任意角与弧度制题型小结

任意角与弧度制【知识梳理】1．按旋转方向分名称定义图形正角按______方向旋转形成的角负角按______方向旋转形成的角零角一条射线_______旋转形成的角2.按角的终边位置(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．3.所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.【类题通法】象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°围，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°围，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2012°；(4)－120°.题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【类题通法】1．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域的角，组成集合．【对点训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分，试指出角α的取值围．题型三、确定及所在的象限【例3】若α是第二象限角，则2α，eq\f(α,2)分别是第几象限的角？【类题通法】1．nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的围，再直接转化为终边相同的角即可．2.eq\f(α,n)所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，eq\f(α,2)是第几象限角．题型四轴线角与象限角终边落在x轴正半轴上角的集合_________________终边落在x轴负半轴上角的集合_________________终边落在y轴正半轴上角的集合_________________终边落在y轴负半轴上角的集合_________________终边落在x轴上角的集合_________________终边落在y轴上角的集合_________________终边落在坐标轴上角的集合_________________________________,_______________________,______________________第一象限角的围：__________________第二象限角的围：__________________第三象限角的围：__________________第四象限角的围：__________________【知识梳理】1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位．(2)弧度制．①定义：以_____作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0.3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).4．弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝___rad2πrad＝_____180°＝____radπrad＝_____1°＝_____rad≈0.01745rad1rad＝_____≈57.30°5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π6．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝_____l＝____扇形的面积S＝_____S＝_____＝______【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\f(180,π)＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°围，找出与它们有相同终边的所有角．题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．【对点训练】已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分(不包括边界)的角的集合．用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)表示角的集合时，可先写出一周围(如－π～π，0～2π)的角，再加上2kπ，k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝α＋k·\f(π,2)，k∈Z)))).在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．其他重要例题1.在下列各组中，终边不相同的一组是（）A．600和B．2300和9500C．10500和D．10000和800下列各角中，与60°角终边相同的角是()A.B.C.D.