问题的机遇，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、摸索问题、解决问题的能力.

五、教学过程设计1.创设情境

赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请学生在学案上课前完成：

S大正方形?4S直角三角形?S小正方形

12?c2?4?ab??a?b??a2?b2.）

2右图是在北京召开的第24届国际

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数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.

赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还记得这个证明过程吗？

（请学生表述推导过程，教师课件展示.）

在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？观测变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？

（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观测并归纳：生1：S大正方形?4S直角三角形，得a2?b2?2ab；生2：S小正方形?0，得?a?b?2?0.）

介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，表达数学的文化价值，渗透爱国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面浮现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识明了、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.

对于两直角边a、b，有a2?b2?2ab.上式中何时等号成立？

(请学生说明：当a?b时,a2?b2?2ab；当a?b，a2?b2?2ab.教师归纳:当且仅当a?b时，等号成立.)

上式对正实数是成立的，那么对任意实数a、b，上式都成立吗？请证明自己的结论.

（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法〞证明.教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调a?b和a?b两种状况，说明“当且仅当〞的含义.）

由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对

ab-3-

任意实数a、b，有a2?b2?2ab，当且仅当a?b时，等号成立.

思考2请学生探讨等号成立的条件，了解“当且仅当〞的含义，由于此时学生还没有学习简易规律的相关知识，无需从“充分必要条件〞的角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既表达了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又稳定了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫.在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.

2.基本不等式

a?b?ab(a?0,b?0)2实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的表达，我们再看这样一个情境.

如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为a、b，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？

（请学生自主探究完成，并说明：

aS1S4S3bS2生1：S1?S2?a2?b2，S3?S4?2ab，由不等式a2?b2?2ab

得：S1?S2?S3?S4，当且仅当a?b时，等号成立.

生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的

正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：

S1?S2?S3?S4）

若设切分出的两正方形的面积分别为a、b,根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？

(请学生说明：若两正方形的面积分别为a、b，则其边长分别为a、b，得：a?b?2ab?a?0,b?0?当且仅当a=b时，等号成立.)

ab由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式

a?b?2a?b?a?0,b?0?，当且仅当a=b时，等号成立.

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从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式a2?b2?2ab，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法〞在图形中表达不等式a2?b2?2ab.进而提出引申问题，自然地由不等式为基本不等式的产生构造几何背景，a2?b2?2ab过渡到a?b?2ab?a?0,b?0?，

并在图形中透露不等式a2?b2?2ab与不等式a?b?2ab?a?0,b?0?的内在联系.

回想不等式a?b?2ab?a?0,b?0?（①）的生成过程中，你发现它与不等式a2?b2?2ab（②）有怎样的联系呢？

（请学生说明：

a2?b2?2ab生1：

?a2?b2?2ab?4ab??a?b??4ab,a?0,b?0?a?b?2ab2

生2：由于a?0,b?0，在②式中用a代替a，b代替b即得①式.生3：在②式中用a代替a2，b代替b2即得①式.）

激发学生的思维，使其从多角度发现不等式a2?b2?2ab与不等式a?b?2ab?a?0,b?0?的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的