蒙特卡洛抽样方法

重要抽样法(3.5.3)：积分可以代表一个参数的期望值，因此，在可靠性评估中使用蒙特卡洛法去评估积分和充分性参数是等价的。重要抽样法可以用评估积分的问题来说明。考虑以下积分：，=J；g(x)dx(1-1)使用估计期望值的方法，可以将/表示如下：1N/=E(g(U))f泠(1-2)U表示［0,1］区间上均匀分布的随机数序列，g(U)表示在均匀分布区间内产生随机数，并带入g(x),结合上式计算积分。如果抽样的概率密度函数从均匀分布变成了/«,/(力与g(x)具有相同的曲线形状，那么所产生的对于积分式结果影响较大的随机数出现概率也会更大。f(x)称为重要抽样密度函数。如果与g(x)具有相似的形状，那么积分值的方差也越小。分层抽样法(3.5.4)：分层抽样法的思想与重要抽样法相似，为了减小方差，尽量地使更多的样本落在对模拟结果有重要影响的区间内。分层抽样法的方差比在整个区间上使用平均值估计法更小，并且当N,满足下式时，方差取得最小值。(1-3)N=N加(1-3)二加N,表示第广号区间内取点的个数，f表示第J号区间内采用均匀分布抽样的方差，以•表示第J号区间的长度。由上式可以看出，当N产djj时，总体的方差取值最小。在电力系统中，年度负荷曲线上的高负荷水平点对不可靠参数的评估比低负荷点影响更大，因此，分层抽样法适用于基于年度负荷曲线的可靠性评估。截断抽样法(3.5.6)：这种方法适用于两状态变量和小概率事件。电力系统可靠性评估中，系统元件状态可以用两个状态变量来表示(0和1),并且系统元件发生故障是小概率事件。可靠性评估中的三种模拟方法：状态抽样法：系统的状态取决于所有组成元件的状态，并且每个元件的状态都可以通过元件状态的概率分布来抽样决定。每个元件的状态可以用［0,1］区间上的均匀分布来描述。假定元件具有故障和正常运行两个状态，并且元件故障是相互独立的事件。设S,表示第f个元件的状态，FF；表示其故障概率，为第"个元件在[0,1]均匀分布上取出随机序列U：[0非故障Ui>PFiTOC\o"1-5"\h\zS.=<(1-4)'[1故障0<Ui<PFi含有，〃个元件的系统状态可以表示为：S=(1-5)假定每种系统状态发生的概率为P(S),可靠性参数的函数为F[S),则整个系统状态的参数函数期望值为：E(F)=£F⑸P(S)(1-6)seG式中G为表示系统所有状态的集合(状态集)。将上式的P(S)代换成状态S的采样频率：E(F)=2F(S哼(1-7)盆N式中N为样本数，〃(S)为状态S发生的次数。尸(S)可通过适当的系统分析得出。这种状态抽样法的优点是：抽样相对简单。它只需在均匀分布上产生随机数字，而不需要去抽样产生分布函数；所需要的可靠性数据相对较少，仅有研究元件状态概率时需要；状态抽样法不仅适用于元件故障时间，也适用于系统中其他可靠性参数的状态评估，如负荷、水文和天气状态等。缺点是不能被其自身用来计算实际的频率参数。状态持续时间的抽样方法：这种方法是基于元件状态持续时间的抽样概率函数的。马尔可夫(Maikov)数学模型定义：所有变化着的事物表现状态可能是数值的、非数值的、连续的、离散的。在这种情况下，我们需要建立一种研充的是一类重要的随机过程，研究对象的状态W)是不确定的，它可能取k种状态=)之一，有时甚至可取无穷多种状态的模型，这种模型就是Markov模型。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。马尔可夫性(无后效性)：过程(或系统)在时刻t°所处的状态为己知的条件下，过程在时刻t>t°所处状态的条件分布与过程在时刻t°之前所处的状态无关。用分布函数表述马尔可夫性：

设随机过程{X(t)jeT},其状态空间为S,对参数集丁中任意〃个数值P{X—)<in\x(4)=4・・・x(J)=」}=p{x(tn)<in\x(L)=3}(1-8)则过程(X(r)jer)具有马尔可夫性，并称此过程为马尔可夫过程，{X“,〃=0』,2,...}为离散时间、离散状态的马尔可夫过程或称为马尔可夫链。马尔可夫链的有限维分布完全由初始分布P{X0=i0}和条件概率P{X“=ijXi=七}决定。W)=Pg=J\X“=0为一步转移概率。若马尔可夫链的一步转移率与时间无关，贝土4=F{Xt=，|X”=・}=P{Xt=，|Xo=，}(1-9)马氏链的基本方程：状态X“=l,2,...,k==0,l,・..),状态概率《(町=P(X“=i),i=l,2,…,k,7?=0,1,•••,并且有：(MO)(M2)2>(〃)=1

f=l(MO)(M2)转移概率：pij=p{xti+l=j\xn=i}^且文％〃)=1i=l,2,...,k

j=l意思就是从，状态转移到j状态的所有情况。基本方程：kq(〃+1)=Z.(〃)Pjii=1,2,..•M

户i状态概率相量：成〃)=(%(〃),％(〃),••