华师大版数学七下中心对称学案

一.本周教学内容：中心对称【学习目标】1.认识旋转对称图形，并能够按要求作出简单的平面图形旋转后的图形。2.认识中心对称，探索它的基本性质，并理解中心对称图形是旋转角为180°的旋转对称图形。3.能够运用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏这些图形的变换在现实生活中的应用。二.教学过程：（一）旋转对称图形在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一点定点旋转一定的角度后能与自身重合。如电扇的叶片旋转120°，螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合。绕着某一定点转动一定角度后能与自身重合的图形，叫旋转对称图形。如：用一张半透明的薄纸，覆盖在如下图所示的图形上，在薄纸上画出这个图形，使它与图形重合，然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，则经试验可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，而且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合。所以，这个图形就是旋转对称图形。（二）中心对称1.下面的三个图形绕某一中心点旋转一定角度后，可以与自身重合，所以它们都是旋转对称图形。中间一个图形绕着中心点旋转180°后，能够与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫对称中心。2.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形中的对应点叫关于中心的对称点。如图，△ABC与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心。3.两个图形成中心对称的特征：（1）成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。（2）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。4.中心对称图形与两个图形成中心对称的区别中心对称图形是对一个图形说的，指的是这个图形绕它本身的中心旋转180°后能与自身重合，它表示的是某个图形的特性；而成中心对称则是对两个图形而言的，指的是将其中某一图形绕某一点旋转180°后，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，它表示的是两个图形之间的对称关系。【典型例题】例1.如图所示，把一块砖ABCD直立于地面上，然后将其轻轻推倒，在这个过程中A点保持不动，四边形ABCD旋转到AD'C'B'位置。（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转角度是多大？（2）指出图中的对应线段。分析：因为四边形AD'C'B'是由四边形ABCD旋转得到的，A保持不动，因此A是旋转中心，又因为AB、AD'在同一平面上，且AD垂直于地面，对应线段AB与AB'成90°，因此旋转角度是90°。（2）中由于点A、B、C、D的对应点分别是A、B'、C'、D'，找出了对应点，对应线段也就不难找出了。答案：（1）旋转中心是A，旋转角度是90°。（2）对应线段分别是：CD与C'D'，AB与AB'，AD与AD'，BC与B'C'。方法提炼：解答这类题目，应该看哪个点不动，在旋转过程中，图形中的点都动，哪个点不动，哪个点就是旋转中心，只要找出了对应点，对应线段自然可得，抓住“动”与“不动”。难点：运用旋转的特征解决一些实际问题，培养分析问题和解决问题的能力，突破难点的途径应多动手操作，充分认识“图形在旋转过程中每一点与该对应点到旋转中心的距离都相等”这一性质去理解和运用旋转的其他性质。例2.如图所示，正方形ABCD中，E是正方形内一点，把△AED绕点A按逆时针方向旋转90°，得到旋转后的三角形并回答：（1）图中有哪些相等的线段和相等的角。（2）哪两个三角形的形状、大小都一样。分析：将一个图形绕某一点按一定的方向旋转一个角度后，到达另一位置，在这个运动过程中，图形的形状和大小没有改变，只是位置不同，且对应线段相等，对应角相等，本例中，△ABE'是△ADE旋转得到的，△ABE'与△ADE的形状和大小都不变。答案：（1）相等线段有：AB＝AD＝DC＝CB，AE＝AE'，DE＝BE'。相等角有：∠E＝∠E'，∠EDA＝∠E'BA，∠DAE＝∠BAE'（除直角外）（2）△ADE与△ABE'的形状和大小都一样。方法提炼：解答这类题目，应考虑旋转的特征，是绕什么点旋转的，图形中的每个点都旋转相同的角度，对应线段相等，对应角相等，关键是是否旋转。例3.如图所示，小华同学正在黑板上画△ABC绕△ABC外一点P旋转45°的旋转图，当他画完A、B两点旋转后的对应点A'、B'时，不小心将旋转中心P擦掉了，没有旋转中心P，小明不知道如何画下去，你能帮助小明找到旋转中心P，使他继续完成剩下的图形吗？分析：因为旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，所以旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点。答案：先连接AA'、BB'，然后分别画线段AA'，BB'的垂直平分线，则它们的交点就是。例4.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，B在AD上，试利用旋转说明：BE＝CD。分析：因为此题是利用旋转说明，所以应考虑应用旋转的一些特征来解题。答案：因为△ABC与△ADE都是等边三角形，所以∠BAC＝∠EAD＝60°，AB＝AC，AE＝AD所以线段AB绕A点逆时针旋转60°后与AC重合，AE绕A点逆时针旋转60°后与AD重合，即△ABE绕A点逆时针旋转60°后与△ACD重合。此时BE与CD重合，所以BE＝CD方法提炼：把题目中的结论与条件互换即已知BE＝CD，问哪两个三角形可以通过旋转得到。这样的题目就是抓住旋转的特征去寻找思路。例5.如图所示的风车叶片中，是中心对称图形的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：从图中可观察到四个风车的叶片的形状每个都是完全相同的。要选出中心对称图形，就要考虑看哪些风车叶片旋转180°后能够与自身重合。最简单的办法就是看叶片是奇数个或是偶数个，是奇数个的，它只是旋转对称图形，是偶数个的，那么它既是旋转对称图形，又是中心对称图形。因此，本例中的“风车”三个有偶数个叶片，故它们是中心对称图形。答案：C例6.如图所示为中心对称图形，请找出它的对称中心。分析：因为要找中心对称图形的对称中心，应联系中心对称的性质“对称点连线经过对称中心”。答案：因为对称点连线经过对称中心，所以图形中的两组对应点连线交点就是对称中心。点A的对应点是点C，点B的对应点是点D，连结AC、BD，它们的交点O即是。拓展延伸：可以用这种方法寻找规则图形的中心。例7.如图所示，点A、B为河塘两岸的两座村庄，为了测量两村庄间的距离，因条件限制，不能经过河塘直接测量，请你想一想，能否利用所学知识来解决这个问题呢？分析：由于测量时，不能经过河塘，这就需要将两点（村庄）在不改变AB两点之间的距离的情况下，移动到适当的位置。答案：在河塘岸边适当的位置取一点C，连接AC、BC（保持AC、BC不经过河塘）。分别将AC、BC延长到点A'、B'，使A'C＝AC，B'C＝BC；这样即是作线段AB关于点C的中心对称图形A'B'，根据中心对称的特征有A'B'＝AB，所以测出A'B'的长就是AB的长，即两村庄之间距离。例8.观察图中所给的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？它是不是轴对称图形？旋转对称图形？中心对称图形？分析：此图案中的基本图形是正方形，它可以看成一个小正方形沿对角线方向平移一条对角线长、两条对角线长、三条对角线长后得到三个正方形，然后在平移的轴线上找一点作为旋转中心，旋转三个90°，即可得到以上图案。（也可以看成一条线段经过平移、旋转后得一正方形，再重复上述过程得到）答案：一个小正方形沿对角线方向平移一条对角线长、两条对角线长、三条对角线长后得到三个正方形，然后在平移的轴线上找一点作为旋转中心，旋转三个90°产生的。它是轴对称图形，旋转对称图形，中心对称图形。方法提炼：对这种题应仔细分析能否经过一种变换得到，如果不能够经过一种变换得到，就应考虑使用变换的组合。把图形经过轴对称，平移、旋转得到。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题。1.下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.菱形C.平行四边形 D.等腰三角形2.下列各组图形（如图所示）中，不能由平移或旋转得到的一组是（）3.如图所示，其中是中心对称图形的是（）4.如图所示，正方形BCDE可以看作是由正方形ABEF绕某点旋转得到的，在图形所在的平面上能作为旋转中心的点有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.两次翻折（对称轴互相平行）相当于一次（）A.翻折 B.平移 C.旋转 D.中心对称6.如图所示，△ABC绕点A按逆时针转动一个角度后成为△AB'C'，则旋转的角度为（）A.∠BAC的度数 B.∠BAB'的度数C.∠BAC'的度数 D.∠B'AC'的度数7.既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）（1）射线 （2）角 （3）线段（4）直线 （5）正三角形 （6）圆A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.下列说法不正确的是（）A.中心对称图形可能是轴对称图形B.轴对称图形一定不是中心对称图形C.中心对称图形是旋转对称图形D.旋转对称图形可能是轴对称图形二.填空题。9.在△ABC中，如果∠C＝90°，∠A＝45°，那么△ABC是__________对称图形。10.请写出两个既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形____________。11.如图所示，四边形的A'B'C'D'是四边形ABCD平移后得到的，则点A的对应点是___________，点B的对应点是___________，线段AB的对应线段是___________，∠A的对应角是___________，平移距离是___________。12.如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移后得到的，若∠ABC＝36°，则∠DEF＝___________。13.如图所示，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是___________；平移的距离是__________；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是___________；旋转角度是___________。14.如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则图中的__________是旋转中心，旋转角是__________。15.钟表的分针匀速旋转一圈需要60分钟，它的旋转中心是___________，经过20分钟后，分针旋转了___________。三.解答题。16.试将如图所示的四边形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。17.如图所示，将字母“A”按箭头指示的方向平移4cm，画出平移后的“A”。18.如图所示，请将该图补成中心对称图形。19.用黑白两种棋子在方格中构造一个既是轴对称，又是中心对称的图形，如图所示。20.以给出的图形“○、○、△、△、＝”（两个相同的圆，两个相同的三角形、两条平行线）为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形和中心对称图形。举例：如图所示，左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的图形。

【试题答案】一.选择题。1.B 导解：明确轴对称图形和中心对称图形的特征。2.A 导解：平移旋转特征。3.B 导解：观察图形套用中心对称特征。4.C 导解：旋转的性质。5.B6.B 导解：旋转的特征。7.B8.B二.填空题。9.轴 导解：根据轴对称特征。10.矩形、正方形导解：特殊的平行四边形既是轴对称图形，