换元积分法与分部积分法

换元积分法与分部积分法（4）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法) 设g(u)在上有定义，u(x)在上可导，且(x),xa,b，并记若g(u)在上存在原函数G(u)，则f(x) 在上也存在原函数F(xF(x)G((xC，即又若(xx则上述命题(if(x在F(x)时，g(u)在[G(uG(uF1(uC，即g(u)dug((x))(x)dxf(x)dx．证 （i）用复合函数求导法进行验证所以f(x)以(x))为其原函数，(1)式成立．(ii)在(x)0的条件下，u(x)存在反函数x1(u)，且于是又能验证（2）式成立：

g((x))g(u． 口上述换元积分法中的公式(1)与(2)法和第二换元积分法(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．下面的例1至例5采用第一换元积分法求解在使用公式(1)时也可把它写成如下简便形式例1 求tan解 由 tanxdx

sinxdx(cosx)dx,cosx cosx可令ucosxg(u

则得u例2 求

dxa2x

(a0).解 dx 1

d d a (令ux)a2x2

1x2 a a 对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u，而直接使用公式(1).a2x2a2x2

(a0)a2x2a2x2

1 a

dx1 1 x2a1 x2a

dx (a0).x2a2解 dx 1 1 1 x2a2 2a

xa xa例5求sec解4[解法二]secxdx=secx(secxtanx)dxsecxtanxlnsecxtanxC．这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来．f(x)dx的形式，以便选取变换u(x，化为易于积分的．最终不要忘记把新引入的变量还原为起始变量第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解．duu3u例6duu3uu6u解23ux6分化为简单有理式的积分：u6u2 u66u6ln 1C.例7求 a2x2dx (a0) x解令xasint, tdxx2a2x2a2

(这是存在反函数tarcsin 的一个单调区间)．于是aa0.解令xasect0t

(同理可考虑t0的情况)，于是有2x借助辅助直角三角形，便于求出secta，tant x2a2，故得a9求

dx(x2a2)2

(a0)xatantt

，于是有2有些不定积分还可采用两种换元方法来计算．dx10求

.x2 x21解[解法一]采用第一换元积分法：［解法二]采用第二换元积分法(令xsect)：二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法．定理（分部积分法）若ux与vx存在，则也存在，并有=uxvx（3）证由

uxvxuxvx或 uxvx

uxvx，对上式两边求不定积分，就得到(3)式．公式(3)称为分部积分公式，常简写作udvuvvdu 例11求xcosxdx.解令uxvcosx，则有uvsin由公式（3）求得12求arctanxdx..解令uarctanxv1，则u13求x3ln

1 vx，由公式（3）求得1x2解令ulnxvx3，由公式（4）则有并后方能完成求解．现分别示例如下14求x2ex 解 x2exdxx2dex x2ex2xex 15

excosbxdxI1

eaxsin 1 1解 I cosbxdeax eaxcosbxbeaxsinbxdx1 a aa1 a eaxc