概率论第二章节课件

概率论第二章节课件1第1页，共25页，2023年，2月20日，星期五§2.1随机变量的概念例1设一口袋中有依次标有1,2,3,4,5,6数字的六个球。从这口袋中任取一个球，观察取得的球上所标数字。X是随着试验结果的不同而变化的。X=i表示“

球上标示的数字为i”，设变量X表示取得的球上所标数字，

第二章随机变量及其分布X都有唯一的值与之对应，称X为随机变量。2第2页，共25页，2023年，2月20日，星期五X可能取的值为0、1、2例2袋中有3个白球,2个黑球,任取两球，求其中的白球数X.3第3页，共25页，2023年，2月20日，星期五例3观察放射性物质在一段时间内放射的粒子数Y。例4在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上,[0,3)上的诸数字，均匀地刻上当停下时,圆周与桌面接触的刻度Z。例5

抛掷一枚硬币

引入一个变量4第4页，共25页，2023年，2月20日，星期五定义如果对于试验的样本空间中每一个样本点都有一个确定的实数值与之对应，则变量变量函数，是样本点的实记作称这样的变量为随机变量。离散随机变量：连续随机变量:可能取值为有限个或可数无穷个.可取得某一区间内的任何数值.分类随机变量是以随机事件为自变量的实值函数。表示5第5页，共25页，2023年，2月20日，星期五例如，打靶试验中，表示事件“中5环”。表示事件“环数不超过6环”。表示事件“环数大于3环小于7环”。注意需要指出的是，试验的结果中，随机变量X取得某一个值x，记做它表示一个事件，同样，随机变量X取得取得某一个区间它们也都是随机事件。某一个小于x的值，可记做内的值，可记做6第6页，共25页，2023年，2月20日，星期五§2.2离散随机变量概率分布（表）而取得这些值的概率分别为设离散随机变量取得的一切可能值为即：称为离散型随机变量X的概率函数或分布律（列）。性质7第7页，共25页，2023年，2月20日，星期五⑵.若随机变量X只能取有限个值则⑶.若随机变量X可能取可数无穷多个值，则例1a为何值时，随机变量X的分布列。才能成为解要使X的分布列，则需成为随机变量8第8页，共25页，2023年，2月20日，星期五解：（1）设随机变量X

是取球次数，因此，所求概率分布为：例2：取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任取1个球，直至（1）取出的黑球不再放回去；（2）取出的黑球仍放回去。9第9页，共25页，2023年，2月20日，星期五例2：取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任取1个球，直至（2）取出的黑球仍放回去。因此，所求概率分布为：（2）设随机变量Y是取球次数，10第10页，共25页，2023年，2月20日，星期五几何分布如：一射手连续不断地进行射击，直到第一次命中为止，如每次命中的概率为p，则所需射击次数X服从几何分布。(Geometricaldistribution):其中易知11第11页，共25页，2023年，2月20日，星期五几种常见的离散随机变量的分布:1.“0-1”分布(两点分布)§2.3超几何分布·二项分布·泊松分布设随机变量X

只能取两个数值0和1，而取得这些值的概率分布表为：其中则称此分布为“0-1”

分布(或两点分布)。向上的次数，例1：掷硬币的试验中，设随机变量X表示一次试验中正面则X服从01分布,其概率分布表为12第12页，共25页，2023年，2月20日，星期五记X为n次试验中事件A发生的次数，则2.二项分布(Binomialdistribution)设随机变量X的可能取值为m=0,1,2,,n，概率函数为其中这种分布叫做二项分布。其分布列为：在n次独立重复的Bernoulli试验中,设每次试验事件A发生的概率为p。特别地，当n=1时，二项分布即为“0—1”分布。易知13第13页，共25页，2023年，2月20日，星期五解设X为在同一时刻需要供应一个单位电力的工人数，则例2设一批产品共N个,其中有M个次品，对这批产品进行放回抽样,即次品率为如此连续抽n次,设X表示得到的次品数，则例3（能量供应问题）设有9个工人间歇性地使用电力，在任以上的工人需要供应一个单位的电力的概率？一时刻每个工人以同样的概率0.2需要一个单位的电力，如果各个工人使用电力相互独立，问在同一时刻有7个或7个注：放回抽样的随机变量服从二项分布14第14页，共25页，2023年，2月20日，星期五例4一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解15第15页，共25页，2023年，2月20日，星期五易知3.泊松分布(Poisson

distribution)m=0,1,2,…,设随机变量X

的可能取值为m=0,1,2,,概率函数为其中常数>0,这种分布叫做泊松分布。在大量试验中，小概率事件发生的次数可以近似地看作服从Poisson分布。16第16页，共25页，2023年，2月20日，星期五在大量试验中，小概率事件发生的次数可以近似地看作服从Poisson分布。在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；放射性物质发出的粒子数；17第17页，共25页，2023年，2月20日，星期五Poisson分布表P286附录1例如定理2其中设随机变量X

服从二项分布B(n,p)，则当时，X

近似地服从泊松分布，即下面的近似等式成立：注：当n越大,p越小时，该公式近似程度越好。一般来讲，18第18页，共25页，2023年，2月20日，星期五由已知解随机变量X的分布律为得由此得方程得解所以，例4设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知19第19页，共25页，2023年，2月20日，星期五4.超几何分布(Hypergeometricdistribution)其中都是正整数,且概率函数为这种分布称为超几何分布。记为设随机变量的可能值为记X为取出的n个产品中的次品数，则其分布列：例5在N个产品中有M个次品，从这批产品中任取n个产品，超几何分布20第20页，共25页，2023年，2月20日，星期五事实上，从一批产品中任意取出n个产品，可以有两种不同的方式：（1）一次任意取出n个产品；（2）每次任意取出一个产品，取出的产品不再放回，连续取n次。对于（1）对于（2）注：不放回抽样的随机变量服从超几何分布例6：设一批产品共有N个,其中有M个次品.中任取出n个产品,从这批产品则取出的n个产品中的次品数21第21页，共25页，2023年，2月20日，星期五定理1当一批产品的总数N很大，而抽样的个数n远较N为小（一般说来，）时，则不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）实际上没多大差别，即在这种情况下，超几何分布可近似用二项分布来代替。注：其中近似地服从二项分布B(n,p)，即：设随机变量X~H(n,M,N)，则当N→∞时，22第22页，共25页，2023年，2月20日，星期五记X为取出的4个产品中的次品数，设一批产品共100个，其中有5个次品，按以下几种方式取样：（1）一次任取出4个产品；（2）每次任取出一个产品，按不放回抽样连续抽取4次；例7

（3）

每次任取出一个产品，按放回抽样连续抽取4次。(1)(2)：(3)：23第23页，共25页，2023年，2月20日，星期五例8设一批产品共2000个，有40个次品。随机抽取100个样品，求样品中次品数X的概率分布：（1）不放回抽样，则即∵这批产品总数N=20