2020高考数学(理)二轮复习专题限时集训2恒等变换与解三角形

专题限时集训(二)恒等变换与解三角形[专题通关练](建议用时：30分钟)1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，A2πsinA＝3，则sinC＝()75A.5B.737C.7D.3A[由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7，由正弦定理：sinA＝a＝sinCc75.应选A.]12．在△ABC中，cosB＝4，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()11A.4B.2315C.2D.4[由sinC＝2sinA及正弦定理得c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，因此22＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2，解得a＝1，因此c＝2.又sinB＝1－cos2B＝415，因此S△ABC＝1＝1×1×2×15＝15应选2acsinB244.D.]3．(2019·唐山市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝()A.15B.1122315315C.4D.81/7[∵a＝2，b＝3，c＝4，2227，∴cosA＝b＋c－a＝9＋16－4＝21＝2bc2×3×42482491515则sinA＝1－cosA＝1－64＝64＝8，15315则h＝ACsinA＝bsinA＝3×8＝8，应选D.]．·全国卷Ⅱ已知α∈0，π(20194)215A.5B.5325C.3D.5[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1sin2α.因为α∈0，π2，因此cosα＝1－sin2α，因此2sinα1－sin2α＝1－sin2α，5解得sinα＝5，应选B.]bb5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosC＋acosA＝1，则cosB的取值范围为()11A.2，＋∞B.2，＋∞11C.2，1D.2，1bbba2＋b2－c2bc2＋b2－a22b2D[因为ccosC＋acosA＝1，得c×2ab＋a×2bc＝2ac＝1，所以b2＝ac，2＋c2－b2＝a2＋c2－ac1，当且仅当a＝c取等号，且B因此cosB＝a2ac2ac≥ac＝2ac2为三角形内角，因此1≤cosB＜1.应选D.]26．[易错题]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因此2A＝2B或2A＝π－2B，2/7π即A＝B或A＋B＝2，因此这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]7．(2019·大庆市高三第二次模拟)已知α，β为锐角，且(1－3tanα)(1－3tanβ)＝4，则α＋β＝________.2π[将(1－3tanα)(1－3tanβ)＝4睁开得－3(tanα＋tanβ)＝3(1－tan3tanα＋tanβα·tanβ)，即＝tan(α＋β)＝－3，因为α，β为锐角，0＜α＋β＜π，1－tanα·tanβ2π故α＋β＝3.]8.某高一学习小组为测出一绿化地区的面积，进行了一些丈量工作，最后将此绿化地区近似地当作如图所示的四边形，测得的数据如下图，AB＝2km，BC＝1km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化地区的面积是________km2.6－3[如图，连结AC，由余弦定理可知AC＝4AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝3(km)，故∠ACB＝90°，CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.由正弦定理得，AC＝AD，即AD＝AC×sin∠DCAsin∠ADCsin∠DCA＝sin∠ADC3×6－2432－6(km)，1＝22故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝1×1×3＋1×32－62×1＝6－322224(km2)．][能力提高练](建议用时：20分钟)11tanα29．已知sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，则log5tanβ等于( )A．2B．33/7C．4D．511C[因为sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，因此sinαcosβ＋cosαsinβ＝1，sinαcosβ－cosαsinβ＝1，因此sinαcosβ＝2351，因此tanαtanα2，cosαsinβ＝＝5，因此logtanβ＝log552＝4.应选C.]1212tanβ510．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝23，bsinA＝acosB＋π)6，则b＝(A．1B.2C.3D.5π31C[因为bsinA＝acosB＋6，睁开得bsinA＝2acosB－2asinB，由正弦定理化简得sinBsinA＝31＝，2sinAcosB－2sinAsinB，整理得3sinBcosB3π即tanB＝3，而三角形中0＜B＜π，因此B＝6.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，代入得b2＝32＋(23)2－2×3×23πcos6，解得b＝3，因此选C.]π10ππ11．(2018·聊城模拟)已知cosθ＋4＝10，θ∈0，2，则sin2θ－3＝________.－π1＋cosππ3322θ＋214θ＋4＝10[由题意可得，cos2＝10，cos2θ＋2＝－sin42θ＝－5，4θ＋π10πππ即sin2θ＝因为4＝10＞0，θ∈0，2，因此0＜θ＜，2θ∈0，2，5.cos43依据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝5，由两角差的正弦公式，可得sin2θ－πππ3＝sin2θcos－cos2θsin334/741334－33＝×－×2＝10.]52512.(2019潍·坊市一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2A＋2B－3sinC＝1，a＝3，b＝4.(1)求角C的大小和BD的长；(2)设∠ACB的角均分线交BD于E，求△CED的面积．[解](1)由题意可得：2A＋B＝0，3sinC＋1－2sin23sinC＋cos(A＋B)＝0，又A＋B＝π－C，3∴3sinC－cosC＝0，可得tanC＝3，π∵C∈(0，π)，∴C＝6，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3＋4－2×3×2×cosπ＝1，解得6BD＝1.(2)由(1)可知BD2＋BC2＝4＝CD2，π13∴∠DBC＝，∴S△DBC＝·＝2，22BDBC∵CE是∠BCD的角均分线，∴∠BCE＝∠DCE，1在△CEB和△CED中，S△BCE＝2BC·CE·sin∠BCE，1S△CED＝2CD·CE·sin∠DCE，可得：SBCE＝BC＝3，∴S△BCE＝3△CED，△2S△CD2SCED∴代入SBCE＋SCED＝SBCD＝3，得3CED＝331＋S，∴SCED＝＝△△△22△2△2＋35/73(2－3)＝23－3.题号内容押题依照1三角恒等变换恒等变换求值2平面向量、正(余)弦定理解决面平面向量、不等式与三角函数的积问题，不等式求最值交汇π33π【押题1】已知sin4＋α＝5，则sin4－α＝________，sin2α＝________.37π35－25[∵sin4＋α＝5，∴sin3πππ4－α＝sinπ－4＋α＝sin＋α＝3，45πsin2α＝－cos2α＋2＝－1＋2sin2π3274＋α＝－1＋2×5＝－25.]【押题2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝52b.(1)若C＝2B，求cosB的值；→→→→π＝CA·，求cosB＋的值．(2)若AB·ACCB455[解](1)因为c＝2b，则由正弦定理，得sinC＝2sinB.又C＝2B，因此sin2B＝5，即＝2sinB4sinBcosB5sinB.5又B是△ABC的内角，因此sinB＞0，故c