2023年广西贵港市桂平市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西贵港市桂平市中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出30元”记作（）A．﹣20元 B．+20元 C．+30元 D．﹣30元2．所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，从正面看，所看到的图形是（）A． B． C． D．3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m4．以下调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D．为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查5．下列运算，正确的是（）A．a+2a＝3a2 B．a2•a3＝a6 C．a3+a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a26．下列对一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况判断中正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定7．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°8．一元一次不等式组的解集为（）A． B． C． D．9．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A． B． C． D．10．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（）A．πm2 B．5πm2 C．4πm2 D．3πm211．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（）A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+10212．如图，点A（m，1）和B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S1，△OBA面积记作S2，则（）A．S1：S2＝2：1 B．S1：S2＝1：2 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝4：5二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）13．若分式有意义，则x的取值范围是．14．因式分解：4a﹣ab2＝．15．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是．16．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：＝13，＝13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是（填“甲”或“乙”）．17．如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，﹣4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19．计算：．20．解方程：x2﹣6x+8＝0．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．（1）画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2；请在网格中画出△A2B2C2；（3）△CC1C2的面积为，A2的坐标为．22．疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．整理数据：班级人数x（分）x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100前进班11a3b奋斗班10072分析数据：平均数众数中位数方差前进班82.685c194.24奋斗班82.6d84132.04根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AM∥BD，交CB的延长线于点M．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形是BEDF菱形，AD＝3，∠ABD＝30°，求四边形AMBD的面积．24．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？25．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出30元”记作（）A．﹣20元 B．+20元 C．+30元 D．﹣30元【分析】根据正数与负数是表示具有相反意义的量直接得出答案．解：∵收入50元，记作“+50元”．且收入跟支出意义互为相反．∴支出30元，记作“﹣30元”．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数的实际意义，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．2．所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，从正面看，所看到的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图的概念求解可得．解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．故选：B．【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：因为1nm＝10﹣9m，所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4．以下调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D．为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；D、为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．5．下列运算，正确的是（）A．a+2a＝3a2 B．a2•a3＝a6 C．a3+a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a2【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．解：A、a+2a＝3a，故选项错误，不符合题意；B、a2•a3＝a2+3＝a5，故选项错误，不符合题意；C、a3与a4不是同类项，无法合并，故选项错误，不符合题意；D、（﹣3a）2＝9a2，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键．6．下列对一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况判断中正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得出Δ＝17＞0，进而即可得出一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．解：这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．解：∵∠BOC＝130°，点A在上，∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．一元一次不等式组的解集为（）A． B． C． D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解：由x﹣1≥0得，x≥1，故此不等式组的解集为：1≤x＜2．故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，故选：C．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（）A．πm2 B．5πm2 C．4πm2 D．3πm2【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．解：圆锥的底面周长＝2πr＝2π×2＝4π（米），∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的侧面积＝lr＝×4π×2.5＝5π（平方米）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．11．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（）A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB＝（x+1﹣5）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（x+1﹣5）2．解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x+1﹣5）2，故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．12．如图，点A（m，1）和B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S1，△OBA面积记作S2，则（）A．S1：S2＝2：1 B．S1：S2＝1：2 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝4：5【分析】过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到A（4，1），B（﹣2，﹣2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△ABK﹣S△AON﹣S梯形ONK求B得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．解：点A（m，1），点B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．∴m×1＝﹣2n＝4，∴m＝4，n＝﹣2，∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），∴S1＝4，作BK⊥PN，交AN的延长线于K，则AN＝4，ON＝1，AK＝6，KB＝3，∴S2＝S△ABK﹣S△AON﹣S梯形ONKB＝×6×3﹣×2×4×1﹣（1+3）＝3，∴S1：S2＝4：3，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）13．若分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可得解．解：根据题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．14．因式分解：4a﹣ab2＝a（2+b）（2﹣b）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（4﹣b2）＝a（2+b）（2﹣b），故答案为：a（2+b）（2﹣b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是110°．【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．解：如图所示，由题意可知l∥l'，∵l∥l'，∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠1＝70°，∴∠3＝110°，∴∠2＝∠3＝110°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：110°．【点评】本题考查平行线的性质，会找同旁内角、内错角并利用性质进行推理是解题关键．16．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：＝13，＝13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是甲（填“甲”或“乙”）．【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．故填甲．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，﹣4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为（﹣2.2）．【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可得结论．解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．∵A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°，∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CAH＝∠ABO，在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴C（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是﹣1．【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，OA＝OB＝，得出AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝2﹣2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，即可得出结果．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19．计算：．【分析】原式利用乘法分配律，乘方的意义，以及除法法则计算即可求出值．解：原式＝6×﹣6×﹣4÷＝2﹣3﹣4×4＝2﹣3﹣16＝﹣17．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解方程：x2﹣6x+8＝0．【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．（1）画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2；请在网格中画出△A2B2C2；（3）△CC1C2的面积为9，A2的坐标为（3，5）．【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据位似的性质画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式求出即可．解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如上图所示：△CC1C2的面积为×3×6＝9．A2的坐标为（3，5）．故答案为：9，（3，5）．【点评】本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力．22．疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．整理数据：班级人数x（分）x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100前进班11a3b奋斗班10072分析数据：平均数众数中位数方差前进班82.685c194.24奋斗班82.6d84132.04根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．【分析】（1）根据题意可得a、b的值，根据中位数和众数的定义可得c、d的值；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）根据平均数，众数、中位数以及方差的定义解答即可．解：（1）由题意可知，a＝1，b＝4，把前进班学生的成绩从小到大排列为52，66，73，85，85，85，94，94，95，97，故中位数c＝＝85；奋斗班学生的成绩中出现次数最多的是84，故众数d＝84；（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，所以小林同学的成绩大于他所在的班的中位数，所以小林同学在奋斗班；（3）奋斗班的方差小于前进班，成绩比较稳定．【点评】此题考查了频数（率）分布表、方差，中位数以及众数，解题的关键是掌握相关统计量的定义．23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AM∥BD，交CB的延长线于点M．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形是BEDF菱形，AD＝3，∠ABD＝30°，求四边形AMBD的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先得出四边形ADBM是矩形，进而利用勾股定理得出得出BD的长，进而得出其面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠DAE＝∠BCF，又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）解：∵AD∥BC，AM∥BD，∴四边形ADBM是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠AED＝60°，∵AE＝BE，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBM是矩形，∵AD＝3，∠ABD＝30°，∠ADB＝90°，∴AB＝6，BD＝3，∴四边形ADBM的面积为：3×3＝9．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质和菱形的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．24．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得＝，解得：x＝2000．经检验，x＝2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得y＝（2000﹣200﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），y＝﹣300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y＝﹣300a+36000．∴k＝﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a＝20时，y有最大值，∴B型车的数量为：60﹣20＝40（辆）．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．25．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO＝∠PBO＝90°；（2）首先证明BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a，再证明BC＝PB＝PA＝2a，由△PAK∽△POA，可得PA2＝PK•PO，设PK＝x，则有：x2+ax﹣4a2＝0，解得x＝a（负根已经舍弃），推出PK＝a，由PK∥BC，可得＝＝；【解答】（1）证明：连接OP、OB．∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，∵PA＝PB，PO＝PO，OA＝OB，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）设OP交AB于K．∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵PA、PB都是切线，∴PA＝PB，∠APO＝