晶格振动声子

第1页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.1一维晶格振动的动力学基础

晶体点阵中的质点（原子、离子）总是围绕着平衡位置作微小振动，称为晶格振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，因此各个原子的振动并非是孤立的，而是相互联系着的，这种相互联系着的晶格振动在晶体中形成了各种振动模式的波。只有当振动甚为微弱时，原子间的非谐的相互作用才可以忽略，即只有在简谐近似下，这些模式才是相互独立的。由于晶格的周期性，使得振动的模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的谐振子来描述，我们把晶格振动的能量量子称为声子，其中为晶格振动模式的角频率。这样处理后，我们就可把晶格振动的总体看成是声子的系综。如可把原子间的非谐相互作用看成微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，会有某种频率的声子产生，也会有某种频率的声子湮灭。又如晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而增加电阻，这可以看成是电子受到声子的碰撞。另外，光子与声子的相互作用也会对晶体的光学性质有重要影响。晶格振动是三维的，可以根据空间力系将其分解成三个方向的线性振动。为便于理解，我们先讨论一维晶格的振动问题，然后给出三维晶格振动的一些结论。

第2页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.1.1一维简单晶格振动的情形考虑图3.1-1所示的一维原子链，设每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距（晶格常数）为a。由于热运动使得各个原子离开了它的平衡位置，用xn代表第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子和第n+1个原子间的相对位移是xn+1-xn。设在平衡位置时，两个原子间的互作用势能为U(a)，令，则产生相对位移后，相互作用势能变成。将在平衡位置附近用泰勒级数展开，得到图3.1-1一维原子链的振动n-2nn-1n+1n+2xn-2xn-1xnxn+1xn+2（3.1-1）第3页，共54页，2023年，2月20日，星期五式中第一项为常数，第二项为零（因为在平衡时势能取最小值）。当很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到项，则恢复力为（3.1-2）（3.1-3）这叫做简谐近似。上式中的称为恢复力常数，又称为微观弹性模量或准劲度系数。当，则恢复力为负，相互作用力为引力；当，则恢复力为正，相互作用力为斥力。第4页，共54页，2023年，2月20日，星期五对第n个原子除受n+1、n-1相邻原子作用外，还受其它原子的作用，即受晶格中所有原子的作用。为了简化起见，如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受到的总作用力是：（3.1-4）假设原子的运动遵循经典力学，根据牛顿第二定律。第n个原子质点的运动方程为

(n=1,2,3,…,N)（3.1-5）

式中N为一维原子链的原子数。对于每一个原子都有一个类似式（3.1-5）的运动方程，因此方程的数目和原子数相同。方程（3.1-5）是关于位移的差分方程，它具有行波解。设方程组（3.1-5）的试探解为（3.1-6）式中A为振幅；为角频率；t为时间；为第n个原子振动的位相因子。第5页，共54页，2023年，2月20日，星期五把式（3.1-6）代入方程组（3.1-5），可得利用恒等式，得

（3.1-7）

这样，点阵波以波矢表示的频率为：（3.1-8）

式（3.1-7）或式（3.1-8）称为一维简单晶格振动的色散关系（频率与波矢的关系）。需要指出的是，如果忽略原子排列的周期性，即当时的情形，便可把晶体看成连续介质，在连续介质力学中，形成沿一定方向传播的弹性波的之间形成线性关系。图3.1-2代表式（3.1-8）所表示的关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取介于之间。图6.1-2一维简单晶格的振动频谱0q-第6页，共54页，2023年，2月20日，星期五如果第m个和第n个原子的位相因子之差(qma-qna)为2的整数倍，即（s为整数）时,换言之，当第m个原子和第n个原子的距离为的整数倍时，原子因振动而产生的位移相等。由此可见晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系，这说明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布，也即原子的位移构成了波，或者说在晶格中存在着角频率为W的平面波，这种波称为格波。图3.1-3所示。图3.1-3格波nn+1n+2n-1n-2第7页，共54页，2023年，2月20日，星期五格波的波长。若令n代表沿格波传播方向的单位矢量，则q=n，就是格波的波矢。波速（相速）。由此可见，格波的传播速度是波长的函数，波长不同的格波传播速度不同，这与可见光通过三棱镜时的情况相似，不同波长的光在三棱镜中传播的速度不同，折射角就不同，从而导致色散。所以称与的关系为色散关系，也称振动频谱或振动谱。此外，由式（3.1-8）或图3.1-2可以看出，当，即波长很长时，，这时波速是常数，同时即某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动,当即时，有最大值，。第8页，共54页，2023年，2月20日，星期五当波矢（其中s为任意整数），代入式（3.1-6）则得（3.1-9）由于s，n均为正整数，故乘积ns也是整数，所以，于是式（3.1-9）化为（3.1-10）

可见当（s为任意整数），两者对同一原子所引起的振动完全相同。这就是说，对应某一确定的振动状态，可以有无限多个波矢，它们之间都相差的整数倍。所以，为了保证的单值性，把一维简单晶格的波矢q值限制在，其中a是该格子的晶格常数。第9页，共54页，2023年，2月20日，星期五前面的讨论中，我们没有考虑到一维晶体的边界问题，认为一维晶体是无限的。但实际上晶体总是有限的，总存在着边界，并且边界对晶体内部原子的振动状态会有所影响。玻恩（Born）和卡门（Karman）把边界对内部原子振动状态的影响考虑成如下面所述的周期性边界条件。设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tN+j个原子的运动情况一样，其中t=1,2,3…。这样设想的无限晶体中的原子和原来实际的有限晶体中的原子，两者所受到的互作用势能确是有差别的。但是进一步的分析表明，由于互作用主要是短程的，实际的有限晶体中只有边界上极少数原子的运动才受到相邻的假想晶体的影响，就有限晶体而言，绝大部分原子的运动实际上不会受到这些假想晶体的影响。这样，对于一维简单晶格的格子，第一个原胞的原子应和第N+1个原胞的原子振动情况相同，第10页，共54页，2023年，2月20日，星期五即而,

因此要上式成立，必须有或(为整数)

即描述晶格振动状态的波矢只能取一些分立的值。因为介于，所以介于。把限制在（3.1-11）

则限制在（3.1-12）由此可知，只能取N个不同的值，因而也只能取N个不同的值。这里N是原胞的数目。因此可以得出一个结论：晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数目。,第11页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.1.2一维复式格子振动的情形考虑图3.1-4(a)所示的一维复式格子，相邻同种原子间的距离为2a（2a是这复式格子的晶格常数）。设质量为m的原子位于…2n-1，2n+1，2n+3…各点；质量为M的原子位于…2n-2，2n，2n+2…各点，且设。类似于方程式（3.1-5）得到（3.1-13）

与方程组（3.1-5）的解法相似，方程组（3.1-13）的试探解也可以是角频率为的简谐振动2n-12a2n2n-22n+12n+2(a)图3.1-4一维复式格子及其振动频谱(a)一维复式格子;(b)一维复式格子的振动频谱0光频支声频支q-(b)第12页，共54页，2023年，2月20日，星期五（3.1-14）由于这里包含两种不同的原子，这两种不同原子振动的振幅A、B一般地说也不相同。把解（3.1-14）代入方程组（3.1-13）得（3.1-15）即（3.1-16）

若A、B有非零解，则其系数行列式必须等于零，即（3.1-17）

由此可以解得（3.1-18）第13页，共54页，2023年，2月20日，星期五由上式可以看出，如果m=M，则式（3.1-18）与式（3.1-7）一样。如果m≠M，则与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波，并且这两种格波各有自己的色散关系（3.1-19）（3.1-20）对于一维复式格子同样可以证明，波矢q值限制在。因为对于相同的色散分支，对应于波矢为q的某一确定的振动状态，与q相差整数倍倒格矢的波矢，两者所对应的角频率相同，即。因此q和所对应的振动状态是等价的。色散关系的这一性质表明，q可以限制在范围内。第14页，共54页，2023年，2月20日，星期五在周期性边界条件下，波矢q也只能取N个不同的值。对于一维复式格子，设晶体有N个原胞（每个原胞含有两个不同的原子），根据周期性边界条件有（3.1-21）得到，即（为整数）。式（3.1-11）同样适用，这里限制在（3.1-22）所以，一维复式格子的波矢q也只能取N个不同的值。波矢q的数目亦即等于振动状态的数目，等于原胞的数目N。必须指出的是，对于一维复式格子，由于对应于每个波矢q值有两个不同的(,)，因此其角频率数为2N，既然每一角频率对应于一个格波，那么格波数必为2N。这就是说，在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N，因此得到这样的结论

晶格振动波矢的数目=晶体原胞的数目晶格振动频率的数目=晶体的自由度数这些结论同样适用于三维晶格振动的情形。第15页，共54页，2023年，2月20日，星期五下面我们再进一步讨论一维复式格子的两个色散分支。因为波矢q值限制在，即2qa介于，所以当时，,的最大值为（3.1-23）

而当时，的最小值为（3.1-24）

因，从而的最小值比的最大值还要大。换句话说，-支的格波频率总比-支的频率低。实际上，

-支的格波可以用光来激发，所以常称为光频支格波，简称光学波。而-支则称声频支格波，简称声学波。-支的色散关系可写为第16页，共54页，2023年，2月20日，星期五（3.1-25）如果，则上式近似地化为（3.1-26）比较式（3.1-26）、式（3.1-8）可见，-支的色散关系与一维简单晶格振动频谱在形式上是相同的，也具有图6.1-2所示的特征。这也就是说，由完全相同的原子所组成的晶格振动只有声学波。-支的色散关系可写为（3.1-27）第17页，共54页，2023年，2月20日，星期五如果，则上式近似地化为

（3.1-28）

由式（3.1-28）可见，当，即波长很大时，光学波的频率具有最大值

（3.1-29）式中是两种原子的折合质量。而当时，由（3.1-26）式看出，，这时，声学波频率最小。一维双原子复式格子中，声学波与光学波的色散关系如图3.1-4(b)。

第18页，共54页，2023年，2月20日，星期五此外，由式（3.1-16）可以得到声学波和光学波的两相邻原子的振幅之比分别为（3.1-30a）（3.1-30b）对于声学波，即式（3.1-30a），因为，而一般，所以。这就是说，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动的，如图3.1-5(a)所示。当波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。对于光学波，即式（3.1-30b），因为，而一般，所以。由此可见，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的。而当q很小时，，又，得出，因此对于波长很长的光学波（长光学波），，即原胞中不同原子作相对振动，质量大的振幅小，质量小的振幅大，原胞的质心保持不动。由此也可定性地看出，光学波是保持原胞质心不动的一种振动模式，代表原胞中两个原子的相对振动。如图3.1-5(b)。图3.1-5一维双原子振动的格波(a)声学波;(b)光学波(b)(a)第19页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.2晶格振动的量子化声子由于晶格振动是晶体中诸多原子（离子、分子）的集体运动，其结果表现为晶格中的格波。因此系统的总能量亦即总的哈密顿量必然包含诸多原子的速度和坐标，例如势能函数中包含有依赖于两原子坐标的交叉项，这就带来了数学运算的难度。一般而言，格波不一定是简谐的，但总可以展成各种不同波矢、不同模式的格波（简谐平面波）的线性迭加。当振动微弱时，即相当于简谐近似的情形，格波直接就是简谐波。这时，格波之间的相互作用可以忽略，从而可以认为它们的存在是相互独立的，称为独立的模式。这样，每一个独立的模式对应一个振动态(q)。因此对晶格振动的描述通常可以采用两种不同的方法。第一种方法即是确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化情况，这样显然是非常麻烦的，因为晶体中各个原子间都是相互关联的，需要解决的是一个相互间存在有相互作用的多体问题。第二种方法是从格波（集体振荡）的角度出发，讨论晶格振动中各个不同波矢、不同模式格波的振幅有多大。如果各个不同波矢、不同模式的格波的振幅确定了，那么晶体中的各个原子的振动情况也就完全确定了。晶格的周期性又给予了格波以一定的边界条件（玻恩-卡门条件），使得独立的模式亦即独立的振动态是分立的。也就是说，晶体中格波的模式可以表述为稳定的独立模式。为此，引进正则坐标，通过正则变换，把原来的坐标系变换成正则坐标系，就可能消去势能中的交叉项，使得系统的哈密顿量能够表述成标准式（法式），即哈密顿量对角化了。这样就可以把晶格振动的总能量表述为独立简谐振子能量之和。下面我们从理论力学的质点系微振动的正则坐标入手，继而讨论晶格振动的正则坐标，再引出声子的概念。第20页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.2.1质点系微振动的正则坐标在理论力学中，我们曾讨论过质点系的运动。这里我们用同样的方法讨论质点系的微振动问题。设n个质点组成质点系，由于每个质点具有3个自由度，因而在描述整个质点系的微振动时必须要用3n个独立坐标。如果各质点的质量为，则质点系的动能可表示为（3.2-1）质点系的势能可以在平衡位置附近展开为泰勒级数，即为（3.2-2）第21页，共54页，2023年，2月20日，星期五式中表示某一质点在某一方向上的位移；下角标0表示质点处于平衡位置时所具有的值。如果取平衡位置为势能的原点，同时考虑到质点处于平衡位置时，质点所受的力为零，即有（3.2-3）对于微振动的情形，所有的都很小，以致可以略去二阶以上的高次项，得到（3.2-4）

为了使上述的动能和势能的表达式具有简单的形式，我们可以利用线性代数的理论，选择适当的线性变换（3.2-5）将动能和势能的表达式（3.2-1）和（3.2-4）进行简化。第22页，共54页，2023年，2月20日，星期五选择式（3.2-5）的变换中的系数，使之满足正交条件：（3.2-6）（3.2-7）将式（3.2-5）代入式（3.2-1）得到（3.2-8）所以有（3.2-9）同样，利用线性变换式（3.2-5）也可以将式（3.2-4）化为法式。第23页，共54页，2023年，2月20日，星期五

（3.2-10）式中为以为元素所组成的矩阵的本征值；而则为与之对应的本征矢组成的矩阵的元素。事实上，如果令。则式（3.2-4）化为（3.2-11）

式中。采用矩阵表示，可将势能记为（3.2-12）第24页，共54页，2023年，2月20日，星期五而

首先应当求得矩阵的本征值和本征矢，即求解。上式即为（3.2-13）

要使上式有异于零的解，系数行列式必须为零，即（3.2-14）其中为一单位矩阵。由式（3.2-14）可解得个的解。显然，对应于本征值的本征矢可记为（3.2-15）第25页，共54页，2023年，2月20日，星期五代入矩阵方程得到（3.2-16）式中中包含一个待定常数。根据矩阵的元素的定义可知，为一厄密矩阵（3.2-17）其本征值为实数，即（3.2-18）且本征矢互相正交。因而可以选择中的待定实数，使之满足正交归一化条件，（3.2-19）即（3.2-20）如果是实数，则式（3.2-20）可写成（3.2-21）第26页，共54页，2023年，2月20日，星期五令或（3.2-22）利用式（6.2-16）及正交化条件，则式（6.2-11）的势能表达式变为

（6.2-23）又由于，则动能表示式成为（6.2-24）

其中利用了式（6.2-5）正交条件。如果及为复数矩阵，则变换可写为（6.2-25）式中。这个变换称为幺正变换。（6.2-26）

由此可见，可以选为质点系的正则坐标；而则为与之对应的正则频率。第27页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.2.2晶格振动的正则坐标根据质点系微振动的正则坐标，可以分析晶格振动的正则坐标。为了简单起见，我们先讨论一维布喇菲格子和一维复式格子的情形，然后再讨论三维复式格子的情形。

一、一维布喇菲格子和一维复式格子的情形1．一维布喇菲格子的情形首先，我们以一维布喇菲格子为例，来说明它的晶格振动等价于N个独立谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动的频率。由于周期性的边界条件，波矢取分立的不同值，所以晶格中每一原子的振动是一些独立振动模式的迭加。于是，任意格点在时刻的位移应表示为（6.2-27）第28页，共54页，2023年，2月20日，星期五式中为t时刻振动模式为q的振幅；，而L所取的值为，；代表一些独立的模式（q取正代表前进的简谐波，

q取负代表后退的简谐波）。显然式（3.2-27）是具有周期的函数的傅立叶展式。由于位置变量局限于N个点，展式只包含N项，N也就是一维晶体的原胞数。证明的正交性，即证明（3.2-28）式（3.2-28）所表示的意义是：按状态求和，只要看一个格点就行了，每个格点的独立状态总数是N，换句话说，独立状态总数就是原胞总数。同样可以证明（3.2-29）式（3.2-29）表示的意义是：按格点求和只要看一种状态，格点总数也就是原胞总数。第29页，共54页，2023年，2月20日，星期五一般而言，晶格中的格波可以展为各种独立振动模式的线性迭加，即把展为（3.2-30）式中称为波矢的振动模式的正则坐标（又称简正坐标），它表示了格波的振幅。引入正则坐标后，应用式（3.2-28）和式（3.2-29），一维简单晶格的势能可表示为（3.2-31）第30页，共54页，2023年，2月20日，星期五（3.2-32）其中，正是一维布喇菲格子的色散关系。再把式（3.1-7）代入上式，得到（3.2-33）由于原子的位移是实数，因此有，则晶格振动的势能最后可化为（3.2-34）同样，利用式（6.2-30）的变换关系，一维简单晶格的动能用正则坐标可表示为

（3.2-35）第31页，共54页，2023年，2月20日，星期五同样，因为，则动能最后可化为（3.2-36）采用正则坐标后，晶格振动的总能量，亦即哈密顿量可写成标准式（法式）为（3.2-37）

式中。显然上式中的右边每项代表一个谐振子的能量，包含有2项，所以一维布喇菲格子的总能量是每个独立谐振子能量之和。根据量子力学的结果，一个谐振子的能量本征值为（3.2-38）

式中。所以一维布喇菲格子晶格振动的总能量可表示为（3.2-39）

第32页，共54页，2023年，2月20日，星期五2．一维复式格子的情形与一维布喇菲晶格相似，作为式（3.1-13）的一般解，与式（3.2-27）相对应的式子可表示成（3.2-40）这里对求和表示对声学支及光学支两种模式的格波求和。作坐标变换得到（3.2-41）

把式（3.2-40）与式（3.2-41）相比较，可知第33页，共54页，2023年，2月20日，星期五（3.2-42）

这里已把波矢为q第j支格波（声学支或光学支格波）的角频率写成。而即表示波矢为q，第j支格波的包含有时间因子的振幅，也就是正则坐标。采用正则坐标后，一维复式格子晶体的哈密顿量可写成（3.2-43）式中。同讨论一维布喇菲格子的情形一样，可以得到一维复式格子晶格振动的本征能量为（3.2-44）

式中可取一系列正整数。第34页，共54页，2023年，2月20日，星期五二、三维复式格子的情形对于三维复式格子，可以将其看作是由原子组成的质点系。设晶体的基矢为，沿基矢方向各有个原胞。因此，整个晶体共有个原胞。每个原胞中设有n个原子，令表示原胞中心位矢为的原胞内，第s个原子离开平衡位置在方向的位移，将系统的势能U在平衡位置附近用泰勒级数展开，有（3.2-45a）

如取平衡位置的势能作为能量原点，即。在简谐近似下，可以将第35页，共54页，2023年，2月20日，星期五二次以上的项略去，则势能可写为（3.2-45b）

式中。将上式同式（3.2-4）对照，得到（3.2-46）为了进一步简化，引进动力学矩阵元（3.2-47）及变换（3.2-48）第36页，共54页，2023年，2月20日，星期五因此，势能式（3.2-45b）可以改写成（3.2-49）

式中符号及分别表示及。同样，系统的动能为（3.2-50）

式中为第s个原子的质量。因为所考虑的系统具有3nN个自由度，从而可适当地选取描写系统的正则坐标，以使式（3.2-49）及（3.2-50）中所表示的对坐标求得的和具有3nN个独立简谐振子的哈密顿量的形式。第37页，共54页，2023年，2月20日，星期五利用倒格子空间来讨论晶格振动，把倒格矢理解为格波波矢在三维晶格的情况下，式（3.2-39）和式（3.2-44）应写成下面的形式（3.2-51）或（3.2-52）

式中是格波的角频率。由此可见，每一格波（简正模）的能量总是以量子为单位不连续地改变。由于式（3.2-52）和量子谐振子的能量形式完全一样，因此可以说：一个晶格振动系统在能量状态上等效于一个具有个独立的量子谐振子的系统，也就是说，在简谐近似（微振动）的条件下，晶格振动可以用一系列独立的谐振子来描述。第38页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.2.3声子从式（3.2-39）、式（3.2-44）和式（3.2-51）或式（3.2-52）可以看出，波矢为q，第j支格波的能量可以是的倍，再加上。所以晶格振动的能量量子化了，除了以外，它只能是的整数倍。这里不同的相应于一系列不同的能量，对应于这支格波的各个不同的状态。这支格波的基态能量（即最低的能量），显然应该是，常称为零振动能量（又称零点能），相应于。而最低的激发态应该是；其次的激发态应该是。从这里可以清楚地看到，可以作为格波的激发单元（激元），常称它为“元激发”，通常把它形象地看成是一种“准粒子”。例如相应于的状态，可以认为在此状态中存在三个准粒子，与此状态相对应的能量为。所以也就是这种准粒子的“粒子数”。在晶格振动中，这种准粒子称为“声子”，也就是说，声子是晶格振动的简谐振子的能量量子。引入声子概念以后，晶格振动也可以用声子系综来描述，并且用谐振子概念和用声子概念描述晶格振动是两种等效的方式。第39页，共54页，2023年，2月20日，星期五由于w和q相同的各声子之间不可区分且自旋为零，所以声子是玻色子。有了声子的概念，格波的状态可以用声子数来描述，与此相应的能量为，而整个晶格振动的状态可以用一组声子数来描述，它表示波矢为，第支格波

的声子数为；波矢为，第支格波的声子数为，其总的能量即由式（3.2-51）或式（3.2-52）表示。用上述方式来描述晶格振动，使得原来有相互作用的原子（离子）耦合振荡系统，即所有真实粒子作集体振动的多粒子系统在简谐近似下约化成为相互独立的玻色子系统。可以应用相应的统计物理方法，使处理这类多体问题时大为简化。晶格振动对晶体的力学、热学、电学和光学等许多性质有重要影响。第40页，共54页，2023年，2月20日，星期五引入声子的概念以后，把声子当作有能量、动量的玻色粒子可以很简便地说明许多问题。例如，按玻色统计分布求出平均声子数后可以导出比热公式；考虑原子间非简谐的相互作用时，可以引入声子-声子相互作用的概念；晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而增加电阻，这可以看作是电子受到声子的碰撞，可用声子-电子相互作用来描述；晶体的光学性质也与晶格振动密切相关，光在晶体中的散射可以看作是由于光子与声子的相互作用乃至强烈的耦合所产生的。必须指出的是，声子并不是真实的粒子，它可以产生和湮灭；有相互作用时声子数并不守恒；声子动量的守恒律不同于真实粒子；声子不能脱离固体而存在，因为它所反映的是原子的集体运动，不属于某个原子而属于整个晶体所有等等。所以说声子是一种假想的粒子，它只是格波（简正模）激发态的量子——基本的激发单元，在量子场论中称为元激发。总之，建立了声子的概念对于理解和处理固体中的很多问题带来了很大的方便，实践证明，这样的概念是正确的。第41页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.3长波近似由前面的讨论，我们已经知道，声学波中相邻原子都沿同一方向振动，光学波中原胞中不同的原子作相对地振动。当波长比原胞的线度大得多时（即波矢时），声学波和光学波各自的特点更加显著，这时声学波代表原胞质心的振动，而光学波中原胞的质心保持不动。通常把波长很长的声学波和波长很长的光学波分别称为长声学波和长光学波。第42页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.3.1长声学波由式（3.1-26）可知，对于一维复式格子，当波长很长，即q很小时，长声学波的角频率与波矢的关系可化为（3.3-1）从而得到长声学波的波速（3.3-2）

式中为晶体的恢复力常数；m、M分别为两种不同原子的质量；为晶格常数。式（3.3-2）表明长声学波的角频率与波矢存在线性关系，即它的波速为一常数。第43页，共54页，2023年，2月20日，星期五另一方面，恢复力（3.3-3）式C中为杨氏模量。对于一维复式格子，应变是（3.3-4）式中及分别是第们m+1个及m第个原子的位移。因此恢复力又可表示成（3.3-5）根据式（3.1-2），得因第m+1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力为（3.3-6）式中。第44页，共54页，2023年，2月20日，星期五比较式（3.3-5）及式（3.3-6）可得到弹性模量C与恢复力常数间的关系为（3.3-7）对于一维复式格子，原子链的线质量密度为（3.3-8）将式（3.3-7）及式（3.3-8）代入式（3.3-2）得到长声学波的波速（相速度）为（3.3-9）实际上，当时，即对于长声学波，不仅相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且振幅也近于相等，这是由于长声学波的波长比原胞线度大得多时，在半个波长内就已包括了许多原胞，这些原胞都整体地沿同一方向运动。因此对于长声学波，晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为是连续介质时的弹性波，这也就是为什么称支为声学波的原因。第45页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.3.2长光学波由于对于长光学波，当时，两种原子振动有完全相反的位相，因此在离子晶体中长光学波有特别重要的作用。为明确起见，现考虑由两种不同正、负离子所组成的复式格子。因为对于光学波，相邻的不同离子相对振动方向相反。当波长比原胞的线度大得多时，相邻的同一种离子的位移将趋于相同，这样在半波长的范围内，正离子所组成的布喇菲原胞同向地位移，而负离子所组成的另一些布喇菲原胞将产生反向的位移，使晶体中产生一定的电偶极矩，即发生宏观的极化，所以长光学波又称为极化波。我们知道长声学波就是把晶体看成连续介质时的弹性波，弹性波满足在弹性理论基础之上建立的宏观运动方程。这里对其运动方程我们不再做详细阐述，可课后自己参阅书上推导。第46页，共54页，2023年，2月20日，星期五§3.4.晶格振动的模式密度我们知道，根据波恩-卡门边界条件，波矢q并不是任意的，允许的q值在波矢q空间形成均匀分布的点子，如图3.4-1所示。在q到体积元内的数目为（3.4-1）从而得（3.4-2）图3.4-1振动模在空间的分布第47页，共54页，2023年，2月20日，星期五其中V为晶体体积；称为波矢q标度下的状态密度，简称状态密度。

q虽然不能取任意值，但由于V是一个宏观体积，允许的q值在波矢q空间是十分密集的，可以看成是准连续的。由于角频率w与格波波矢q间存在一一对应的色散关系，当晶格振动的色散关系给定后，对于这样的准连续分布的振动，可以一般地把振动频率包含在w到w+dw内的振动模的数目