初三中考数学尺规作图含答案

尺规作图一、作图题（共14题；共133分）1.如图，AD是△ABC的角平分线F；F；.）2）连接DE、DF，四边形AEDF是 形.（直接写出答案）2.如图，中，，，．1）用直尺和圆规作 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）2）若（1）中所作的垂直平分线交 于点，求的长．保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上.

（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，连接ED,EF.（1）求证：四边形DEFC是矩形；（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法） .如图，在中，，， ，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把沿着直线DE折叠．（1）如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线 DE；不写作法和证明，保留作图痕迹（2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．如图，在中，.10.如图，在 中．10.如图，在 中．（1）作 的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中 与的位置关系，直接写出结果.P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；②利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A。（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法 ）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由。在△ABC中，∠C＝90°（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E；（不写作法图，保留作图痕迹）（2）若AC＝2，∠B＝15°，求BD的长．如图，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：BE=CF；（3）若AB=a，AC=b，则BE= ，AE= ．二、综合题（共3题；共30分）如图， 是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作 的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接 ，求的度数．如图，在 中，点是边上的一点.1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）2）在（1）的条件下，若，求的值.．1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．答案解析部分、作图题【答案】（1）解：如图,直线EF即为所求作的垂直平分线（2）菱形【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，作图—尺规作图的定义【解析】【解答】（2）∵EF为AD的垂直平分线，则EA=ED，∠EAD=∠FAD，FA=FD，又∵AD是∠BAC的平分线，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，则AF∥ED，同理AE∥FD，∴四边形AEDF为平行四边形，又∵EF⊥AD，故四边形AEDF为菱形.【分析】先利用垂直平分线的性质定理，和角平分线推导两组对边分别平行，得四边形形，由对角线互相垂直，进而推导四边形 EDFA【分析】先利用垂直平分线的性质定理，和角平分线推导两组对边分别平行，得四边形形，由对角线互相垂直，进而推导四边形 EDFA为菱形。【答案】（1）解：如图直线 即为所求．EDBF为平行四边TOC\o"1-5"\h\z（2）解：∵ 垂直平分线段 ，∴ ，设，在中，∵ ，∴ ，解得 ，∴【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线MN。（2）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得 DA=DB；设DA=DB=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长。【答案】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180﹣°36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36＝°72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形.【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，作图—基本作图【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交 AC于点D，点D就是所求的点；（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠A＝36°，根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出∠BDC＝∠C，故△BCD是等腰三角形。4.【答案】（1）解；如图所示；

（2）解；OE∥AC，OE=AC.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，∵∠BAD=∠BOD，∴∠BOD=∠BAC，∴OE∥AC，∵OA=OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE=AC【考点】三角形中位线定理，作图—基本作图【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交∠CAB的两边各一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧在 ∠BAC内部相交于一点，过这一点及点A画线交圆于点D，AD就是∠BAC的平分线；（2）OE∥AC，OE=AC，理由如下：根据角平分线的定义得出 ∠BAD=∠BAC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半得出 ∠BAD=∠BOD，故∠BOD=∠BAC，根据同位角相等，二直线平行得出OE∥AC，根据过一边中点且平行于另一边的直线一定平分第三边得出 OE为△ABC的中位线，从而得出结论OE∥AC，OE=AC。【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AC,，AB，BC的中点，∴DE、EF是△ABC的中位线∴DE∥CF，EF∥DC∴四边形DEFC是平行四边形∵∠C=90°∴四边形DEFC是矩形2）解：如图所示考点】三角形中位线定理，矩形的判定，作图基本作图考点】三角形中位线定理，矩形的判定，作图基本作图【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证 DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形DEFC是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。（2）连接EC、DF交于一点，然后过这一点和B作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，因此过点B和矩形CFED对角线的交点作射线即可。【答案】（1）解：依题可得：作直线AB的垂直平分线DE，如图1所示：（2）解：连结BP，∵四边形PEBD是菱形，∴PE=BE,PE∥BD，设CE=x，∵BC=4，则BE=PE=4-x，又∵PE∥AB，∴△PCE∽△ACB，∴，∵BC=4，AC=3,∴AB=5，∴x=即CE=∴BE=PE=，在Rt△PCE中，TOC\o"1-5"\h\z∴PC= =在Rt△PCB中，∴PB= =,又∵S菱形PEBD=BE·PC=·PB·DE，∴DE= .【考点】菱形的性质，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据题意作直线AB的垂直平分线DE，由垂直平分线的做法作图即可.（2）连结BP，设CE=x，根据菱形性质和相似三角形的判定可得 △PCE∽△ACB，由相似三角形的性质得，代入数值可得CE= ；在Rt△PCE和Rt△PCB中，根据勾股定理得PC、PB长，由菱形的等面积即可得DE值.【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75，°DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150，°∠ABC+∠C=180，°∴∠C=∠A=30，°∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30，°∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—复杂作图【解析】【分析】（1）分别以A,B两点为圆心，大于AB长度一半的长度为半径画弧，两弧在 AB的两侧分别相交，过这两个交点作直线，交 AB于点E，交AD于点F，，直线EF即为所求；（2）根据菱形的性质得出∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=15°0，∠ABC+∠C=180，°∠C=∠A=30，°根据垂直平分线的性质得出 AF=FB，根据等边对等角及角的和差即可得出答案。【答案】（1）解：如图所示：（2）解：相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切【考点】直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，作图—基本作图【解析】【分析】（1）利用基本作图中作角平分线的方法做出角平分线， 再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O即可。（2）过O点作OD⊥AC于D点，由角平分线性质定理可得OB=OD，即d=r，即可得出⊙O与直线AC相切。【答案】（1）解：如图,作出角平分线CO;作出⊙O.2）解：AC与⊙O相切．考点】角平分线的性质，切线的判定，作图—基本作图解析】【分析】（1）根据题意先作出∠ACB的角平分线，再以O为圆心，OB为半径画圆即可。2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等及切线的判定定理，即可得出 AC与⊙O相切。【答案】解：如图，点P、线段PD即为所求；【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此先利用尺规作图作出的角平分线，交【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此先利用尺规作图作出的角平分线，交BC于点P，再过点P作AB的垂线，交AB于点D。即可解答。【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；∠CAB（2）解：∵DE是BC（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝ ＝＝．【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义，【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，以大于的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与 AC交于点锐角三角函数的定义BC一半的长度为半径画弧，分别交于线段D，BC交于点E，直线DE即为所求；BD=CD=9，BE=EC= ，即可求得cos∠C= 。BC2）由线段垂直平分线的性质可知2）解：DE∥AC（理由略）考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质，作图—尺规作图的定义解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可得到答案。（2）根据∠BDC为三角形ADC的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由DE为∠BDC的平分线，∠A=∠DCA，即可证明∠EDC=∠DCA，根据直线平行的判定定理得到 DE∥AC。DD、E为所作；（2）解：连接AD，如图，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15＝°30°，在Rt△ADC中，DA＝2AC＝4，∴DB＝4．【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义【解析】【分析】（1）分别以点A、点B为圆心，以大于AB长的一半为半径在线段AB两侧画弧，分别相交于两点，过这两个交点做直线，与AB交于点E，BC交于点D，直线DE即为所求直线；（2）DE为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知 BD=AD，根据等边对等角可知∠B=∠BAD；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知 ∠ADC=3°0，根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得AD的长，也就可知BD的长。【答案】（1）解：①作线段BC的垂直平分线交AD于P．点P就是所求的点．

（2）解：连接PB、PC．∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF，在Rt△PEB和Rt△PFC中，，，∴△PEB≌△PFC，∴BE=CF．3）3）考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质，作图—尺规作图的定义【解析】【解答】解：（3）设BE=CF=x，在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，∴△PAE≌△PAF，∴AE=AF，∴AB-BE=AC+CF，∴a-x=b+x，∴x=，∴BE= ，AE=AB-BE=a- =故答案为∴BE= ，AE=AB-BE=a- =故答案为【分析】（1）、直接利用尺规作图法则作图（2）、依题做出图形，根据角平分线性质可知 PE=PF，再根据直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，从而得到结论（3）、结合角平分线的性质和直角三角形的判定可知 △PAE≌△PAF，从而得