人教版新课标初中数学勾股定理导学案

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

复习：直角三角形的相关概念、性质

三、学习目标：

L了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.勾股定理的简单计算

四、检查预习情况

1.勾股定理的文字叙述；

2.勾股定理的符号表达

五、小组讨论、合作探究：

活动一：阅读：

我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成

直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是

说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,

那么斜边（弦）的长是5。

3,42与52的关系是什么？结合预习内容猜测勾、股、弦之间有什么关系？

（）

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

活动二：证明新知：

方法一；如图，剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。

a2+b2=c2

证明：

方法二;

已知：在AABC中，ZC=90°,

NA、NB、NC的对边为a、b、c。

222

求证：a+b=co

分析：左右两边的正方形边长相等，

则两个正方形的面积相等。

证明：

归纳L勾股定理的具体内是:

几何语言表示:

六、展示汇报、质疑答疑:

如图，直角AABC的主要性质是：ZC=90°,

1）两锐角之间的关系：;

2）若NB=30°,则NB的对边和斜边：

3）三边之间的关系：______________________

4）SAABC=_________________________

七、拓展延伸：

1、填空题

⑴在RtZkABC,ZC=90°,a=8,b=15,则c=。

⑵在Rt/^ABC,ZB=90°,a=3,b=4,贝!）c=。

八、目标回应：

1、勾股定理：_______________________________________

2、勾股定理可以用关系来进行证明。

九、作业：

必作题：

1、已知在RtaABC中，ZC=90°,a、b、c是△ABC的三边，则

（l）c=_____________,（已知a、b,求c）

出2=o（已知b、c,求a）

闭6=.（已知a、c,求b）

2^在Rt△48c中，a=8cm,b=10cm,N6=90,求第三边长c.

选作题：

已知△46C中，三边长a、b、c为整数，其中a=3cm,b=4cm,求第三边c

的长.

十、板书设计

勾股定理的证明练习

十一、课后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

复习直角三角形性质，特别是用勾股定理进行的简单计算

三、学习目标：

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.树立数形结合的思想

四、检查预习情况

已知在RtAABC中,ZC=90°,a、b、c是AABC的三边，则

（l）c=o（已知a、b,求c）

出2=.（已知b、c,求a）

（3）b=.（已知a、c,求b）

五、小组讨论、合作探究：

探究1：一个门框的尺寸如图所示.长宽如下的

薄木板怎样从门框通过？

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，

②若薄木板长3米，宽L5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

探究2:如图，一个3米长的梯子A反斜着靠在竖直的墙4。上，这时40

的距离为2.5米.

①球梯子的底端B距墙角0多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C,请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5

米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.

OBDOD

六、展示汇报、质疑答疑:

探1:探2：

七、拓展延伸:

L小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度

的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶

树的离地面的高度是米。

2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4g

米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁

丝固定，两个固定点之间的距离是«不

八、目标回应：［、/1\

2、_______________________

九、作业：

必做题

1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形

盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为〈

米。

2.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且

RP1PQ,则RQ=厘米。

选做题：

已知△486"中，三边长a、b、c为整数，其中a=3cm,b=4cm,求第三边c的

长.

十、板书设计：

探究一探究二

十一、课后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

复习勾股定理并用勾股定理进行简单计算

三、学习目标：

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.树立数形结合的思想，用数形结合的方法如何在数轴上找到表示无理数

的点。

四、检查预习情况

直角三角形全等的判别方法有哪些？

在数轴上找到表示2、2.5、0>-0.5的点

五、小组讨论、合作探究：

探究1

证明“斜边直角边定理”证明两个直角三角形全等到合理性

探究2:你能在数轴上找到表示石、V3吗?

六、展示汇报、质疑答疑：

七、拓展延伸：

1、利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点

与实数一一对应的理论。

变式训练：在数轴上画出表示2-元的点。

2.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关,

可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，

隧道总长为2公里,隧道造价为500万元，

AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省

工程费用是多少？

3.如图（同上），欲测量松花江的宽度，

沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A,

使AC垂直江岸，测得BC=50米，

ZB=60°,则江面的宽度为

八、目标回应

1、________________________________________

2、________________________________________

九、作业：必做：

1在中，a=8cm,b=10cm,N3=90,求第三边长c.

2已知△46C中，三边长a、b、c为整数，其中a=3cm,b=4cm,求第三边c

的长.

3、已知在三角形ABC中，AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求三角形

ABC的周长.

A

D

图1

选做题

如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，ZB=ZC=30°,E、F

分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距

离，钢索AB和AE的长度。呆

（精确到］米）

BED

十、板书设计:

一题、二题、

H^一■、课后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

借助习题复习与直角三角形有关的性质

三、学习目标：

1.会用勾股定理解决较综合的问题。

2.树立数形结合的思想。

四、检查预习情况

预习内容：本节学案

五、小组讨论、合作探究：

1.已知：在RtZkABC中，ZC=90°，CD_LBC于D,ZA=60°，CD=V3,

求线段AB的长。

例2（补充）已知：如图，ZiABC中，AC=4,ZB=45°,ZA=60°,根据题

设可知什么？

例3（补充）已知：如图，NB=ND=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2o

求：四边形ABCD的面积。

A

9E

上C

六、展示汇报、质疑答疑：（学生讲解上述内容）

七、拓展延伸：

1.AABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,贝！|BC=,SA

ABC=o

2.ZkABC中，若NA=2NB=3NC,AC=2百cm,则NA=度，Z

B—度,NC-________度，BC=9S△ABC=°

3.AABC中，NC=90°,AB=4,BC=25/3,CD±AB于D,则AC=

CD=9BD=,AD=^SAABC=©

八、目标回应

1、____________________________________________

2.

九、作业：必做题目：

1.在RtAABC中，ZC=90°,CD±BC于D,ZA=60°,CD=6,

AB=o

2.在RtAABC中，ZC=90°,SAABC=30,c=13,

且a<b,a、b是整数，贝!)a=______,b=_______。

3.已知：如图，在aABC中，ZB=30°,ZC=45°,\

AC=2V2,求AB,BC的长。

4、已知在三角形ABC中，AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求三角形

ABC的周长.

A

ffll

选做题:

在数轴上画出表示一石,收+石的点。

十、板书设计:

例一例二

十一、课后反思:

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示:

用勾股定理进行的简单计算:

三、学习目标：

1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

四、检查预习情况

1、知道什么是原命题什么是逆命题。

2、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

五、小组讨论、合作探究:

证明：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三

角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据

题意画出图形，然后写已知求证。

勾股定理的逆定理:

六、展示汇报、质疑答疑：(完成上述证明)

利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解

决。

七、拓展延伸：

(-)如何判断一个三角形是直角三角形，

1、若有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、三边具有a?+b2=c2.关系的三角形。

(二)3、以6,8,10为三边的三角形是直角三角形吗？三边为5,6,7的三

角形是不是直角三角形？

4、根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形

2?

(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=y,b=l,c=y

例：已知AA5c的三边分别a,b,ca=/n2-n2,b=2mn,c=/7?2+n2(m>n,m,n是正整

数)，AA5c是直角三角形吗？说明理由。

注意事项：

(1)书写时千万•.”+^=。2,,72+24?=252-6。是直角三角形。这里

你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。

(2)分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理

八、目标回应

1、___________________________________________

2、___________________________________________

3、：

九、作业：必做题

1、判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5

2、已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形

3、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=^BC,求

证：AF±EF.

思路点拨：要证AFJLEF,需证4AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，

只要证出AF2+EF2=AF2就可以了.

选做题：

若aABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,

试判定aABC的形状.

(提示：根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c

三边之间的关系，应用分解因式可得(a-5)2+(b"2)2+(c-13)2=0,求出

a=5,b=12,c=13,Va2+b2=c2,•二△ABC是RtZ\).

例：如下图中分别以AABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径

作半圆，若Si+Sz=S3成立，则AMC是直角三角形吗？

B

十、板书设计：

定理证明例一

H■"一、课后反思：

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

用勾股定理及逆定理进行相关的计算。

三、学习目标：

1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

四、检查预习情况

一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较

短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

五、小组讨论、合作探究:

完成预习内容的讲解:

六、展示汇报、质疑答疑:

一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别

为，此三角形的形状为

七、拓展延伸：

1.小强在操场上向东走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。小强在

操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两

艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C

地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，

乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°,

问：甲巡逻艇的航向？

八、目标回应

1、______________________________________________________

2^___________________________________________________

九、作业：

必作题目：

1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别

为,此三角形的形状为

2.一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定，现已知

用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点

之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和

D

地面是否垂直，为什么？

选作题：

如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明

计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一

卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12Dc

米，又已知NB=90°。\\

十、板书设计：

例22题

H■"一、课后反思：

17.2勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示:

勾股定理和逆定理的语言形式和几何形式

三、学习目标：

1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

四、检查预习情况

本节学案，了解学生状况

五、小组讨论、合作探究：

例1（补充）已知：在aABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,

222

满足a+b+c+338=10a+24b+26c0

试判断aABC的形状。

例2（补充）已知：如图，四边形ABCD,AD/7BC,

AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。求：四边形ABCD的面

积。

六、展示汇报、质疑答疑:

学生交流上述例题

BDA

七、拓展延伸：

已知：如图，在AABC中，CD是AB边上的高，KCD2=AD•BD»

求证：aABC是直角三角形。

1.若AABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则AABC是

()

A.等腰三角形；B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。

2.若AABC的三边a、b、c,满足a：b：c=l：1：VI,试判断aABC的

形状。

八、目标回应

1、_________________________________________________

2、_________________________________________________

九、作业:

必做题：

1.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让

小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明

找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米,

DA=12米，又已知NB=90°o

选作题：已知AABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=l,c=V14,

试判定aABC的形状。

十、板书设计：

例1例2例3

十一、课后反思:

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股数还有6、8、10；

勾股定理要记清，斜方等于直方和

二、课前展示：

用勾股定理或逆定理的简单计算：

三、学习目标：

1.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

四、检查预习情况

检查学生对定理的记忆与理解情况

五、小组讨论、合作探究：

313

1.已知：如图，四边形ABCD,AB=1,BC=-,CD=—,AD=3,

44

且ABJLBC。/

求：四边形ABCD的面积。z/

BC

2.已知：在aABC中，ZACB=90°，CDJLAB于D,CD2=AD•BDo

求证：AABC中是直角三角形。

3.若AABC的三边a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

求△ABC的面积。

4.在aABC中，AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。

求证：△ABC是等腰三角形。

六、展示汇报、质疑答疑：

七、作业：

必做题

已知：如图，在aABC中，CD是AB边上的高，KCD2=AD•BDo

求证：4ABC是直角三角形。

选做题：

在AABC中，AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。

求证：AABC是等腰三角形。

八、课后反思:

勾股定理及逆定理复习

一、警句：勾三股四弦必五，勾股定理要记清，

斜方等于直方和，逆理必须不能忘，

二、课前展示：

直角三角形的相关性质的复习。

三、学习目标：

1.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识

四、检查预习情况

(本节学案)

五、小组讨论、合作探究：

1.若aABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是

()

A.等腰三角形；B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。

2.若△ABC的三边a、b、c,满足a：b：c=l：1：叵,试判断aABC的

形状。

2

3、已知：在aABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,KCD=AD•BD0

求证：AABC中是直角三角形。

六、展示汇报、质疑答疑：

七、拓展延伸：

1.若aABC的三边a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求^ABC的面

积。

2.在aABC中，AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。

求证：△ABC是等腰三角形。

八、目标回应

九、作业：必作题

1在。中，a=8cm,b=10cm,N6=90,求第三边长c.

2已知△力6C中，三边长a、b、c为整数，其中a=3cm,b=4cm,求第三边c

的长.

3判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

选做题：

1、已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.

2、在RtZ\ABC中，已知两边长为3、4,求第三边的长.

十、板书设计：

1题2题

3题4题

H^一、课后反思:

第十七章勾股定理测试

一、选择题

1.已知AABC中，NA=2NB=3ZC,则它的三条边之比为().

A.1：1：2B.1：V3：2C.1：V2：2D.