中考数学复习指导：构造直角巧解中考几何题

中考数学复习指导：结构直角巧解中考几何题结构直角巧解中考几何题同学们我们刚才学过了圆的相关性质，一定不会忘记“直径所对的圆周角是直角”这一结论，在好多题目中，我们结构这一直角能起到意想不到的效果，下面仅举几例，说明这个问题，以帮同学们总结。例1如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若DPB，CD）C那么等于（DABＡ．sinＢ．cosPＣ．tanＤ．1BtanAO第1图题析解：大家考虑CD与∠的三角函数怎样联系起来呢？经过察看能够发现△PCD∽AB△PAB，为什么呢？因为ACAC，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠D=∠B。同理BDBD获得∠C=∠A.于是由相像得CDPD，这时问题进行了转变，PD与∠的ABPBPB三角函数有什么联系呢？如果△PDB为直角三角形就好了。我们应当想到线段AB为直径，它所对的圆周角为直角，于是我们连结BD,则∠DPA=90°.所以在Rt△DPB中，PDcos。于是CDPD=cos本题选B。PB=PB.AB说明：本题主要考察了同弧所对的圆周角相等，三角形相像的判断，三角函数的定义，不难看出直径所对的圆周角为直角在中间起到了至关重要的作用。例2.如图，△ABC的三个极点都在O上，C30，CAB2cm，则O的半径为cm．O析解：方法1.经过察看我们不难想到连结OA，OB.

AB（第2题）1/3中考数学复习指导：结构直角巧解中考几何题因为C30根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半得∠AOB=60°，又OA=OB，所以△AOB为等边三角形，于是OA=AB=2cm.方法2.求半径那么我们如果知道了直径的长度半径的长就迎刃而解了，连结AO并延伸交O于点M，连结MB。因为ABAB，根据同弧所对的圆周角相等。所以∠C=∠M=30°。又AM为O的直径，所以∠ABM为直角。在Rt△ABM中，∠M=30°，所以1AB=AM。2即AM=2AB=4.所以O的半径为2cm.说明：在方法2中我们巧妙的结构了直径所对的圆周角为直角，利用直角三角形中30°的角所对直角边为斜边的一半，求出了直径，进而获得半径的长。例3．如图3，AB是⊙O的直径。OD⊥AB交AC于D，若∠A=30°，OD=20cm，求CD的长。析解：经过察看剖析我们获得如果连结BC，根据直径所对的圆周角为直角,则∠ACB=90°，利用在Rt△AOD中∠A=30°，OD=20，所以AD=40，AO=AD2OD2402202203,所以AB=403，所以ACABcosA403360,2所以CDACAD604020cm.

于是我们想到CMOAB（第2题）ADOCB图3说明：一般来说，若条件中有直径，经常增添协助线组成直径所对的圆周角，以便利用直角三角形的性质。例4.如图4，已知C为半圆上一点，ACCE。过C点作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F.求证：AD=CD.2/3中考数学复习指导：结构直角巧解中考几何题CEDFABPO图4析解：欲证AD=CD，只需证明它们所对边相等即可。但AD和CD不在同一个三角形中，于是我们连结AC,由于ACCE根据等弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠CEA.又ACAC，所以∠CEA=∠CBA，我们获得∠CBA=∠CAE。又AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°又CP⊥AB，得∠ACP+∠BCP=∠ABC+∠BCP=90°，根据等角的余角相等所以∠ABC=∠ACP。所以∠CAE=∠ACP.