大学物理其次册习题答案（匡乐满主编）1

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习题八

8-1根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强E

→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

?解:E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-2在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=

q24??0d2,又有人说，由于f=qE,E?q，所?0Sq2以f=．试问这两种说法对吗?为什么?f终究应等于多少?

?0S解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，其次种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解允许为一个?0S2板的电场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用?2?0S2?0S2?0Sq的电场力．

8-3一个点电荷q放在球形高斯面的中心，试问在以下状况下，穿过这高斯面的E通量是否改变？高斯面上各点的场强E是否改变？

(1)另放一点电荷在高斯球面外附近.(2)另放一点电荷在高斯球面内某处.

(3)将原来的点电荷q移离高斯面的球心，但仍在高斯面内.(4)将原来的点电荷q移到高斯面外.

答：根据高斯定理，穿过高斯面的电通量仅取决于面内电量的代数和，而与面内电荷的分布状况及面外电荷无关，但各点的场强E与空间所有分布电荷有关，故：

(1)电通量不变，?1＝q1/?0，高斯面上各点的场强E改变

(2)电通量改变，由?1变为?2＝(q1＋q2)/??0，高斯面上各点的场强E也变

(3)电通量不变，仍为?1．但高斯面上的场强E会变。(4)电通量变为0，高斯面上的场强E会变.

8-4以下各种说法是否正确，并说明理由.

(1)场强为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，场强也一定为零.(2)在电势不变的空间内，场强一定为零.

(3)电势较高的地方，场强一定较大；场强较小的地方，电势也一定较低.(4)场强大小相等的地方，电势一致；电势一致的地方，场强大小也一定相等.(5)带正电的带电体，电势一定为正；带负电的带电体，电势一定为负.(6)不带电的物体，电势一定为零；电势为零的物体，一定不带电.

?答：场强与电势的微分关系是,E???U.场强的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，

?参考零点?方向为电势下降的方向。场强与电势的积分关系，UP??E?dl

p因此,

(1)说法不正确.(2)说法正确.(3)说法不正确.(4)说法不正确(5)说法不正确(6)说法不正确.

－

8-5如下图，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1＝1.8×109C，B点处有点电荷

－

q2＝－4.8×109C，试求C点处的场强.解：如图建立坐标y

q2?1q1?i?j

4??0r224??0r12???E?27000i?18000j

14

-1

?E?大小:E=3.24×10V﹒m,方向:tan??2??,?=-33.70Ex3Eyx

习题8-5图

－－

8-6均匀带电细棒，棒长L＝20cm，电荷线密度λ＝3×108C·m1.求：(1)棒的延长线上与棒的近端相距d1＝8cm处的场强；(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2＝8cm处的场强.解：如下图

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEyQAd20dxBaxPdEP?1?dx

4π?0(a?x)2d1EP??dEP??4π?0?L2L?2dx

(a?x)23?10?8?0.2?11?L??[?]??122222LL4π?0a?π?0(4a?L)3.14?8.65?10(4?0.18?0.2)a?24

2=0.24654×10N.C,方向水平向右(2)同理

dEQ?-1

1?dx方向如下图224π?0x?d2由于对称性dEQxl???0，即EQ只有y分量，

1?dx24π?0x2?d2d2x?d222∵dEQy?

EQy??dEQyld??24π?2?L2L?2dxd2?xL/2?|?L/2223/22224π?2d2(x?d2)(x?d2)??x?LL/2|??L/222224π?2d2x?d22π?2d2L?4d23?10?8?0.22?3.14?8.85?10?12?0.08?0.22?4?0.082方向沿y轴正向

=0.526×10N.C

4

-1

?

－

8-7用均匀带电q＝3.12×109C的绝缘细棒弯成半径R＝50cm的圆弧，两端间隙d＝2.0cm，求圆心处场强的大小和方向.

解：取一圆弧，对称建一坐标如图示。在圆弧上取dl=Rd?,dq??dl?R?d?y在O点产生场强大小为

dE??Rd?方向沿半径方向24π?0R?2

??1

x

则dEx??dEcos???cos?d?

4π?0R?sin?d?

4π?0RdE

dEy??dEsin???积分Ey????21?dEy???2?1???sin?d??(cos?2?cos?1)

4π?0R2π?0R根据圆对称性，圆心处场强只需计算密度一致的异号间隙弧长电场。

??l2?q????,????0.04rad,?1??,?2??,

2πR?0.02R502222?q????q?Ey?[cos(?)?cos(?)]?sin

2π?0R(2?R?0.02)22222π?0R(?R?0.01)23.12?10?9Ey??0.02=0.7720N.C-1?122?3.14?8.85?10(3.14?0.50?0.01)方向指向间隙中心。

8-8(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)假使该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?

??q解:(1)由高斯定理?E?dS?

s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴各面电通量?e?q．6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q6?0q，24?0对于边长a的正方形，假使它不包含q所在的顶点，则?e?假使它包含q所在顶点则?e?0．

如题8-8(a)图所示．题8-8(3)图

题8-8(a)图题8-8(b)图题8-8(c)图

8-9如下图，电荷面密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，求通过此半球面的电通量.解：均匀无限大带电平面的电场

?，方向：垂直平面2?0?2?R2电通量：??E?R?2?0大小：E?习题8-9图

－

8-10有证据说明，地球表面以上存在电场，其平均值约为130V·m1，且指向地球表面，试由此推算整个地球表面所带的负电荷.(地球平均半径R＝6.4×106m)解：若地球看成导体球，则E?q4??0R2

q?E?4??0R2?134?4?3.14?8.85?10?12?(6.4?106)2=6.10095×105C,

8-11均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强．

?5-3

???q解:高斯定理?E?dS?,E4πr2?s?0?q

?0?cm当r?5时，?q?0,E?0

r?8cm时，?q?p4π33(r?r内)3?∴E?4π32r?r内4?13，方向沿半径向外．?3.48?10N?C24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内）3?∴E?4π33r外?r内4?13?4.10?10N?C沿半径向外.24π?0r??8-12半径为R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2)R1＜r＜R2；(3)r＞R2处各点的场强．

???q解:高斯定理?E?dS?

s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

??则?E?dS?E2πrl

S对(1)r?R1

?q?0,E?0

?q?l?

(2)R1?r?R2∴E??沿径向向外

2π?0r(3)r?R2

?q?0

∴E?0

ρ0

8-13设气体放电形成的等离子体圆柱内电荷体密度为ρ(r)＝.其中，r是到轴线的

r22

[1＋()]

a

距离，ρ0是轴线上的电荷体密度，a为常数，求圆柱体内的电场分布.

解：根据场源是轴对称性的,取一圆柱形的高斯面

???E?dS?S?q?0

i

??????s上??E?ds???s下????E?ds??E?ds

?s侧r

9-8点电荷＋q处于导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为R1和R2，试求电场强度和电势分布.

解：球壳内表面将出现负的感生电荷-q，外表面为正的感生电荷+q．由高斯定理求场强

???E?ds?s?q?0i内

2r>a)，若导体球带电，可认为球面上电荷均匀分布).解：两球相距很远，近似孤立，两球电势差为：

LU1?，U2??

a4??0a4??0aa系统电容C?Q＝2??0a

U1?U2

9-16一半径为R，带电量为Q的金属球，球外有一层均匀电介质组成的同心球壳，其内、外半径分别为a，b，相对介电常量为εr.求：(1)电介质内、外空间的电位移和场强；(2)离球心O为r处的电势分布；(3)假使在电介质外罩一半径为b的导体薄球壳，该球壳与导体球构成一电容器，这电容器的电容多大.

??解：(1)D,E分布

取同心球面为高斯面

εr.??由高斯定理?D?ds??qi

s??导体球内：(r??Q?Q?E?r，D2?r24??0r34?r3介质内：(ab)

?Q?Q?E?r，D4?r44??0r34?r3(2)电势分布rb：U4?(3)该球壳与导体球构成电容器的电容:

?U?U1?Q4??0(1(?r?1)(b?a)?)R?rabC?4??0?rabRQ?)?UR(b?a)??rb(a?R)

9-17如下图，极板面积S＝40cm2的平行板电容器内有两层均匀电介质，其相对介电常量分别为εr1＝4和εr2＝2，电介质层厚度分别为d1＝2mm和d2＝3mm，两极板间电势差为200V.试计算：(1)每层电介质中各点的能量体密度；(2)每层电介质中电场的能量；(3)电容器的总能量.

解：(1)在电介质中D1=D2=?

?,?0?r1?E2?

?0?r2E1?习题9-17图

????d1d2??U12??E?dl?E1d1?E2d2????1?0???r2??r1???U??0r1r2

d1?r2?d2?r1211?21?r2U1U2222w1??0?r1E1??0?r1()??0?r1()??0?r1?r222?0?r12d1?r2?d2?r12(d1?r2?d2?r1)212023－2-3?122＝1.11×10J.mw1??8.85?10?4?2??322((2?2?3?4)?10)1U2－3-32同理w2??0?r2?r1＝2.21×10J.m

2(d1?r2?d2?r1)2(2)W1=w1△V1=1.11×10×40×10×2×10=8.88×10J

－2-4-3-7

W2=w2△V2=2.21×10×40×10×3×10=2.65×10J

-7

(3)W=W1+W2=3.54×10J

9-18半径为R1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为

－2

-4

-3

-8

R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C

(1)整个电场储存的能量；

(2)假使将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值．

解:如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q

题9-18图

(1)在r?R1和R2?r?R3区域

?E?0

?在R1?r?R2时E1??r?R3时E2?∴在R1?r?R2区域

?Qr

4π?0r3?Qr34π?0rW1??R2R11Q22?0()4πrdr224π?0r??在r?R3区域

R2R1Q2drQ211?(?)28π?0R1R28π?0r12122W2???0()4πrdr?R328π?0R34π?0r2?Q2111∴总能量W?W1?W2?(??)

8π?0R1R2R3?1.82?10?4J

?(2)导体壳接地时，只有R1?r?R2时E??Qr,W2?034π?0rQ211∴W?W1?(?)?1.01?10?4J

8π?0R1R2(3)电容器电容C?2W11?4π?/(?)02R1R2Q?4.49?10?12F

9-19平行板电容器的极板面积S＝300cm2，两极板相距d1＝3mm，在两极板间有一平行金属板，其面积与极板一致，厚度为d2＝1mm，当电容器被充电到U＝600V后，拆去电源，然后抽出金属板.问：(1)电容器两极板间电场强度多大，是否发生变化？(2)抽出此板需做多少功？

解：(1)极板间有金属板时，相当电容器的极板距离缩小为d1-d2

其电容为C1??0Sd1?d2U600??3?105V.m-1电场强度E??3d1?d22?10电场强度不变

(2)抽出金属板后电容为C2?

?0Sd1

Q?C1U??0SUd1?d21Q21Q21?0SU2111UA?W2?W1???()(?)?()2?0Sd2

2C22C12d1?d2C2C12d1?d216002A??8.85?10?12?300?10?4?10?3=1.19×10-5J?322(2?10)

9-20有一均匀带电Q的球体，半径为R，试求其电场所储存的能量.解：由高斯定理可求得E1?Qr4??0R3(r?R)，E2?Q4??0r2(r?R)

W?12?0R2?0?222?EdV?E?4?rdr?E?4?rdr120???0R222VQ2Q23Q2???40??0R8??0R20??0R

第十章

μ0I

10-1无限长直线电流的磁感应强度公式为B＝，当场点无限接近于导线时(即a→0)，

2πa

磁感应强度B→∞，这个结论正确吗？如何解释？答：结论不正确。公式B??0I只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a→0，导线的2?a尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。

10-2如下图，过一个圆形电流I附近的P点，作一个同心共面圆形环路L，由于电流分布的轴对称，L上各点的B大小相等，应用安培环路定理，可得∮LB·dl＝0，是否可由此得出结论，L上各点的B均为零？为什么？答：L上各点的B不为零.由安培环路定理

???B?dl??0?Ii

i??B得??dl?0，说明圆形环路L内的电流代数和为零，并不

是说圆形环路L上B一定为零。

10-3设题10-3图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合

习题10-2图

曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并探讨：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等??(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

??B解：??dl?8?0

a??ba??B?dl?8?0

c???B?dl?0

(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

???

题10-3图

10-4图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？

答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。

????Idl?r???21)?Idl?(I2dl2?rdF12?I1dl1?022221?01124?r214?r21???习题10-4图??Idl?r??12?0I2dl2?(I1dl1?r?12)011dF12?I2dl2??224?r124?r12???????12)dl2?(dl1?r?12)?IIdl?(dl2?rdF12?dF21?012(?1?)224?r12r12?????????12?dl2)?dl2(r?12?dl1)?12?(dl1?dl2)?0I1I2dl1(r?0I1I2rdF12?dF21?()?224?r124?r12??一般状况下dF12?dF21?0

????0Idl?r???dB?dF?Idl?B24??rr12

r21

由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。

10-5把一根温和的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如下图，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？答：弹簧会作机械振动。

当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会相互吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。习题10-5图

10-6如下图为两根垂直于xy平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I但方向相反的电流.求：(1)x轴上任意一点的磁感应强度；(2)x为何值时，B值最大，并给出最大值Bmax.解：(1)利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感

y强度的大小为：

B1??0I2?r???0I1

2?(d2?x2)1/2?2导线在P点产生的磁感强度的大小为：

B2??0I2?r?0I1

2?(d2?x2)1/2?习题10-6图

??B1、B2的方向如下图．

P点总场

Bx?B1x?B2x?B1cos??B2cos?By?B1y?B2y?0B(x)?1yrxPB1d?0Id?(d?x)22，B(x)???0Id?(d?x)22?i

??B2xo2dd2B(x)dB(x)??0时，B(x)最大．(2)当?0，2dxdx由此可得：x=0处，B有最大值．

10-7如下图被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I＝20A，θ＝120°，a＝2.0mm，求A点的磁感应强度.解：载流直导线的磁场

B??0I(sin?2?sin?1)4?d(sin900?sin(900??)))

A点的磁感应强度

d

B?0??0I4?asin?B?10?7?202.0?10?3?3/2(1?0.5)=1.73?10-3T

习题10-7图

方向垂直纸面向外。

10-8一根无限长直导线弯成如下图形状，通以电流I，求O点的磁感应强度.解：图所示形状，为圆弧电流和两半无限长直载流导线的磁场叠加。圆电流的中心的B??0I?

2R2?半无限长直载流导线的磁场B??0I4?a?I3?0I?I+＝B?0(8?3?)B?02R82?R16?R方向垂直纸面向外。

习题10-8图

10-9如下图，宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度.解：取离P点为y宽度为dy的无限长载流细条di?Idyay长载流细条在P点产生的磁感应强度dB??0di2?y??0Idy2??y

习题10-9图

垂

所有载流长条在P点产生的磁感强度的方向都一致，方向直纸面向外.所以

B?dB??2???x?0Ia?xdy?Ia?x?0lny2?ax方向垂直纸面向外.

10-10如下图，半径为R的圆盘上均匀分布着电荷，面密度为＋σ，当这圆盘以角速度ω绕中心垂轴旋转时，求轴线上距圆盘中心O为x处的P点的磁感应强度.解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的环带，此环带所带电荷dq???2?rdr．此环带转动相当于一圆电流，其电流大小为dI??dq/2?

它在x处产生的磁感强度为dB??0r2dI2(r?x)223/2??0??2r3?2dr23/2(r?x)故P点处总的磁感强度大小为：B??0??R2r3?0??R2?2x2dr?(2?2x)223/221/2?2(R?x)0(r?x)方向沿x轴方向.

10-11半径为R的均匀带电细圆环，单位长度上所带电量为λ，以每秒n转绕通过环心，并与环面垂直的转轴匀速转动.求：(1)轴上任一点处的磁感应强度值；(2)圆环的磁矩值.解：(1)I?2?R?n

y?0??nR3B?By?223/2(R?y)?B的方向为y轴正向

???223p??RIj?2?n?Rj(2)m

-2

10-12已知磁感应强度B?2.0Wb·m

OR??

x轴正方向，如题10-12图所

示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．

解：如题10-12图所示

题10-12图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

?2?B?S2?0

??(3)通过aefd面积S3的磁通量

?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb(或曰?0.24Wb)

10-13两平行长直导线，相距0.4m，每根导线载有电流I1＝I2＝20A，如下图，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量.解：如图取面微元ldx=0.20dx

??dd?m?B?dS?Bldx

??45B??0I1?0I2?2?x2?(d?x)0.30方向垂直纸面向外.

xdx?m??d?m???0I1?0I2?)ldx

0.102?x2?(d?x)?Il0.30?0I2l0.40?0.10?01ln?ln2?0.102?0.40?0.30(=2.26?10-6Wb

习题10-13图

10-14长直同轴电缆由一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成，尺寸如下图.电缆中的电流从中心导线流出，由外面导体圆筒流回.设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间可作真空处理，求磁感应强度的分布.解：

?L??B?dl??0?I

Ir2(1)r?aB2?r??02

RB?(2)a?r?bB2?r??0I

?0Ir22?RB??0I2?rr2?b2??0I(3)b?r?cB2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2)B?222?r(c?b)(4)r?cB2?r?0

B?0

题10-14图习题10-15图

10-15如下图，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流I＝1.7A，总匝数N＝1000匝，外直径与内直径之比为η＝1.6，高h＝5.0cm.求：(1)绕线环内的磁感应强度分布；(2)通过截面的磁通量.

解：(1)环内取一同心积分回路

???B?dl??Bdl?2?rB??0NI

B??0NI2?r方向为右螺旋(2)取面微元hdr

??d?m?B?dS?Bhdr

??R?NI0通过截面的磁通量.?m??B?dS??hdr

R2?r?NIhR2?0NIh?m?0ln?ln?=8.0?10-6Wb

2?R12?21

10-16一根m＝1.0kg的铜棒静止在两根相距为l＝1.0m的水平导轨上，棒载有电流I＝50A，如下图.(1)假使导轨光滑，均匀磁场的磁感应强度B垂直回路平面向上，且B＝0.5T，欲保持其静止，须加怎样的力(大小与方向)？(2)假使导轨与铜棒间静摩擦系数0.6，求能使棒滑动的最小磁感应强度B.

解：(1)导线ab中流过电流I，受安培力

BF1?IlBa

方向水平向右,如下图

?F2F1

欲保持导线静止，则必需加力F2，

l

F2?F1I

??F2方向与F1相反，即水平向左，

b

F2?F1?IlB?20?10?0.5=25N

(2)F1-?mg=ma

F1-?mg?0

习题10-16图

0.12T

B?

?mg0.6?1.0?9.8Il=

50?1.010-17如题10-17图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10A，AB与线圈共面，且CD，已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0EF都与AB平行．cm

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每

(2)

解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

?FCD?I2b?同理FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I1?8.0?10?4N2?d?0I12?(d?a)?8.0?10?5N

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5N2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

N

F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B∵线圈与导线共面

?????∴Pm//B

?M?0．

题10-17图

题10-18图

10-18边长为l=0.1m

线圈平面与B=1T的均匀磁场中，

磁场方向平行.如题10-18图所示，使线圈通以电流I=10A，求：(1)线圈每边所受的安培力；(2)对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???解：(1)Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B方向?纸面向外，大小为

Fab?IlBsin120??0.866N

???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

Fca?IlBsin120??0.866N

(2)Pm?IS

???M?Pm?B沿OO?方向，大小为

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2N?m

4(3)磁力功A?I(?2??1)

∵?1?0?2?∴A?I32lB4

32lB?4.33?10?2J4

－

10-19横截面积S＝2.0mm2的铜线，密度ρ＝8.9×103kg·m3，弯成正方形的三边，可以绕水平轴OO′转动，如下图.均匀磁场方向向上，当导线中通有电流I＝10A，导线AD段和BC段与竖直方向的夹角θ＝15°时处于平衡状态，求磁感应强度B的量值.

解：在平衡的状况下，必需满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO＇轴而言)．设正方形的边长为a,则重力矩

1M1?2a?gS?asin??a?gSasin?

22?2Sa?gsin?

122磁力矩M2?BIasin(???)?IaBco?s

2平衡时M1?M2

2所以2Sa?gsin??IaBcos?

习题10-19图

2B?2S?gtg?/I?9.35?10T

10-20塑料圆环盘，内外半径分别为a和R，如下图.均匀带电＋q，令此盘以ω绕过环心O处的垂直轴匀角速转动.求：(1)环心O处的磁感应强度B；(2)若施加一均匀外磁场，其

?3磁感应强度B平行于环盘平面，计算圆环受到的磁力矩.解：(1)取一r→r?dr圆环，

环上电荷dq??2?rdr环电流dI??r?dr圆环电流的中心的dB??0dI2r

dB?B??R?0??2dr?dr

习题10-20图

2?0??2?0q?2?(R2?a)a(R?a)??0q?

2?(R?a)(2)圆环r→r?dr磁矩大小为

2dpm??rdI??r2??rdr

M???r3B??dr?aR?q?B(R2?a2)?

－

10-21一电子具有速度v＝(2.0×106i＋3.0×106j)m·s1，进入磁场B＝(0.03i－0.15j)T中，求作用在电子上的洛伦兹力.解：F?q(??B)

????????F?q(2.0i?3.0j)?(0.03i?0.15j)?106

?????13-14F?1.6?(?0.30k?0.09kj)?10??6.08?10kN

－

10-22一质子以v＝(2.0×105i＋3.0×105j)m·s1的速度射入磁感应强度B＝0.08iT的均匀磁

－

场中，求这质子作螺线运动的半径和螺距(质子质量mp＝1.67×1027kg).

m??1.67?10?27?3.0?105-2解：半径:R??=3.91?10m?191.6?10?0.08qB2?R2?mT??

v?qB2?3.14?1.67?10?272?m5螺距:h?v//T?v//??2.0?10?=0.164m

1.6?10?19?0.08qB

－

10-23一金属霍耳元件，厚度为0.15mm，电荷数密度为1024m3，将霍耳元件放入待测磁场中，霍耳电压为42μV时，测得电流为10mA，求此待测磁场的磁感应强度的大小.解：由：UH?1IB得nqbnqb1024?1.6?10?19?0.15?10?3B?UH??42?10?6＝0.101T?3I10?10

第十一章

11-1磁场强度H和磁感应强度B有何区别和联系？为什么要引入H来描述磁场？

答：都用来描述磁场空间的分布，B是基本物理量，H是引入的辅助物理量，它们都满足叠

????加原理B??Bi；H??Hi;B线，H线都是闭合的。

ii??B?B和H的关系式：H??M

?0??B?电流又依靠于介质中的总磁感应强度B，且无法直接测量。因此，引入H??M，以

当磁场中有磁介质时，磁介质的磁化会激发磁化电流，而磁化电流也会产生磁场，磁化

?0简化磁介质中磁场的探讨，更便利地计算磁感应强度B。

如引进辅助矢量H后，磁介质中的安培环路定理中不再包含磁化电流.

???H?dl??I

L

11-2搬运烧得赤红的钢锭时，可否用电磁铁起重机起吊？为什么？答：不可用电磁铁起重机起吊。

电磁铁起重机是利用铁磁材料能产生很强的磁性,使钢锭磁化而产生强磁场力。但当温度比较高时，铁磁材料分子热运动加剧，磁畴内部分子磁矩的规则排列受到一定程度的破坏，铁磁性会消失而显顺磁性，这样产生的磁性很弱，不足以起吊重的钢锭。

11-3有人说顺磁质的B与H同方向，而抗磁质的B与H两者方向相反，你认为正确吗？为什么？答：不正确。

??B与H方向应由B??0?rH来确定，其中μr=(1＋χm).

在外磁场作用下，顺磁质分子，产生了与外磁场B0同方向的附加磁场B′，即χm＞0，μr

＞1，顺磁质的B与H同方向；对于抗磁质分子，虽然产生与外磁场B0方向相反的附加磁场B′，且χm＜0，μr＜1，但并不是说B与H两者方向就相反.

顺磁质和抗磁质，都是弱磁质，它们产生的附加磁场一般都比外磁场小，在各向同性的均匀介质中，B与H都是同方向的。

11-4图中给出三种不同磁介质的B—H曲线，试指出属于顺磁质、抗磁质和铁磁质关系曲线的是哪一条？

习题11-4图

答:曲线Ⅱ是顺磁质，曲线是Ⅰ抗磁质，曲线Ⅲ是铁磁质．

－－

11-5在一匀强磁场中放一横截面积为1.2×103m2的铁芯，设其中磁通量为4.5×103Wb，铁的相对磁导率为μr＝5000，求磁场强度.解：匀强磁场中，铁芯截面积较小

??由?m?B?S得

?m4.5?10?3B??＝3.75T?3S1.2?10??由B??0?rH得

H?B?0?r?3.752-1

＝5.97×10A?m

4??10?7?5000

11-6螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100mA．

??(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；

??(2)若环内充满相对磁导率?r=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?

??(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B′各是多少?

解:(1)H?dl??I

l???HL?NINIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

(2)H?200A?m?1B??H??r?oH?1.05T

?4(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B0?2.5?10?T

∴由磁化电流产生的B??B?B0?1.05T

11-7为测试材料的相对磁导率μr，常将该种材料做成截面为矩形的环形样品，然后用漆包

－

线绕成一环形螺线管.设圆环的平均周长为0.10m，横截面积为0.5×104m2，线圈的匝数为

－

200匝.当线圈中通以0.1A的电流时，测得通过圆环横截面的磁通量为6×105Wb，计算该材料的相对磁导率μr.

??解：磁介质中的安培环路定理?H?dl??I

lNINI=?

l2?r??Bl?m由B??0?rH得?r?

?0NIS??由?m?B?S得

H?2?r?N?I,H?0.10?6?10?5l?m3

??r?＝4.77×10?7?4?0NIS4??10?200?0.1?0.5?10

11-8有两个半径为r和R的无限长同轴导体圆柱面，通以相反方向的电流I，两圆柱面间充以相对磁导率为μr的均匀磁介质.求：(1)磁介质中的磁感应强度；(2)两圆柱面外的磁感应强度.

解：(1)r??H磁介质中的安培环路定理??dl??I

lH?2?a?I,H?I2?a

????I由B??0?rH得B?0r方向右螺旋

2?a(2)a>R

??安培环路定理?H?dl??I

lH?2?a?0

B=0

－

11-9一根细磁棒，其矫顽力Hc＝4×103A·m1，把它放进长12cm，绕有60匝线圈的长直螺线管中退磁，此螺线管应通以多大的电流才能使磁棒完全退磁.

??解：磁介质中的安培环路定理?H?dl??I

lH?nI=

NIlHl4?103?0.12==8AI?60N

第十二章

12-1假定一矩形框以匀加速度a，自磁场外进入均匀磁场后又穿出该磁场，如下图，问哪个图最适合表示感应电流Ii随时间t的变化关系，Ii的正负规定：逆时针为正，顺时针为负.

习题12-1图

答：d图

12-2让一块磁铁在一根很长的竖直铜管内落下，不计空气阻力，试说明磁铁最终将达到一恒定收尾速度.答：铜管可以看成是由无数平行的铜圈叠合构成，当磁铁下落而穿过它时，产生感应电流．该电流产生的磁场对磁铁产生向上的阻力，阻碍磁铁下落．当磁铁速度增加时，阻力也增大，使磁铁的加速度越来越小，最终当磁铁下落速度足够大，使磁力与重力相平衡时，磁铁匀速下降．

12-3有一铜环和木环，二环尺寸全同，今用一致磁铁从同样的高度、一致的速度沿环中心轴线插入.问：(1)在同一时刻，通过这两环的磁通量是否一致？(2)两环中感生电动势是否一致？(3)两环中涡旋电场E涡的分布是否一致？为什么？

答：(1)当两环完全重叠地置于磁场空间，通过这两环的磁通量一致．

(2)感生电动势不一致。铜环中感生电动势由???d?确定，而木环内的磁通量的变化率dt与铜环相等,但木环中无自由电子，不会产生感应电流，因而没有感生电动势。

(3)当两环完全重叠地置于磁场空间，两环中涡旋电场E涡的分布一致。从麦克斯韦关于涡

??B旋电场E涡与电场强度的关系可知．由于两环的磁场的变化一致，因此，感生电场分布

?t是一致的。

12-4一局限在半径为R的圆柱形空间的均匀磁场B的方向

dB

垂直于纸面向里，如下图.令>0，金属杆Oa，ab和ac

dt

分别沿半径、弦和切线方向放置，设三者长度一致，电阻相等.今用一电流计，一端固接于a点，另一端依次与O，b，c相接，设电流计G分别测得电流I1，I2，I3，判断下述答案哪个正确，并说明理由.

(1)I1＝0，I2≠0，I3＝0；(2)I1>I2>I3≠0；(3)I1I2，I3＝0.答：(4)正确

???R2Φ1(t)?B?S?B

4πR2dB?1??

4dt??πR23R2?2?B?S?B(?)

6413dB?2??(?)?R2

64?dtΦ3(t)?0

?3?0

习题12－4图

12-5(1)两个相像的扁平圆线圈，怎样放置，它们的互感系数最小？设二者中心距离不变；(2)交流收音机中一般有一个电源变压器和一个输出变压器，为了减小它们之间的相互干扰，这两个变压器的位置应如何放置？为什么？

答：(1)将两个线圈相互垂直地放置时，其互感最小。

(2)为减小它们之间的相互干扰，这两个变压器线圈的方向相互垂直。

由于线圈相互垂直地放置，当一线圈通以一定电时，产生磁感应强度通过另一垂直放置的线圈平面的磁通量最小，由互感系数定义M21??21I1可知，此时的互感系数最小。

12-6一根长为l的导线，通以电流I，问在下述的哪一种状况中，磁场能量较大？(1)把导线拉成直线后通以电流；(2)把导线卷成螺线管后通以电流.答：其次种状况磁场能量较大。

12-7什么是位移电流？什么是全电流？位移电流和传导电流有什么不同？答：位移电流为通过某截面的的电位移通量对时间的变化率；全电流是通过某截面的的传导电流、运流电流和位移电流的代数和.

传导电流由q定向运动形成，存在于实物中；位移电流由E的变化形成，可存在于实物中，也可存在于真空中。传导电流有焦耳热，位移电流不产生焦耳热。

12-8(1)真空中静电场和真空中一般电磁场的高斯定理形式皆为∮SD·dS＝∑q，但在理解上有何不同？(2)真空中稳恒电流的磁场和真空中一般电磁场的磁高斯定理皆为∮SB·dS＝0，但在理解上有何不同？

??答：静电场的高斯定理中的D??0E是由静止电荷激发的合场强，是保守场。

?真空中一般电磁场的高斯定理D是由电荷激发的电场和由变化磁场激发的电场的合场强，

其中由变化磁场激发的电场是涡旋场，不是保守场。

真空中稳恒电流的磁场B，是由电荷作定向运动形成的恒定电流所激发的磁感应强度;而对于真空中一般电磁场，则是由全电流激发。无论何种状况．磁感应线都是闭合的涡旋线，对任意闭合曲面S，B线的净通量为0.

12-9一导线ac弯成如下图形状，且ab＝bc＝10cm，若使导线在磁感应强度B＝2.5×10－2－1T的均匀磁场中，以速度v＝1.5cm·s向右运动.问ac间电势差多大？哪一端电势高？

??解：d??(??B)?dl

?c???b?????(??B)?dl??(??B)?dl

?ab＝0+

?cb?Bsin300dl

＝?Bbcsin300

－－－

＝1.5?102?2.5×102????????＝1.875×105V

C端高

习题12－9图

题12-10图

12-10导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=轴，如图12-10所示．试求：（1）ab两端的电势差；（2）a,b两端哪一点电势高?解:(1)在Ob上取r?r?dr一小段则?Ob?l磁感应强度B平行于转3?2l30?rBdr?2B?2l91B?l218同理?Oa??l30?rBdr?∴?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l21896(2)∵?ab?0即Ua?Ub?0∴b点电势高．

12-11平均半径为12cm的4000匝线圈，在强度为0.5×104T的地球磁场中每秒钟旋转30周，线圈中最大感应电动势是多少？解：?m?NBScos?t

－

最大感应电动势?m?NBS?

?m=4000×0.5×104×3.14×0.122×3.14×60=1.7V

－

12-12如下图，长直导线通以电流I＝5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面，线圈

－

长l1＝0.20m，宽l2＝0.10m，共1000匝，令线圈以速度v＝3.0m·s1垂直于直导线运动，求a＝0.10m时，线圈中的感应电动势的大小和方向.

???0IB?dS?l1dr??2?rS?Ila?l2dr?0Il1l?(t)?01??ln(1?2)

2?ar2π?t?IldΦl2?01???

2π(l2??t)tdtt?0解：Φ(t)?a＝0.10m时,t=0.10/3.0s

rdr习题12-12图

l22?10?7?5?0.1?0.2－

=3.0×106V???2π(l2??t)t(0.1?0.1)/30?0Il1方向顺时钟

题12-13图

12-13如题12-13图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并?以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及其方向．解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则?ABa?b?Iv1??0Iva?b1?????(v?B)?dl???0(?)dr?lnAa?b2?r2a?r?a?bB∵?AB?0∴实际上感应电动势方向从B?A，即从图中从右向左，∴UAB??0Iva?bln?a?b题12-14图

12-14如题12-14所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以(1)(2)

解:以向外磁通为正则(1)?m?b?adI的变化率增大，求：dt

b?ad?a?ln]?b2πrd2πr2πbdd??0ld?ab?adI(2)????[ln?ln]

dt2πdbdtldr??d?a?0I?0Ildr??0Il[ln

dB

12-15在半径为R的圆筒内，均匀磁场的磁感应强度B的方向与轴线平行，＝－1.0×10

dt

－2－

T·s1，a点离轴线的距离为r＝5.0cm，如下图.求：(1)a点涡旋电场的大小和方向；(2)在a点放一电子可获得多大加速度？方向如何？

????B?解：(1)?E涡?dl????dS

lS?t?B00Edlcos0??dScos180涡?l?S?tdB2rdBE涡2?r??r，E涡?

dt2dt0.05E涡??1.0?10?2=2.5×10－4V.m-1

2方向：顺时针方向.

习题12-15图

eE涡1.6?10?19?2.5?10?4?(2)a?=4.4×107m.s-2

?31m9.1?10方向：逆时针方向.

题12-16图

?12-16磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题12-16图中位

置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当

dB＞0时，求：杆两端的感应电dt动势的大小和方向．

解：∵?ac??ab??bc

?ab??d?1d32??[?RB]?dtdt43RdB

4dt?abd?2dπR2πR2dB????[?B]?

dt1212dtdt3R2πR2dB?[?]

412dt∴?ac∵

dB?0dt∴?ac?0即?从a?c

dB＞0的磁场，一任意闭合导线abca，一部分在螺线管dt内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题12-17图所示．设ab=R，试求：闭合导线

12-17半径为R的直螺线管中，有中的感应电动势．

解：如图，闭合导线abca内磁通量

??πR23R2?m?B?S?B(?)

64πR232dB?R)∴?i??(64dt∵

dB?0dt∴?i?0，即感应电动势沿acba，逆时针方向．

题12-17图题12-18图

12-18一矩形截面的螺绕环，高为h，如题12-18图所示，共有N(1)

(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少?解：如题12-18图示

asin??4??8??2

14-4在单缝衍射中，为什么衍射角?愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度愈小?答：由于衍射角?愈大则asin?值愈大，分成的半波带数愈多，每个半波带透过的光通量就愈小，而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的，所以亮度减小．

14-5若把单缝衍射试验装置全部浸入水中时，衍射图样将发生怎样的变化?假使此时用公式asin???(2k?1)在水中的波长?

解：当全部装置浸入水中时，由于水中波长变短，对应asin???k????2(k?1,2,?)来测定光的波长，问测出的波长是光在空气中的还是

k?，而空气中为nasin??k?，∴sin??nsin??，即??n??，水中同级衍射角变小，条纹变密．

如用asin???(2k?1)?则应是光在水中的波长．(因asin?(k?1,2,???)来测光的波长，

2只代表光在水中的波程差)．

14-6在单缝夫琅禾费衍射中，改变以下条件，衍射条纹有何变化?(1)缝宽变窄；(2)入射光波长变长；(3)入射平行光由正入射变为斜入射．

解：(1)缝宽变窄，由asin??k?知，衍射角?变大，条纹变稀；(2)?变大，保持a，k不变，则衍射角?亦变大，条纹变稀；

(3)由正入射变为斜入射时，因正入射时asin??k?；斜入射时，a(sin??sin?)?k??，保持a，?不变，则应有k??k或k??k．即原来的k级条纹现为k?级．

14-7单缝衍射暗条纹条件与双缝干扰明条纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾?怎样说明?

答：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为asin??k??2k?，是用半波带法分析(子波叠加问2题)．相邻两半波带上对应点向?方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数，故形成暗纹；而双缝干扰明纹条件为dsin??k?，描述的是两路相干波叠加问题，其波程差为波长的整数倍，相干加强为明纹．

14-8光栅衍射与单缝衍射有何区别?为何光栅衍射的明条纹特别敞亮而暗区很宽?

答：光栅衍射是多光束干扰和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多光束干扰．光强与缝数N成正比，所以明纹很亮；又由于在相邻明纹间有(N?1)个暗纹，而一般很大，故实际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景．

14-9试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种状况时，哪些级次的衍射明条纹缺级?(1)a+b=2a;(2)a+b=3a;(3)a+b=4a.

解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时，出现缺级．即

2?(a?b)sin???k?(k?0,1,2,?)?(k??1,2?)?asin???k??可知，当k?a?bk?时明纹缺级．a(1)a?b?2a时，k?2,4,6,???偶数级缺级；(2)a?b?3a时，k?3,6,9,???级次缺级；(3)a?b?4a，k?4,8,12,???级次缺级．

14-10若以白光垂直入射光栅，不同波长的光将会有不同的衍射角．问(1)零级明条纹能否分开不同波长的光?(2)在可见光中哪种颜色的光衍射角最大?不同波长的光分开程度与什么因素有关?解：(1)零级明纹不会分开不同波长的光．由于各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强．(2)可见光中红光的衍射角最大，由于由(a?b)sin??k?，对同一k值，衍射角???．14-11一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000A的单色平行光的其次级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长．解：单缝衍射的明纹公式为

οasin??(2k?1)o?2

当??6000A时，k?2

???x时，k?3

重合时?角一致，所以有

asin??(2?2?1)?6000?(2?3?1)x

22o5得?x??6000?4286A