集合的含义、表示及基本关系教案

第1节集合的含义、表示及基本关系教案教学目标了解集合中元素的三种特性，正确使用集合的符号和语言表达数学问题；分清集合中的两种关系，即元素与集合关系、集合与集合的关系；了解空集的意义，在解题中强化空集的意识．重点难点利用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。知识梳理1.元素与集合的关系:用或表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。5．集合与集合的关系:用，，=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；③如果，同时，那么A=B；如果.④n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n－1个；n个元素的非空真子集有2n－2个.典例解析例1.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ解：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．变式题：1、设集合A={(x,y)|x一y=0}，B={(x,y)|2x－3y+4=0}，则A∩B=．；解析：分析一般元素及其属性，集合Ａ、B都是点集，两条直线的交点即是，要注意与的区别。例2.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴2≤p≤3.②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．由①、②得：p≤3．点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．变式题：2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA．根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}．当B=时，△=m2-8<0．∴．当B={1}或{2}时，，m无解．当B={1，2}时，∴m=3．综上所述，m=3或．例3．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A中元素；当时，当时，∴这样的实数x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：3、已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。随堂检测1．设集合，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．1．D提示：，2.已知集合，试求集合的所有子集.2解：由题意可知是的正约数，所以可以是；相应的为，即.∴的所有子集为.3.设集合，，，则实数a=.解：此时只可能，易得或。当时，符合题意。当时，不符合题意，舍去。故。5、已知，，若BA，求实数的取值范围解析：据题意可知集合A表示函数的定义域，易化简得，由于BA，故当时，即时易知符合题意；当时，，要使BA，结合数轴知需或（经验证符合题意）或（经验证不合题意舍去），解得，故综上所述可知满足条件的的取值范围是6．已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．解（1）A＝B＝（2）由AB＝B得AB，因此所以,所以实数的取值范围是思维总结1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1,所有非空真子集的个数是④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；